2405
.pdf′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z y |
= x cos(xy) , |
|
z xx |
= −y |
|
sin(xy) , |
z yy |
= −x |
sin(xy) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
′′ |
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
′ |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z xy |
= z yx |
= cos(xy) − xy sin(xy) . |
z x |
|
= e |
cos y , z y |
|
= −e |
|
sin y , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
′′ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z xx |
= e |
cos y , |
|
z yy |
|
= −e |
cos y , |
z xy |
= z yx |
|
|
= −e |
|
|
sin y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
′ |
|
|
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
, |
|
′ |
|
= y / |
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
|
′′ |
|
= y |
2 |
/(x |
2 |
+ y |
2 |
) |
3 / 2 |
, |
|
||||||||||||||||||||||||||||
5. z x = x / |
|
|
|
|
|
z y |
|
|
|
|
|
, z xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
′′ |
= x |
2 |
(x |
2 |
+ y |
2 |
) |
3 / 2 |
|
, |
|
′′ |
|
|
|
|
′′ |
|
|
= −xy /(x |
2 |
|
+ y |
2 |
) |
3 / 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
z yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
z xy |
|
= z yx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
6. z x = 2x /(x |
+ y) , z y = |
1/(x |
|
+ y) , z xx |
|
|
= 2( y − x |
) /(x |
+ y |
) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
′′ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z yy = −1 /(x |
+ y |
) , z xy = z yx = −2x /(x |
+ y |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. z′x = y / 2xy + y 2 , z′y = (x + y) / 2xy + y 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
′′ |
= −y |
2 |
/(2xy |
+ y |
2 |
|
) |
3 / 2 |
|
, |
|
|
′′ |
|
= −x |
2 |
/(2xy |
+ y |
2 |
) |
3 / 2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
z xx |
|
|
|
|
|
|
|
z yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
′′ |
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 / 2 |
. 8. |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z xy |
= z yx |
= xy /(2xy + y |
|
) |
|
z x |
=1/(3x) , |
z y |
|
=1/(3y) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
′′ |
= −1 /(3x |
2 |
) , |
|
|
′′ |
|
= −(3y |
2 |
) |
−1 |
|
|
′′ |
|
|
|
′′ |
|
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
z xx |
|
|
z yy |
|
|
|
|
, zxy |
= z yx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
= −y sin x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9. z x = cos y − y cos x , z y |
= sin x − x sin y , z xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||
z yy |
= −x cos y , |
|
z xy |
|
= z yx |
= cos x −sin y . 10. z x |
|
= 2(1+ x)(1+ y) |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
′ |
= 4(1+ x) |
2 |
(1 |
+ y) |
3 |
|
|
|
′′ |
|
= 2(1+ y) |
4 |
, |
|
′′ |
|
|
|
=12(1+ x) |
2 |
(1+ y) |
2 |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z y |
|
|
|
, z xx |
|
|
z yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
z′xy′ = z′yx′ = 8(1+ x)(1+ y)3 .
Градиент
Постановка задачи. Найти градиент функции u=f(x,y,z) в
точке M(x0,,y0,,z0).
План решения. Градиент функции f(x,y,z) – это вектор, координаты которого в базисе i , j, k являются частными производными функции f(x,y,z), т.е.
grad f |
= |
∂f |
i |
+ |
∂f |
j + |
∂f |
k = |
∂f , |
∂f |
, |
∂f . |
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
∂z |
∂x |
∂y |
|
∂z |
1. Находим частные производные функции f(x,y,z)
161
∂∂fx , ∂∂fy , ∂∂fz .
2.Вычисляем частные производные функции f(x,y,z) в
точке M(x0,,y0,,z0).
3.Вычисляем градиент функции u=f(x,y,z) в точке
M(x0,,y0,,z0):
grad f M = {f x′(x0 , y0 , z0 ), f y′(x0 , y0 , z0 ), f z′(x0 , y0 , z0 )}.
Записываем ответ.
Пример. Найти градиент функции u = x 2 −arctg( y + z) в
точке М (2,1,1).
Решение.
1. Находим частные производные функции u = x 2 −arctg( y + z) :
|
|
∂f |
∂f |
|
|
|
1 |
|
34 |
|
∂f |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
∂x = 2x, |
∂y = − |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
∂z |
= − |
|
|
|
. |
|
|
|||||
|
1 + ( y + z)2 |
1 + ( y + z)2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2. Вычисляем частные производные функции |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
u = x 2 −arctg( y + z) в точке М (2,1,1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
f x′(2, 1, 1) = 4, |
f y′(2, 1, 1) = − |
1 |
|
, |
f z′(2, 1, 1) = − |
1 |
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. Вычисляем градиент функции u = x 2 |
−arctg( y + z) в точке |
||||||||||||||||||||||||
М (2,1,1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
grad f |
(2,1,1) = {f x′(2, 1, 1), |
f y′(2, 1, 1), f z′(2, 1, 1)}= 4,− |
|
,− |
|
. |
|||||||||||||||||||
5 |
5 |
||||||||||||||||||||||||
|
Ответ. grad |
f |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(2,1,1) |
= |
4,− |
|
,− |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Условия задач. Найти градиент функции u = f (x, y, z) в |
||||||||||||||||||||||||
точке М. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
u = x +ln(z 2 + y 2 ), |
M (2, 1, 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. |
u = x 2 y − xy + z 2 , |
|
M (1, 5, −2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. |
u = sin(x + 2 y) + 2 |
xyz, |
M (π / 2, 3π / 2, 3). |
|
|
|
|
|
|
162
4. |
u = x3 + |
y 2 + z 2 , |
M (1, 1, 0). |
|
5. |
u = xy + |
9 − z 2 , |
M (1, 1, 0). |
|
6. |
u = ln(3 − x 2 ) + xy 2 z, |
M (1, 3, 2). |
||
7. |
u = x 2 y 2 z −ln(z −1), |
M (1, 1, 2). |
||
8. |
u = ln(x 2 + y 2 ), M (1, −1, 2). |
|||
9. |
u = xy − x / z, |
M (−4, 3, −1). |
||
10. |
u = ln(x + |
z 2 |
+ y 2 ), |
M (1, −3, 4). |
Ответы. 1.{1, 1, 1}. 2.{55/6, 5/6, 2/3}. 3. {3, 1, π/2}. 4. {3, 1, 0}. 5.{1/2, 1/2, 0}. 6.{17, 12, 9}. 7.{4, 4, 0}. 8.{1, -1, 0}. 9.{4, -4, -4}. 10. {1/6, -1/10, 2/15}.
Производная по направлению
Постановка задачи. Найти производную функции u(x,y,z) в точке А(x1 , y1 , z1) по направлению к точке В(x2 , y2 , z2).
План решения.
1. Если функция u(x,y,z) дифференцируема в точке
А(x1 , y1 , z1), то в этой точке существует ее производная по любому направлению l , определяемая формулой
∂u |
|
A |
= (grad u |
|
|
A |
, l |
0 |
), |
|
|
(7) |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
∂l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
grad u = |
|
∂u |
, ∂u |
, |
∂u , |
l |
|
= |
|
l |
. |
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
2.находим координаты вектора l . В данном случае l = AB = {x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 }.
3.Находим единичный вектор (орт) l0 :
163
l0 = |
|
l |
= |
{x2 − x1 , y2 |
− y1 , z2 |
− z1 |
} |
. |
|
|
l |
|
(x2 − x1 ) 2 +( y2 |
− y1 ) 2 +(z2 − z1 ) 2 |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4. Вычисляем частные производные и градиент функции u(x,y,z) в точке А(x1 , y1 , z1):
grad u A = {u′x (x1 , y1 , z1 ), u′y (x1 , y1 , z1 ), u′z (x1 , y1 , z1 )}. 5. Вычисляем скалярное произведение в формуле (7),
получаем ответ.
Пример. Найти производную функции
u = x 2 −arctg( y + z) в точке А(2, 1, 1) по направлению к точке
В(2, 4, -3).
Решение.
1. Так как функция u = x 2 −arctg( y + z) дифференцируема в точке А(2, 1, 1), то этой точке существует ее производная по любому направлению l , которая определяется формулой (7).
2. Находим координаты вектора l . В данном случае
l= AB = {0, 3, −4}.
3.Находим единичный вектор (орт) l0 :
|
|
|
l0 |
= |
|
|
l |
|
= |
|
|
{0, 3, −4} |
|
= |
|
|
3 |
|
− |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
5 |
, |
5 |
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
02 +32 +(−4) 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. Вычисляем частные производные функции |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
u = x 2 |
|
−arctg( y + z) в точке А(2, 1, 1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
∂u |
|
(2,1,1) |
= 2x |
|
(2,1,1) |
= 4, |
∂u |
|
(2,1,1) |
= − |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(2,1,1) |
= − |
1 |
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
+( y + z) 2 |
|
5 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(2,1,1) |
= − |
|
1 |
|
|
(2,1,1) |
= − |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1+( y + z) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
grad u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2,1,1) |
|
= 4, − |
|
|
|
, − |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Подставляя полученные значения в формулу (7) и вычисляя скалярное произведение, получим
164
∂u |
|
|
|
= (grad u |
|
|
, l |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
1 |
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∂l |
|
(2,1,1) |
(2,1,1) |
0 |
) = 4 0 + |
− |
|
|
|
|
|
+ − |
|
|
|
− |
|
|
= |
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
5 |
|
|
|
5 |
|
25 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Ответ. ∂u |
|
|
(2,1,1) |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
∂l |
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Условия задач. Найти производную функции u(x,y,z) в |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
точке А по направлению к точке В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1. |
u = x +ln(z 2 |
− y 2 ), |
|
A(2, 1, 1), |
B(0, 2, 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2. |
u = x 2 y − |
xy + z 2 , |
|
A(1, 5, −2), |
B(1, 7, −4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3. |
|
u = sin(x + 2 y) + 2 |
xyz, |
π |
, |
3π |
|
|
|
|
|
π |
+ 4, |
3π |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
A |
2 |
|
, 3 , |
B |
2 |
|
2 |
+3, 3 . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
|
u = x3 + |
y 2 + z 2 , |
|
A(1, 1, 0), |
|
B(1, 2, −1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5. |
|
u = xy + |
|
|
9 − z 2 , |
|
A(1, 1, 0), |
|
B(3, 3, −1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6. |
|
u = ln(3 − x 2 ) + xy 2 z, |
|
A(1, 3, 2), |
B(0, 5, 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
7. |
|
u = x 2 y 2 z −ln(z −1), |
|
A(1, 1, 2), |
B(6, −5, 2 |
5 + 2). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
8. |
|
u = ln(x 2 + y 2 ), A(1, −1, 2), |
B(2, −2, 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
9. |
|
u = ln(x + |
|
|
z 2 + y 2 ), |
|
A(1, −3, 4), |
|
|
B(−1, −4, 5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
10. u = xy − |
x |
|
, |
|
A(−4, 3, −1), B(1, 4, −2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ОТВЕТЫ. 1. − |
6 / 3 . |
2. |
|
|
2 / 12 . |
3. 3. 4. |
|
2 / 2 . |
5. 2/3. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
6. -11/3. 7. -4/9. 8. 2 |
3 / 3 . |
9. − |
6 / 60 . |
10. 20 |
3 / 9 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Производные сложной функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Постановка задачи. Найти производные z′x |
и z′y |
|
функции |
z = z(u,υ), где u = u(x, y) и υ =υ(x, y).
План решения. Поскольку z является сложной функцией двух переменных х и у, то ее производные z′x и z′y
вычисляются по формулам
165
∂z |
= |
|
∂z |
|
|
∂u |
+ |
|
∂z |
|
|
∂υ |
, |
(8) |
||
∂x |
∂u |
∂x |
∂υ |
|
∂x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∂z |
= |
|
∂z |
|
∂u |
+ |
|
∂z |
|
|
|
∂υ |
. |
(9) |
||
∂y |
|
∂u |
∂y |
|
∂υ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
1. Вычисляем частные производные
∂∂uz , ∂∂υz , ∂∂ux , ∂∂uy , ∂∂υx , ∂∂υy .
2.Подставляем полученные результаты в формулы (8) и
(9)и записываем ответ.
Замечание. Формулы (8) и (9) можно обобщить на функции любого числа переменных. Например, если дана
функция f (u,υ,ω) , |
где u = u(x, y, t), υ =υ(x, y, t) |
и |
ω = ω(x, y, t), то ее |
частные производные f x′, f y′, |
ft′ |
вычисляются по формулам
∂∂fx = ∂∂uf ∂∂ux + ∂∂υf ∂∂υx + ∂∂ωf ∂∂ωx , ∂∂fy = ∂∂uf ∂∂uy + ∂∂υf ∂∂υy + ∂∂ωf ∂∂ωy ,
∂∂ft = ∂∂uf ∂∂ut + ∂∂υf ∂∂υt + ∂∂ωf ∂∂ωt .
Пример. Найти производные z′x |
и |
z′y |
функции z = u /υ , |
||||||||
где u = x y и υ = |
xy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычисляем частные производные |
|
|
|
||||||||
|
|
∂z |
= |
1 |
, |
∂z |
= − |
u |
, |
|
|
|
|
∂u |
|
|
υ2 |
|
|
||||
|
|
υ |
∂υ |
|
|
|
|||||
∂u = yx y−1 , |
∂u = x y ln x, |
∂υ = y , |
∂υ |
= x . |
|||||||
∂x |
∂y |
|
|
|
∂x |
2 x |
∂y |
2 y |
2. Подставляя полученные результаты в формулы (8) и (9), получаем
166
|
∂z |
|
= |
1 yx y−1 − |
u |
|
y , |
∂z |
= 1 x y ln x − |
u |
x . |
|
|
||||||||||||||||||
|
∂x |
|
υ |
|
|
|
|
|
υ2 |
|
2 x |
|
|
∂y |
|
υ |
|
|
|
υ2 |
2 y |
|
|
|
|||||||
Ответ: |
|
∂z |
|
= |
1 |
|
yx y−1 − |
|
u |
|
2 |
y |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∂x |
|
υ |
|
|
|
|
|
υ2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∂z |
= 1 yx y ln x − u |
|
|
x |
|
, |
где u = x y , υ = |
|
xy. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∂y |
υ |
|
|
|
|
|
|
|
υ2 |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Условия задач. Найти производные |
z′x |
и |
z′y функции |
|||||||||||||||||||||||||||
z = z(u,υ) , где u = u(x, y) |
и υ =υ(x, y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1. |
z = u 2 +υ2 , |
u = x + y, υ = x − y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2. |
z = ln(u 2 |
+υ2 ), |
u = xy, |
υ = x / y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3. |
z = uυ , |
|
u = sin x, |
|
υ = cos y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. |
z = u 2 + 2υ3 , u = x 2 − y 2 , υ = e xy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5. |
z = arctg(u / υ), |
u = x sin y, |
υ = x cos y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6. |
z = ln(u −υ2 ), |
u = x 2 |
+ y 2 , |
υ = y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7. |
z = u 3 +υ2 , |
u = ln |
|
x 2 + y 2 , |
υ = arctg( y / x). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
8. |
z = |
|
uυ, |
|
u = ln(x 2 |
+ y 2 ), |
υ = xy 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
9. |
z = euυ , u = ln x, υ = ln y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
10. z = ln(u /υ), |
u = sin(x / y), |
υ = |
x / y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Ответы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
z′x = 2u + 2υ, z′y = 2u −2υ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2. |
z′x = |
|
2u |
|
|
y + |
|
2υ |
|
|
1 |
, |
z′y |
= |
|
2u |
|
x |
− |
|
2υ |
|
|
x |
. |
||||||
u 2 +υ2 |
|
u 2 +υ |
2 |
|
u 2 |
+υ |
2 |
u 2 +υ |
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y 2 |
||||||||||||||||||
3. |
z′x =υuυ−1 cos x, |
z′y |
= uυ ln u (−sin y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4. |
z′x = 2u 2x +6υ2 ye xy , z′y = 2u (−2 y) +6υ2 xe xy . |
|
|
|
|
167
5. z′x |
= |
|
|
|
υ |
|
|
|
|
sin y |
− |
|
u |
|
|
|
|
|
cos y, |
|
|
||||||||||||||||
u 2 |
+υ |
2 |
u |
2 −υ2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
z′y = |
|
|
|
υ |
|
|
|
x cos y − |
|
u |
|
|
|
|
|
x sin y. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
u 2 +υ2 |
u |
2 +υ2 |
|
|
2υ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6. z′x |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2x, |
|
z′y |
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 y + |
. |
|||||||||||||||
u |
−υ2 |
|
|
|
u −υ |
2 |
u −υ2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
7. z′x = 3u 2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
−2υ |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
, |
|
|
|||||||||||||
x 2 |
+ y 2 |
|
x |
2 |
|
|
|
+ y 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
z′y = 3u |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
+ 2υ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||
x 2 |
+ y 2 |
x |
2 |
|
|
|
+ y 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
8. z′x |
= |
|
|
υ |
|
x |
|
2x |
|
+ |
2 |
|
u |
|
y 2 , |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
u |
|
|
|
|
2 |
+ y 2 |
|
|
|
|
υ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
z′y |
= |
|
|
υ |
|
x 2 |
2 y |
|
+ |
2 |
|
u |
|
|
2xy. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
u |
|
|
|
|
+ y 2 |
|
|
|
|
υ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
9. z′x =υeuυ |
|
1 |
|
, z′y |
= ueuυ |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||
10. z′x |
= |
1 |
|
cos x |
|
1 |
− |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
υ |
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
′ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||
|
|
= |
cos |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
z y |
u |
|
y |
|
y |
2 |
+ |
υ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
y |
|
|
|||||||||||
Производная неявной функции |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Постановка |
|
|
задачи. |
|
|
|
|
|
Найти |
производную функцию |
|||||||||||||||||||||||||||
y = y(x) , заданной неявно уравнением |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x, y) = 0. |
|
(10) |
План решения. Если при каждом фиксированном х, принадлежащем некоторой области D, уравнение (10) имеет единственное решение у, принадлежащее некоторой области Е,
168
то уравнение (10) задает функцию y = y(x) с областью определения D и областью значений E.
Если в некоторой окрестности точки (x0 , y0 = y(x0 )) функция F(x,y) дифференцируема и Fx′(x0 , y0 ) ≠ 0 , то уравнение (10) определяет функцию у=у(х), дифференцируемую в точке x0 ,
причем ее производная определяется формулой |
|
|||
y′(x0 ) = − |
Fx′(x0 |
, y0 ) |
. |
(11) |
Fy′(x0 |
|
|||
|
, y0 ) |
|
||
1. Вычисляем частные производные Fx′(x, y) и |
Fy′(x, y) в |
точке (x0 , y0 ) , где y0 есть корень уравнения F(x0 , y) = 0. 2. Находим y′(x0 ) по формуле (11) и записываем ответ.
Замечание. Аналогично вычисляются частные производные функций нескольких переменных, заданных неявно. Например, если уравнение F (x ,y ,z) = 0 задает функцию
z = z (x ,y) , то при известных условиях функции z = z (x ,y) дифференцируема в точке (x0 , y0 ) и ее частные производные
определяются функциями |
|
|
|
|
|
|
Fy′(x0 |
, y0 |
, z0 ) |
|
|||||||
z′x (x0 , y0 ) = − |
F ′(x |
0 |
, y |
0 |
, z |
0 |
) |
|
z′y (x0 , |
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
, |
y0 ) = − |
|
|
|
, |
||||||
Fz′(x0 , y0 , z0 ) |
Fz′(x0 |
, y0 , z0 ) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
где z0 есть корень уравнения F(x0 , y0 , z) = 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||
Пример. Найти производную функции y = y(x) , заданной |
|||||||||||||||||
неявно уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y . |
|
|
|
|
||
|
|
ln |
x 2 |
+ y 2 |
= arctg |
|
|
(12) |
|||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y . |
|
|
||
1. В данном случае F(x, y) = ln x 2 |
+ y 2 −arctg |
|
|
||||||||||||||
Вычисляем ее частные производные: |
|
|
x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
169
Fx′ = |
|
|
x |
|
− |
|
|
1 |
|
− |
y |
|
= |
x + y |
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 2 + y 2 |
1 |
+( y / x) 2 |
x 2 |
x 2 + y |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Fy′ |
= |
|
y |
|
|
− |
1 |
|
1 |
|
= |
|
|
y − x |
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x 2 |
+ y 2 |
1+( y / x) 2 |
|
|
|
x 2 + y 2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
Очевидно, что F(x, y) , Fx′ и Fy′ непрерывны при всех x ≠ 0 и Fy′ ≠ 0 при x ≠ y . Следовательно, уравнение (12) определяет функцию у(х), дифференцируемую во всех точках (x0 , y0 ) области, где x ≠ 0 и x ≠ y .
2. Находим y′ по формуле (11)
|
|
y |
′ |
|
|
Fx′(x0 , y0 ) |
|
(x0 + y0 ) /(x02 + y02 ) x0 + y0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= − Fy′(x0 , y0 ) |
= − ( y0 − y0 ) /(x02 + y02 ) = x0 − y0 . |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
Ответ. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
′ = |
x0 + y0 |
при всех |
x0 , y0 , удовлетворяющих уравнению |
|||||||||
|
|||||||||||||
|
|
x0 − y0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
(12), в области, где x ≠ 0 и x ≠ y . |
|||||||||||||
|
Условия задач. Найти |
производные функций y = y(x) , |
|||||||||||
заданных неявно уравнениями. |
|
|
|
|
|||||||||
1. |
y x = x y . |
|
|
2. |
y =1+ y x . |
||||||||
3. |
y = x +ln y. |
|
|
4. |
x + y = e x−y . |
||||||||
5. |
x 2 e2 y |
|
− y 2 e2 x = 0. |
|
|
6. |
x − y + arctgy = 0. |
||||||
7. |
y sin x −cos(x − y) = 0. |
8. |
sin(xy) −e xy − x 2 y = 0. |
9. 1+ xy −ln(e xy +e−xy ) = 0.
Ответы.
1. y′ = − y x ln y − yx y−1 . xy x−1 − x y ln x
3. y′ = y y−1 .
10. x 2 −2xy + y 2 + x + y −2 = 0.
2. y′ = |
y x ln y |
|
|
. |
|
1− xy x−1 |
4. y′ = e x−y −1 .
e x−y +1
170