2405

3.14. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Определение частных производных второго порядка

Если задана функция z = f(х; у) и вычислены ее частные производные ∂∂fx (x; y) и ∂∂fy (x; y) , то они, вообще говоря, могут

быть также дифференцируемыми функциями двух независимых переменных х и у. Приняты обозначения:

частные производные второго порядка;

Теорема 13 (Шварца). Если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они равны между собой. Другими словами, результат смешанного дифференцирования не зависит от порядка.

Дифференциал второго порядка

называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка для функции z.

141

Производные и дифференциалы высших порядков

По аналогии можно определить частные и смешанные производные высших порядков, часть которых, согласно теореме Шварца, равны между собой.

Таким образом, имеем три различных производных второго порядка, четыре различных производных третьего порядка

и так далее.

Число разных частных производных порядка n от функции двух переменных равно n + 1:

Дифференциалы высших порядков определяются по аналогии:

Выражение для d n z формально можно записать в виде

d n z = ∂∂x dx + ∂∂y dy n (z) ,

напоминающем формулу бинома Ньютона.

142

3.15. Производная по направлению. Градиент. Определение производной по направлению

Пусть z = f (х; у) - дифференцируемая функция в некоторой

называется производной функции f по направлению l .

Существование этого предела и выражение его через ∂∂fx и ∂∂fy , cosα, sinα, вытекает из следующего соотношения:

p → 0.

Таким образом,

143

∂∂fl = ∂∂fx cosα + ∂∂fy sinα .

Теорема 14. Производная по направлению, касательному к линии уровня поверхности z=f(x;y) равна нулю.

Случай нескольких переменных

По аналогии со случаем функции двух переменных можно определить производную по направлению для функции трех переменных u=f(х; у; z). Окончательная формула такова:

∂∂ul = ∂∂fx cosα + ∂∂fy cos β + ∂∂fz cosγ ,

гдеe = (cosα;cos β;cosγ ) - орт направления; l или cosα;cos β;cosγ - направляющие косинусы направления l .

Теорема 15. Производная по направлению касательному к поверхности уровня функции u = f(х;у;z), равна нулю.

Градиент

Градиентом функции z=f(x;y) (скалярного поля)

произведению векторов градиента и орта направления l .

Следствие. Векторgradz e в каждой точке направлен по

нормали к линии уровня, проходящей через данную точку в сторону возрастания функции.

При этом

144

Теорема 17. Скорость изменения функции f по некоторому

направлению l равна проекции вектора градиента на это направление, т.е.

∂∂fl = прi grad f .

3.16. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума

Рассмотрим функцию z = f(x,y), непрерывную в точке М0(x0,y0) и некоторой ее окрестности.

Точка М0(x0,y0) называется точкой максимума функции z = f(М) (рис.3.2), если всюду в некоторой окрестности точки М0 (0<d(M0M) < δ) выполняется неравенство

145

Точки максимума и точки минимума – точки экстремума. Понятие экстремума носит локальный характер: в определении рассматриваются лишь точки М1 достаточно близкие к точке М0.

Теорема 18. (Необходимое условие). Если функция z =

f(х,у) <f(х0 ,у0) х δ-окрестности точки М0 (рис.3.4). В частности, это неравенство выполнено для точек, ординаты

На основании необходимого признака экстремума функции одной переменной заключаем, что

f x′(x0 , y0 ) = 0 .

Полагая, что х = х0, точно так же докажем, что f y′ (x0 , y0 ) = 0 .

146

Следствие. В тех точках в которых существуют частные производные и хотя бы одна из них отлична от нуля, экстремума быть не может.

Значит экстремум следует искать только в тех точках, в которых все частные производные первого порядка равны нулю, либо хотя бы одна из них не существует.

Такие точки называются критическими (стационарными). В критической точке экстремум может быть, а может и не быть. В общем случае о наличии или отсутствии экстремума в критической точке судят с помощью достаточных признаков экстремума.

В частных случаях, когда в некоторой области имеется только одна стационарная точка, можно обойтись без достаточных признаков.

Частные производные обращаются в ноль только в одной точке О(0,0). Но в этой точке z= f(0,0) = 0, а в остальных точках f(М)>0, ясно, что в начале координат функция имеет минимум.

Достаточный признак экстремума

Теорема 19. Пусть функция z = f(х,у) имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М0 (х0 ,у0), а в самой точке М0

Тогда :

147

1. Если число = AC − B2 > 0, то в точке М0 (х0 ,у0) функция f(х,у) имеет экстремум, а именно максимум, если

А< 0 и минимум, если А > 0.

2.Если число = AC − B2 < 0, то в точке М0 (х0 ,у0) экстремума нет.

3.Если число = AC − B2 = 0, то признак не применим.

Пример . Найти экстремум функции z = x3 + y 3 − 9xy + 27 .

Найдем частные производные и приравняем их нулю.

Следовательно, в точке М2 функция имеем минимум, так как

А>0.

zmin = 27 + 27 − 81 + 27 = 0

148

3.17. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

Пусть функция z=f(x,y) непрерывна в замкнутой области

D . Тогда в области D найдётся хотя бы одна точка A(x0,y0), в которой функция принимает своё наибольшее значение M: f(x0,y0) = M и найдется хотя бы одна точка B(x1,y1), в которой функция принимает своё наименьшее значение m:

Возможны два случая. Точка А лежит внутри области D или точка А лежит на границе. То же самое и относительно точки В. Если А и В лежат внутри области, то они, в силу неравенств (2), совпадают с экстремальными точками.

Таким образом для нахождения наибольшего и наименьшего значений надо:

1)найти все критические точки, попадающие внутрь области D и вычислить значения функции в этих точках.

2)найти критические точки на границе области и вычислить в них значения функции.

3)затем выбирают наибольшее и наименьшее из всех полученных чисел. Пример: Найти наибольшее и наименьшее

точке M1 : z(0,0)=0.

149

z2 = −1.

3.18. Формула Тейлора для функции двух переменных

Теорема 20. Пусть функция z = f (x, y) определена и

непрерывна вместе со всеми своими частными производными до (n +1) порядка включительно в некоторой окрестности

точки M0 (x0 , y0 ) . Тогда для любой точки M (x0 +Δx, y0 + y) из этой окрестности справедливо равенство

150