2405
.pdfM3 , M5 функция имеет условный минимум равный umin = 4 , а в
точках M4 , M6 - максимум umax = 4 4 .
27
11.2. В эллипсоид вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего обьема.
Решение. В силу симметрии заданных геометрических фигур достаточно исследовать на условный экстремум функцию объема V = xyz , т. е. объема параллелепипеда
расположенного в первом октанте. Учитывая, что уравнение связи есть уравнение эллипсоида, составим функцию Лагранжа
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = xyz +λ |
x |
|
|
+ |
|
y |
|
+ |
|
|
|
− |
1 . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
c |
|
|
|
|
du = yz +λ |
2x , |
|||||
|
|
|
Находим |
|
частные |
|
|
производные |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
du |
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
du = xy |
|
|
2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
a2 |
|||||||
|
= xz +λ |
, |
+λ |
, |
|
тогда |
|
необходимое условие |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
dy |
|
c2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
экстремума будет |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yz +λ |
= 0 , |
|
xz +λ |
|
= 0 , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy +λ |
2z |
= 0 , |
|
x2 |
|
+ |
y2 |
|
+ |
z2 |
=1 . |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
2 |
|
a2 |
|
b2 |
c2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Решая эту систему, будем иметь |
x = ±a |
|
3 |
, y = ±b |
3 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z = ±c |
|
. |
Поскольку рассматривается только первый октант, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
экстремум |
|
будет |
|
|
в точке с |
координатами |
||||||||||||||||||||||||||
условный |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = a |
|
3 |
, |
y = b |
3 |
, |
|
z = c |
|
3 |
. |
|
Отсюда |
следует, |
что |
||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
3 |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямоугольный параллелепипед наибольшего объема имеет измерения x = a 233 , y = b 233 , z = c 2 33 .
71
2. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ
2.1. Касательная и нормаль к плоской кривой
10. В случае неявного |
задания кривой F (x, y) = 0 |
||||||||||
уравнение касательной в точке (x0 , y0 ) имеет вид |
|
||||||||||
F ' (x, y)(x − x ) + F ' |
(x, y)( y − y |
0 |
) = 0 . |
(1) |
|||||||
x |
0 |
|
y |
|
|
|
|
||||
Уравнение нормали |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F ' (x, y)(x − x ) + F ' |
(x, y)( y − y |
0 |
) = 0 |
|
|||||||
y |
0 |
|
x |
|
|
|
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
F ' |
F ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. Если кривая задана параметрически x =ϕ(t) , |
y =ψ (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgα = |
|
y' |
|
|
|
|
|
|||
и |
имеет угловой |
|
коэффициент |
|
1 |
, |
|
то |
|
уравнение |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x' |
|
|
|
|
|
||
касательной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y' |
|
|
|
|
|
x − x |
|
|
|
y − y |
|
|
|
|||
|
y − y |
|
= |
|
0 |
(x − x ) |
или |
|
0 |
= |
|
|
|
0 |
|
(3) |
||||||
|
|
|
|
x' |
|
|
y' |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
x' |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
Уравнение (3) справедливо и для случая, когда |
x' = 0 , а |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
y' |
≠ 0 , т. к. это означает, |
что равен нулю и соответствующий |
||||||||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предыдущий член. Только в особой точке, |
где x' = 0 |
и y' = 0 , |
||||||||||||||||||||
уравнение (3) теряет смысл. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
30. Если кривая задана полярным уравнением |
p = p(ϕ) , |
||||||||||||||||||||
то |
переходя |
к |
|
прямоугольным |
координатам |
|
x = p cosϕ , |
|||||||||||||||
y = p sinϕ , |
угол |
|
наклона |
касательной |
|
определяется |
||||||||||||||||
выражением |
|
|
|
|
|
|
yϕ' |
|
|
ρϕ' sinϕ + ρ cosϕ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
tgα = |
|
= |
|
|
(4) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
xϕ' |
|
ρϕ' cosϕ − ρ sinϕ |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72
Рис. 2.1
Положение касательной в полярных координатах обычно определяют углом θ с продолжением радиус-вектора (рис. 2.1), а не углом α с полярной осью
tgθ = |
ρ |
(5) |
|
ρ' |
|||
|
|
||
|
ϕ |
|
1.1. Найти уравнение касательной и нормали к кривой 2x3 − x2 y2 −3x + y + 7 = 0 в точке M (1, −2) .
Решение. Функция задана не явно. Для нахождения уравнения касательной воспользуемся уравнением (1). Находим значения частных производных в заданной точке
dF |
= 6x2 −2xy2 |
−3; |
dF |
|
|
= −5 , |
||
dx |
dx |
|
||||||
|
|
|
M |
|||||
|
|
|||||||
∂F |
= −2x2 y +1; |
∂F |
|
|
|
= 5 . |
||
|
|
|
||||||
∂y |
|
∂y |
|
M |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, −5(x −1) +5( y + 2) = 0 или x − y −3 = 0 .
Уравнение нормали находим по формуле (2): 5(x −1) +5( y + 2) = 0 или x + y +1 = 0 .
1.2. Написать уравнение касательной и нормали к циклоиде x = t −sin t; y =1−cos t в точке M , для которой t = π2 .
Решение. Находим координаты точки M :
73
|
|
x |
|
= π −sin π = π |
|
−1, |
|
y |
0 |
=1−cos π =1. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
0 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy = |
|
|
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
||||||
Вычислим производную |
|
|
|
|
|
|
и найдем угловой |
||||||||||||||||||
|
1 |
−cos t |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||
коэффициент касательной в точке M : |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
y '(x ) = |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
−cos π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким |
π |
образом, |
уравнение |
|
|
касательной |
примет |
вид |
|||||||||||||||||
|
+ |
|
|
или |
x − y − |
π |
+ 2 = 0 . |
Уравнение нормали, |
|||||||||||||||||
y −1 =1 x − |
2 |
1 |
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
соответственно, будет y −1 = − |
|
|
π |
|
|
или x + y − |
π |
= 0 . |
|
||||||||||||||||
x − |
2 |
|
+1 |
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.3. Определить положение касательной и нормали к |
|||||||||||||||||||||||||
лемнискате ρ2 |
= 2a2 cos 2ϕ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. Воспользуемся |
|
|
|
|
|
|
|
формулой |
|
|
|
(5). |
|||||||||||||
Продифференцируем |
уравнение |
|
|
лемнискаты, |
считая |
ρ |
|||||||||||||||||||
функцией ϕ |
|
|
ρρϕ' = −2a2 sin 2ϕ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Разделив это уравнение на уравнение лемнискаты, |
|||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π + 2ϕ . |
|
|
|
|
tgθ = |
|
= −ctg2ϕ , |
|
откуда θ = |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ρϕ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Если обозначить через α и β углы наклона касательной
и нормали к полярной оси, то получим
α =θ +ϕ = π2 +3ϕ; β =α − π2 ,
откуда β = 3ϕ , т. е. угол наклона нормали к лемнискате равен утроенному значению полярного угла.
74
2.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
10. Касательной плоскостью к поверхности в заданной на ней точке M называется такая плоскость, которая содержит касательные ко всем кривым, проведенным по поверхности через эту точку.
Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная касательной плоскости в точке касания.
Если поверхность задана неявным уравнением F (x, y, z) = 0 , то уравнение касательной плоскости в точке
M 0 (x0 , y0 , z0 ) |
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
∂F0 (x − x ) + ∂F0 |
( y − y |
0 |
) + ∂F0 (z − z |
0 |
) = 0 , |
(1) |
|||||
|
|
|
∂x |
|
0 |
∂y |
|
∂z |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
∂F0 |
, |
∂F0 |
, |
∂F0 |
- значения частных производных в точке |
||||||||
∂x |
∂y |
∂z |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 , x, y, z - текущие координаты касательной поверхности. Уравнение нормали к поверхности будет
|
|
|
x − x0 |
|
= |
|
y − y0 |
= |
z − z0 |
. |
(2) |
|||
|
|
|
∂F |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
∂F |
|
|
∂F |
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
∂z |
|
||||
Вектор |
G |
∂F |
, |
∂F |
, |
∂F |
|
|
называется |
нормальным |
||||
n |
∂x |
∂y |
∂z |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектором к поверхности. Если на поверхности есть точка, в которой ∂∂Fx = ∂∂Fy = ∂∂Fz = 0 , то она называется особой и в ней
нет ни касательной плоскости, ни нормали к поверхности. Если уравнение поверхности задано в явном виде
z = f (x, y) , то уравнение касательной плоскости
|
|
|
|
z − z |
|
= |
∂f0 |
(x − x ) + |
∂f0 |
( y − y |
|
) , |
(3) |
|
|
|
|
|
0 |
|
∂x |
0 |
∂y |
|
0 |
|
|
где |
∂f0 |
, |
∂f0 |
- значения частных производных в точке |
M0 . |
||||||||
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75
Уравнение нормали в этом случае
|
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
. |
(4) |
||||
|
|
|
|
|
∂f0 |
|
||||||
|
|
∂f0 |
|
|
−1 |
|
||||||
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|||
Направляющие косинусы нормали к поверхности |
||||||||||||
определяются выражениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
−p |
|
|
|
|
−q |
|
|||||
cos λ = |
|
; cos μ = |
|
|
|
; |
||||||
± 1+ p2 + q2 |
± |
1+ p2 + q2 |
||||||||||
|
|
cos v = |
|
|
1 |
|
|
; |
(5) |
|||
|
|
± 1+ p2 + q2 |
где |
p = |
∂z |
= − |
F ' |
, q = |
∂z |
= − |
Fy' |
. Двойной знак перед корнем |
|
|
x |
|
|
|||||||
∂x |
F ' |
∂y |
F ' |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
z |
|
соответствует двум противоположным направлениям нормали. 20. Если поверхность задана параметрическими
уравнениями
x =ϕ(u, v) , y =ψ (u, v) , z = χ(u, v) , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
то уравнение |
касательной |
плоскости |
в |
|
некоторой точке |
|||||||||||||||||||||
(x0 , y0 , z0 ) имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x − x0 |
|
|
y − y0 |
z − z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x' |
|
|
y' |
|
|
|
z' |
|
|
= 0 |
(6) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
u |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x' |
|
|
y' |
|
|
|
z' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
v |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Направляющие косинусы нормали |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
cos λ = |
|
|
|
A |
|
|
|
|
; |
cos μ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
; |
|||
± |
A2 + B2 +C2 |
|
± |
A2 + B2 +C2 |
||||||||||||||||||||||
|
cos v = |
|
|
|
A |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
||||||||
|
± |
A2 + B2 +C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
y' |
z' |
|
; |
B = |
|
z' |
x' |
|
; |
C = |
|
x' |
y' |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
u |
u |
|
|
u |
u |
|
|
u |
u |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
y' |
z' |
|
|
|
|
|
|
z' |
x' |
|
|
|
|
|
|
x' |
y' |
|
|
|||
|
|
|
|
v |
v |
|
|
|
|
|
|
v |
v |
|
|
|
|
|
|
v |
v |
|
|
76
30. Угол между двумя поверхностями в точке их
пересечения |
называется |
угол между |
касательными |
|||||
плоскостями, |
|
|
проведенными |
к |
рассматриваемым |
|||
поверхностям, в данной точке. |
|
|
|
|||||
Поверхности называются ортогональными, если они |
||||||||
пересекаются под прямым углом α = |
π |
в каждой точке линии |
||||||
их пересечения. |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.1. Для данных поверхностей найти уравнения |
||||||||
касательных плоскостей и нормалей в указанных точках: |
||||||||
а) |
z = arctg |
x |
в точке |
M0 (−1;1; − |
π ); |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
y |
|
4 |
|
|
|
б) |
x3 + y3 + z3 − xyz −10 = 0 в точке M 0 (−1; 2;1); |
|||||||
в) |
x = ρ sinϕ, y = ρ cosϕ, z = ρtgα в точке M 0 (ρ0 ;ϕ0 ); |
|||||||
|
G |
|
|
|
−u2 } в точке |
G |
|
|
г) |
r {u cos v,u sin v, a2 |
r0 {x0 , y0 , z0 } . |
Решение. а) Уравнение поверхности задано в явном виде. Воспользуемся формулами (3), (4). Для этого найдем частные производные и их значения в точке M
|
∂z |
= |
|
|
y |
|
|
; |
|
∂z |
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∂x |
|
x2 + y2 |
|
∂x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∂z |
= |
|
|
x |
|
|
; |
|
∂z |
|
|
|
|
= |
1 . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∂y |
|
x2 + y2 |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда уравнение касательной плоскости |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
z + π |
= |
1 |
(x +1) |
+ |
1 |
( y |
−1) |
или x + y −2z = |
π . |
|||||||||||||||||||
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −π 4 |
|
|
2 |
|||
Уравнение нормали |
|
x +1 |
|
y −1 |
= |
|
или |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x +1 |
|
= |
y −1 |
= |
z −π 4 |
. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
б) Уравнение поверхности задано неявно. Обозначив
77
F (x, y, z) = x3 + y3 + z3 − xyz −10 , найдем частные производные в точке M
∂F |
= 3x2 − yz , |
∂F0 |
=1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂F |
= 3y2 − xz , |
∂F0 |
=13 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂F |
= 3z2 − xy , |
∂F0 |
= 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя формулы (1), (2), получим уравнение |
||||||||||||
касательной плоскости |
x +1+13( y −2) +5(z −1) = 0 |
|
или |
|||||||||
x +13y +5z −30 = 0 |
и уравнение нормали |
x +1 |
= |
y −2 |
|
= |
z −1 |
. |
||||
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
13 |
|
5 |
|
в) Поверхность задана параметрически. При нахождении касательной плоскости в точке (ρ0 ,ϕ0 ) воспользуемся
уравнением (6). Вычисляя производные в точке M0 , будем иметь
|
x − x0 |
y − y0 |
z − z0 |
|
|
|
|
||||
|
sinϕ0 |
cosϕ0 |
tgα |
|
= 0 . |
|
ρ0 cosϕ0 |
−ρ0 sinϕ0 |
0 |
|
|
Откуда при x0 = ρ0 sin ϕ0 , |
y0 = ρ0 cosϕ0 , z0 = ρ0tgα |
получим
xρ0 sinϕ0tgα − ρ02 sin2 ϕ0tgα + yρ0 cosϕ0tgα −
−ρ02 cos2 ϕ0tgα − zρ0 + ρ02tgα = 0
или
x sin ϕ0 + y cosϕ0 − zctgα = 0 .
Уравнение нормали к поверхности (2) в точке M0 будет
и уравнением нормали к касательной плоскости. Таким образом,
x − ρ0 sinϕ0 |
= |
y − ρ0 cosϕ0 |
= |
z − ρ0tgα |
. |
sinϕ0 |
cosϕ0 |
|
|||
|
|
−ctgα0 |
78
|
г) |
|
По |
условию |
|
задачи |
|
|
|
|
поверхность |
|
задана |
||||||||||||||||||||
параметрическими |
|
|
|
|
уравнениями |
|
|
x = u cos v , |
y = u sin v , |
||||||||||||||||||||||||
z = |
a2 −u2 . |
Для нахождения касательной плоскости в точке |
|||||||||||||||||||||||||||||||
(x0 , y0 , z0 ) воспользуемся формулой |
|
(6). Находя |
частные |
||||||||||||||||||||||||||||||
производные по u,v в точке (x0 , y0 , z0 ) , будем иметь |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x − x0 |
|
|
|
|
y − y0 |
z − z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos v0 |
|
|
|
|
sin v0 |
|
− |
|
|
|
u0 |
|
|
= 0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 −u0 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
−u0 sin v0 |
|
|
u0 cos v0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(z − z |
|
)u |
|
cos2 v |
+( y − y |
|
) |
|
u2 sin v |
+ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 −u2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
+(z − z |
|
)u |
|
sin2 |
v |
+(x − x ) |
|
u2 |
cos v |
|
= 0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
a2 −u2 |
|
|
|
|
||||||
или, переходя к координатам x, y, z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z − z |
|
|
+( y − y |
|
) |
|
y0 |
+(x − x ) |
x0 |
= 0 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
z0 |
|
|
|
0 |
z0 |
|
|
|
|
|||||||
|
Преобразуя |
|
|
|
|
последнее |
выражение |
|
к |
виду |
|||||||||||||||||||||||
xx |
+ yy |
0 |
+ zz |
0 |
|
= x2 + y2 |
+ z2 и подставляя |
вместо квадратов в |
|||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правую часть их значения через криволинейные координаты, окончательно получим xx0 + yy0 + zz0 = a2 .
2.2.Написать уравнения нормали к поверхности конуса
x2 + y2 = z2 в точке (4;3;5) . В какой точке конуса нормаль не
определена?
Решение. Уравнение поверхности задано неявно.
Обозначая |
F (x, y, z) = x2 + y2 − z2 , |
|
находим |
частные |
|||
производные |
∂F |
|
∂F |
|
∂F |
|
|
|
= 2x , |
= 2 y , |
= −2z , |
|
|||
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
|
79
|
|
|
∂F0 |
|
= 8 |
, |
|
∂F0 |
= 6 , |
∂F0 = −10 . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
||
Уравнение нормали к поверхности конуса примет вид |
||||||||||||||||||||
|
x −4 |
|
= |
y −3 |
|
= |
z −5 |
|
или |
|
x −4 |
= |
y −3 |
= |
z −5 |
. |
||||
8 |
|
|
−10 |
4 |
3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
−5 |
||||||||||
|
G |
∂F |
, |
∂F |
, |
∂F |
|
- есть нормальный вектор к |
||||||||||||
Вектор n |
∂x |
∂y |
∂z |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
поверхности конуса. |
Поскольку в точке (0;0;0) |
производные |
∂∂Fx = ∂∂Fy = ∂∂Fz = 0 , то эта точка является особой и в ней
нормаль к поверхности конуса не определена.
2.3. Найти углы с осями координат нормали к поверхности x2 + y2 − xz − yz = 0 в точке (0, 2, 2) .
Решение. Уравнение поверхности задано неявно. Воспользуемся формулами (5). Найдем сначала частные
производные в точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
= − |
∂F ' |
= |
2x − z |
, |
p = −1 |
, |
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∂x |
|
x + y |
|
|
|
|
|
||||||||
|
∂F ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
= − |
∂Fy' |
= |
2y − z |
, |
q =1. |
|
|
|
|
|||||
∂y |
∂F ' |
|
x + y |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
z |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
Таким образом, cos λ = |
|
, |
cos μ = − |
|
, cos v = |
. |
|||||||||
3 |
|
3 |
3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Определить плоскость, касательную к поверхности x2 + 2 y2 + z2 = 4 и а) параллельную плоскости x −2 y + z = 0;
б) перпендикулярную к прямой |
|
x +1 |
= |
y −1 |
= |
z +1 |
. |
||||||
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
−1 |
|||||
Решение. а) Уравнение поверхности задано неявно. |
|||||||||||||
Обозначаем |
F (x, y, z) = x2 + 2 y2 + z2 − 4 |
и находим частные |
|||||||||||
производные |
|
∂F |
= 2x , |
∂F |
= 4 y , |
∂F |
= 2z . |
|
|
|
|||
|
|
∂x |
∂y |
∂z |
|
|
|
|
|
Воспользуемся условием параллельности касательной
80