2405
.pdf1.7. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
10. Неявной функцией от нескольких независимых переменных x, y,...,t называется переменная z , если она
задана уравнением F (x, y,...,t, z) = 0 , которое не разрешено
относительно z .
Первый способ. Частные производные неявной функции
z , заданной уравнением |
|
F (x, y,...,t, z) = 0 , |
где F - |
||||||||||||
дифференцируемая |
функция |
|
|
переменных |
(x, y,...,t, z) , |
||||||||||
определяются по формулам |
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
||||||
|
∂F |
|
∂z |
|
|
|
|
|
∂F |
||||||
∂z |
∂x |
|
= − |
|
∂y |
|
∂z |
∂t |
|||||||
∂x = − |
|
|
; |
|
|
|
|
; … ; |
∂t = − |
|
|
||||
|
|
|
|
∂y |
|
∂F |
|||||||||
∂F |
∂F |
||||||||||||||
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
∂z |
|
|
|
при условии, что |
∂F |
≠ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй способ. Дифференцируя уравнение
F (x, y,...,t, z) = 0 будем иметь
∂∂Fx dx + ∂∂Fy dy +... + ∂∂Ft dt + ∂∂Fz dz = 0 .
Находя отсюда dz и сравнивая с формулой dz = ∂∂xz dx + ∂∂yz dy +... + ∂∂zt dt ,
находим соответствующие частные производные.
20. Если неявная функция y задана уравнением F (x, y) = 0 , где F - дифференцируемая функция переменных x и y , то производная неявной функции будет
|
∂F |
|
∂F |
|
|
|
|
∂x |
|
||||
y′ = − |
, |
≠ 0 |
. |
|||
|
|
|||||
|
∂F |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
∂y
31
Производные высших порядков вычисляются последовательными дифференцированием формулы (2).
30. Пусть неявные функции u = u(x, y, z) |
и υ =υ(x, y, z) |
|||||||||||||||||||||
заданы системой уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
F1(u,υ, x, y, z) = 0; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
F2 (u,υ, x, y, z) = 0. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Первый способ. Если якобиан |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
D(F1, F2 ) |
|
|
|
|
|
∂F1 |
|
∂F1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
= |
|
|
∂u |
|
|
∂υ |
|
≠ 0 , |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
D(u,υ) |
|
|
|
∂F2 |
∂F2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
∂υ |
|
|
|
|
|
|
|||
то частные производные |
∂u |
|
и |
|
∂υ |
находятся из системы |
||||||||||||||||
∂x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∂F1 |
+ |
∂F1 ∂u |
+ |
∂F1 ∂υ |
= 0; |
|
|
|||||||||||||||
|
∂x |
∂u |
|
∂x |
|
∂υ |
|
|
∂x |
|
|
|||||||||||
|
∂F |
|
∂F |
|
∂u |
|
|
∂F |
|
|
∂υ |
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂x |
+ |
∂u ∂x + |
|
∂υ ∂x |
= 0. |
|
|||||||||||||||
Частные производные |
∂u |
, |
∂υ |
|
и |
|
|
∂u |
, |
∂υ |
|
определяются |
||||||||||
∂y |
∂y |
|
|
|
∂z |
∂z |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аналогично.
Второй способ. Дифференцируя заданные уравнения, находим два уравнения, связывающие дифференциалы всех пяти переменных. Решая полученную систему относительно du, dυ и сравнивая эти выражения с полными
дифференциалами
du = ∂∂ux dx + ∂∂uy dy + ∂∂uz dz ; dυ = ∂∂υx dx + ∂∂υy dy + ∂∂υz dz ,
находим искомые частные производные.
40. Пусть функция z от переменных x, y задана параметрическими уравнениями
32
x = x(u,υ) , y = y(u,υ) , z = z(u,υ) .
Первый способ. Для нахождения частных производных
∂∂xz и ∂∂yz составим дифференцированием систему
dx = |
∂x |
|
|
du + |
|
∂x |
|
|
dυ; |
|
|
∂υ |
|||||||
|
∂u |
|
|
|
|
||||
dy = |
∂y |
|
du + |
|
∂y |
|
dυ; |
||
|
|
||||||||
|
∂u |
|
∂υ |
|
|
|
|||
dz = |
∂z |
du + |
|
∂z |
|
|
dυ. |
||
|
|
∂υ |
|
|
|||||
|
∂u |
|
|
|
|
|
D(x, y) |
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
||||
Если якобиан |
= |
∂u |
|
∂υ |
≠ 0 , то решая первые |
||
D(u,υ) |
|||||||
|
|
∂y |
|
∂y |
|
||
|
|
|
∂u |
|
∂υ |
|
два уравнения относительно du, dυ и поставляя их в третье, из сравнения полученного выражения с полным дифференциалом
dz = ∂∂xz dx + ∂∂yz dy , находим частные производные ∂∂xz и ∂∂yz .
Второй способ. Дифференцируем сначала первые два уравнения по x и, из получившейся системы, находим ∂∂ux и
∂∂υx . Далее, дифференцируем первые два уравнения по y и, из получившейся системы, находим ∂∂uy и ∂∂υy . Затем,
дифференцируя третье уравнение по x и y и подставляя туда ранее найденные частные производные от u,υ по x, y , находим ∂∂xz и ∂∂yz .
33
7.1. Найти частные производные: а) x2 + y2 + z2 −t2 = 0 ;
б) z3 − xyz = 2a2 .
Решение. |
а) |
|
|
Функция z задана |
неявно. |
Полагая |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
F(x, y, z,t) ≡ x2 + y2 + z2 −t2 , по формулам (1) имеем |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂F |
= 2x ; |
∂F |
|
= 2 y ; |
|
∂F |
|
= 2z ; |
∂F |
|
= −2t ; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
= − |
x |
; |
|
|
∂z |
|
= − |
|
y |
; |
∂z |
= |
t |
. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
z |
∂t |
|
z |
|
||||||||||||||
С другой стороны, дифференцируя данное уравнение, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
будем иметь 2xdx + 2 ydy + 2zdz − 2tdt = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Находим отсюда dz , т.е. полный дифференциал неявной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции |
|
|
|
|
|
tdt − xdx − ydy |
|
|
|
t |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
dz = |
= |
|
|
dt − |
dx − |
dy . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|||||||
Сравнивая с формулой полного дифференциала |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dz = ∂z dx + |
∂z |
dy + |
∂z dt , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
окончательно получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂z |
= − |
x |
; |
|
|
∂z |
|
= − |
|
y |
; |
∂z |
= |
t |
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
z |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
z |
|
∂t |
|
|
z |
|
||||||||||||||
Полагая |
F(x, y, z) = z3 − xyz −2a = 0 , |
находим |
частные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂F |
= −yz |
; |
∂F |
= −xz ; |
|
|
∂F |
|
= 3z2 − xy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
∂x |
∂y |
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отсюда по формулам (1) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
∂z |
= − |
|
yz |
|
, |
|
|
∂z |
= − |
|
|
xz |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∂x |
3z2 − xy |
|
|
3z2 − xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй метод. Дифференцируем
3z2dz − yzdx − xzdy − xydz = 0
Находим дифференциал
34
∂z = |
− yzdx − xzdy |
= − |
yz |
dx − |
xz |
dy . |
|
3z2 − xy |
3z2 − xy |
3z2 − xy |
|||||
|
|
|
|
Сравнивая с полным дифференциалом функции от двух переменных, получим
|
|
|
|
∂z |
|
= − |
|
|
|
|
|
|
yz |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
= − |
|
|
|
|
|
xz |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
3z2 − xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
3z2 − xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
7.2. y = x +ln y , |
|
найти |
|
|
dy |
|
; |
|
d |
2 y |
; |
d 3 y |
|
и дифференциал |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
dx2 |
|
dx3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
F(x, y) ≡ y − x −ln y = 0 . |
|
|
|
Находим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
частные производные |
|
|
|
∂F |
|
= −1; |
|
∂F |
|
=1− |
|
|
1 |
|
= |
y −1 |
. |
Отсюда по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
формуле (2) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
= − y −1 = y −1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вторую |
|
производную |
|
|
|
|
находим |
|
дифференцированием |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
первой производной по x , учитывая, что y |
|
есть функция x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
d |
2 |
y |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
− yy |
′ |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
y ( y −1) |
|
|
|
= − |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( y −1)2 |
|
|
|
( y −1)3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx y − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Аналогично, третья производная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
d |
3 |
y |
|
|
d |
|
|
|
|
|
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
−1) −3yy |
′ |
|
|
|
y(1+ 2 y) |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
d |
|
|
|
|
|
|
= − |
|
y ( y |
|
|
|
= − |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx3 |
|
|
dx |
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( y −1)4 |
|
|
|
|
|
( y −1)5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Дифференциал функции будет |
dy = y′xdx = |
|
|
|
y |
|
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.3. Найти |
∂ |
2 z |
|
|
, |
|
|
|
∂2 z |
|
|
, |
|
|
∂2 z |
|
, если x |
2 |
|
+ y |
2 |
+ z |
2 |
= a |
2 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂x2 |
|
|
|
∂x∂y |
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
Решение. Функция z от двух независимых переменных задана неявно. Полагая F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 −a2 = 0 ,
находим сначала по формулам (1) ∂∂xz и ∂∂yz :
|
|
∂F |
|
= 2x ; |
∂F |
|
= 2 y |
; |
|
∂F |
= 2z ; |
|
∂z |
|
= − |
x |
, |
|
∂z |
= − |
|
y |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
z |
|
∂y |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Вторую |
|
|
|
|
|
|
|
производную |
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
находим |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x , |
учитывая, |
||||||||||||||
дифференцированием |
первой |
производной |
|
по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
что z |
|
есть функция x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
∂2 z |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
x |
|
|
|
z − xz′x |
|
|
|
|
z + |
|
|
|
|
|
|
z2 |
+ x2 |
|
|
y2 |
− a |
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
− |
= − |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
z2 |
|
|
z3 |
|
|
|
|
z3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Смешанную |
|
|
|
|
|
производную |
|
|
|
|
|
|
|
∂2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
находим |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x∂y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
дифференцированием |
первой производной по |
y , |
учитывая, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
что z |
|
есть функция y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
∂2 z |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
xz′y |
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
− |
|
|
|
= − |
|
|
= − |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
∂x∂y |
|
dy |
|
z |
|
z2 |
z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
∂2 z |
|
|
|
|
d |
|
|
|
y |
|
|
|
z − yz′y |
|
|
|
z + |
|
|
|
|
|
z2 + y2 |
|
x2 −a2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
z |
|
|
|
z3 |
|
|
|
z3 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.4. Найти dz и d 2 z , если |
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
=1. |
||
a2 |
b2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
c2 |
|||
Решение. Дифференциал от функции Z находится по |
||||||||
формуле dz = ∂z dx + |
∂z |
dy . Поскольку функция задана неявно, |
||||||
|
||||||||
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
то частные производные находим по формулам (1), где
36
|
|
|
|
|
|
F (x, y, z) = |
x2 |
+ |
|
y2 |
+ |
|
z2 |
|
−1 = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
b2 |
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
∂F |
= |
|
2x |
; |
|
|
∂F |
= |
|
2 y |
; |
|
∂F |
|
= |
2z |
|
; |
|
|
∂z |
|
= − |
c2 |
|
x |
, |
|
∂z |
|
= − |
c |
2 y |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
a2 |
|
∂y |
|
b |
2 |
|
|
∂z |
|
c2 |
|
|
|
|
∂x |
|
a |
2 |
|
z |
|
∂y |
|
b2 z |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
dz = − |
|
c |
2 |
|
|
x |
dx − |
|
c2 |
|
|
|
x |
dy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
z |
b2 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Дифференциал второго порядка находится по формуле |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 z |
|
|
|
= |
|
∂2 z |
|
dx 2 |
|
+ 2 |
|
|
∂2 z |
|
|
∂x∂y |
|
+ |
∂2 z |
|
dy 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x 2 |
|
|
|
∂x∂y |
|
|
∂y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
частные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
второго |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
порядка |
|
|
− c |
|
|
|
|
|
x |
= − c |
|
|
z |
− xzx |
= − c |
|
|
|
|
a |
|
z |
|
|
|
|
−c |
|
x |
|
|
= − |
|
c |
|
|
|
|
|
b |
|
− y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂ |
|
z |
= |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∂x |
|
|
|
dx |
|
|
a |
2 |
|
|
|
z |
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
2 |
|
|
|
|
|
a |
2 |
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
b |
2 |
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
∂2 z |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
c |
2 x |
|
|
|
|
|
c2 xz′y |
|
|
|
|
|
|
|
|
c4 |
|
|
|
xy |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
∂x∂y dy |
|
|
|
a |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
a |
z |
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
∂2 z |
|
|
|
|
d |
|
|
|
c2 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
c2 |
z − xz′y |
|
|
|
|
|
|
|
c2 b2 z2 −c2 y2 |
|
|
|
|
c4 |
|
|
|
a2 − x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
∂y |
|
|
|
dy |
|
|
|
b |
|
|
|
z |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
z |
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Отсюда, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 z = − |
|
|
|
|
|
c4 |
|
|
|
|
((b2 |
|
− y2 )dx2 + |
|
2xydxdy + (a2 − x2 )dy2 ) . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2b2 z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
7.5. Неявные функции u и υ заданы системой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u +υ + x + y + z = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u2 +υ2 |
+ x2 + y2 + z2 |
|
= R2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
∂υ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Найти частные производные |
|
|
, |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Решение. |
|
Полагая |
|
|
|
F1(u,υ, x, y, z) =u +υ + x + y + z |
|
|
|
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
F (u,υ, x, y, z) =u2 +υ2 + x2 |
|
+ y2 + z2 |
|
|
−R2 , |
|
|
|
|
|
|
|
система |
|
|
|
|
|
|
для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определения ∂∂uz и ∂∂υz , аналогичная системе (3), имеет вид
37
|
∂F |
+ |
∂F |
|
∂u |
+ |
∂F |
∂υ |
= 0, |
||
|
|
∂z1 |
∂u1 |
∂z |
∂υ1 |
∂z |
|||||
|
|
∂F |
+ |
∂F |
∂u |
+ |
∂F ∂υ |
= 0. |
|||
|
|
∂z |
∂u |
∂z |
∂υ |
∂z |
|||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
Отсюда |
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∂υ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
∂z |
+ |
∂z +1 |
= 0, |
|
|
|
||||
|
∂u |
+ 2υ |
∂υ |
+ 2z = 0. |
|
|
|||||
2u |
∂z |
∂z |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая данную систему относительно производных, получим
∂∂uz = υu −−υz , ∂∂υz = uz −−υu .
Решим этот пример вторым способом. Найдем дифференциалы от заданных функций
du + dυ + dx + dy + dz = 0,udu +υdυ + xdx + ydy + zdz = 0,
Решим полученную систему относительно du, dυ
∂u = υu −−υx dx +υu −−υy dy + υu −−υz dz , ∂υ = ux −−υu dx + uy −−υu dy + uz −−υu dz .
Сравнивая эти выражения с полными дифференциалами, будем иметь
∂∂uz = υu −−υz , ∂∂υz = uz −−υu .
Замечание. Из формул для du, dυ следует, что
∂∂ux = υu −−υx , ∂∂υx = ux −−υu , ∂∂uy = υu −−υy , ∂∂υy = uy −−υu .
38
7.6. Функции u |
и υ независимой переменной x заданы |
|||||
системой уравнений: |
u2 +υ2 |
= x2 , u2 + 2υ2 +3x2 =1, |
найти |
|||
∂2u и |
∂2υ . |
|
|
|
|
|
∂x2 |
∂x2 |
|
|
|
|
|
Решение. |
Функции |
заданы |
неявно. |
Полагая |
||
F (u,υ, x) =u2 +υ2 |
− x2 |
, F (u,υ, x) =u2 +2υ2 +3x2 −1, |
находим |
|||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
сначала систему (3)
2u ∂∂ux + 2υ ∂∂υx − 2x = 0,2u ∂u + 4υ ∂υ +6z = 0.∂x ∂x
Отсюда первые производные ∂u |
= |
5x |
, |
|
|
∂υ |
= − |
4x |
. |
||||||||||||||
u |
|
|
∂x |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
u |
||||
Дифференцируя повторно, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∂2u |
|
|
d |
5x |
|
|
u − x du |
u2 −5x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
= 5 |
|
|
dx |
= 5 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||
∂x2 |
|
u |
u2 |
|
|
u3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
d |
|
4x |
|
υ |
− x dυ |
|
|
υ |
2 |
+ 4x |
2 |
|
|
|||||||
∂ υ |
= |
|
− |
= −4 |
|
|
dx |
|
= −4 |
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∂x2 |
|
|
u |
|
u2 |
|
|
u3 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.7. Функции u и υ независимой переменной x заданы системой уравнений u +υ + x = 0 , uυx =1 . Найти: d 2u , d 2υ .
Решение. Дифференцируя, находим уравнения, связывающие дифференциалы всех трех переменных
xυdu +uxdυ +uυdx = 0.
Решая эту систему относительно дифференциалов du , dυ , будем иметь
du = ux((υu −−υx)) dx , dυ = υx((ux −−υu)) dx .
Дифференцируя повторно
39
d |
2u = |
(du(υ − x) +u(dυ − dx))dx(u −υ)x −u(υ − x)dx(dx(u −υ) |
|
+ |
||||||
|
|
|
|
|
x2 (u −υ)2 |
|
|
|
|
|
+ |
x(du −dυ)) |
= |
(u(υ − x)2 +u(υ(x −u) − x(u −υ)))x(u −υ) |
dx2 |
+ |
|
||||
x2 (u −υ)2 |
|
|
||||||||
|
|
|
x3 (u −υ)3 |
|
|
|
|
|
||
+ |
|
−u(υ − x)(x(u −υ)2 + x(u(υ − x) −υ(x −u))) dx2 |
= |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x3 (u −υ)3 |
|
|
|
|
|
= ux((υ2 + x2 −uυ − xu)(u 3−υ) −(υ3 − x(υ2 + x2 −ux − xυ)) dx2 = x (u −υ)
= 3(υ2 + x2 −υ2 ) dx2 . x3 (u −υ)3
d2υ=(dυ(x−u)+υ(1−du))x(u−υ)dx−υ(x−u)dx(dx(u−υ)dx+x(du−dυ))= x2(u−υ)2
= (υ(x −u)2 +υ(x(u −υ) −u(υ − x)))x(u −υ) dx2 + x3 (u −υ)3
+ −υ(x −u)(x(u −υ)2 + x(u(υ − x) −υ(x −u))) dx2 = x3 (u −υ)3
= υx(((x −u)2 +(xu3− xυ −υ3 u +ux))x(u −υ) dx2 + x (u −υ)
+ −(x −u)((u −υ)2 +(uυ −ux −υx +uυ))) dx2 = x3 (u −υ)3
= υx(x2 +u2 +υ2 )(u −xυ3 ()u−(x)−3 u) +(u2 +υ2 + x2 )) dx2 = −υ
=3(u2 +υ2 + x2 ) dx2 = −d 2u .
x3 (u −υ)3
7.8. Функции u и υ независимых переменных x и y заданы неявно системой уравнений: xu + yυ = 0 , u +υ + x + y =1.
40