2405
.pdf∂2u ∂2u ∂2u ∂2υ ∂2υ ∂2υ
Найти ∂x2 , ∂x∂y , ∂y2 , ∂x2 , ∂x∂y , ∂y2 .
Решение. Найдем сначала первые частные производные. Полагая F1(u,υ, x, y) = xu + yυ и F2 (u,υ, x, y) =u +υ + x + y −1,
находим систему (3) для определения ∂u , ∂υ
∂x ∂x
x ∂∂ux + y ∂∂υx +u = 0,∂u + ∂υ +1 = 0.∂x ∂x
Решая эту систему относительно производных, получим:
∂∂υx = ux −− xy , ∂∂ux = xy −−uy .
Аналогично
|
|
|
|
∂u |
+ y |
∂υ |
+ |
υ = 0, |
||||||||
|
|
x |
∂y |
∂y |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
∂u |
|
+ |
∂υ |
+1 |
= 0. |
|
||||||
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
откуда: |
∂u |
= |
y −υ |
|
, |
|
|
∂υ |
= |
υ − x |
. |
|||||
∂y |
x − y |
|
|
|
∂x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x − y |
Повторно дифференцируя и учитывая, что функции u и υ зависят от переменных x и y , будем иметь:
2 |
u |
|
|
∂ |
|
|
|
|
− |
∂u (x − y) −( y −u) |
|
2(u − y) |
|
|
|
||||||||||
∂ |
= |
|
|
y −u |
|
= |
|
|
∂x |
|
|
|
= |
, |
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − y) |
|
|
|
(x − y) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
∂x x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2u |
|
|
∂ |
y −u |
|
|
1 |
(x − y) +( y −u) |
|
|
x − y +υ |
−u |
|
||||||||||||
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − y) |
|
|
|
(x − y) |
|
||||||||
∂x∂y ∂y x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂υ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∂2u |
|
|
|
|
∂ |
y −υ |
|
|
|
1− |
|
|
(x − y) +( y |
−υ) |
2(x −υ) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
, |
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
∂y |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − y) |
|
|
|
|
(x − y) |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
− x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 (x − y) −(u |
2( y −u) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
∂ υ |
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
u − x |
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
, |
|
||||||||||||||||||||||||
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − y)2 |
|
(x − y)2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂υ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 (x − y) −(υ |
− x) |
|
y − x +u −υ |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∂ υ |
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
= |
|
|
υ − x |
|
= |
|
|
|
|
= |
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
(x − y)2 |
|
|
(x − y)2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
∂x∂y |
|
|
|
x − y |
|
|
|
|
|
∂υ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − y) +(υ − x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∂ υ |
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
|
|
|
υ − x |
|
= |
|
|
|
|
|
= 2(υ − x) . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∂y |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − y) |
|
(x − y) |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7.9. |
|
Функции u |
|
и υ |
|
независимых переменных |
|
|
x и |
y |
заданы неявно системой уравнений: u +υ = x , uυ = y . Найти
d 2u , d 2υ .
Решение. Найдем сначала du и dυ . Для этого продифференцируем заданные уравнения
du +dυ = dx,υdu +udυ = dy.
Решая эту систему относительно du и dυ , получим
|
|
du = |
udx −dy |
, dυ = |
dy −υdx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
u −υ |
|
u −υ |
|
|
|
||
|
Дифференцируем повторно |
|
|
|
||||||
|
|
d 2u = dudx(u −υ) −(udx − dy)(du −dυ) |
= |
|
|
|||||
|
|
|
(u −υ)2 |
|
|
|
||||
|
= |
(udx − dy)dx(u −υ) −(udx − dy − dy −υdx)(udx − dy) |
= |
|
||||||
|
|
|
|
(u −υ)3 |
|
|
|
|||
= |
(udx −υdx −udx + 2dy −υdx)(udx − dy) |
= 2(dy −υdx)(udx − dy) |
= |
|||||||
|
|
(u −υ)3 |
|
|
|
|
(u −υ)3 |
|
|
42
= 2(udxdy −(dy)2 −uυ(dx)2 +υdxdy) =
(u −υ)3
= − 2(−uυ(dx)2 −(u +υ)2 dxdy +(dx)2 ) . (u −υ)3
d 2υ = − dυdx(u −υ) −(dy −υdx)(du − dυ) =
(u −υ)2
= −(dy −υdx)(u −υ)dx −(dy −υdx)(udx − 2dy +υdx) =
(u −υ)3
= (−udx +υdx − udx + 2dy −υdx)(dy −υdx) =
(u −υ)3
= 2(dy − udx)(dy −υdx) =
(u −υ)3
= 2((dy)2 −udxdy −υdxdy +uυ(dx)2 ) =
(u −υ)3
= 2(uυ(dx)2 −(u +υ)2 dxdy +(dy)2 ) = −d 2u
.
(u −υ)3
7.10. Найти ∂∂xz , ∂∂yz , если x = uυ , y = u +υ , z = u −υ .
Решение. Функция задана параметрически. Дифференцируя, находим систему из трех уравнений, связывающую дифференциалы всех переменных
dx =υdu +udυ;dy = du + dυ;
dz = du −dυ.
Из первых двух уравнений находим дифференциалы du
и dυ
du = |
dx −udy |
; |
dυ = |
dx −υdy |
. |
|
υ −u |
|
|
u −υ |
Подставляя найденные выражения в третье уравнение и сравнивая с полным дифференциалом dz , будем иметь
43
dz = |
dx −udy |
− |
dx −υdy |
= − |
|
2 |
dx + |
u +υ |
dy ; |
||||||
υ −u |
|
|
u −υ |
|
|||||||||||
|
|
|
u −υ |
|
|
|
u −υ |
||||||||
|
|
dz |
|
= − |
2 |
|
|
; |
dz |
= −u +υ . |
|||||
|
|
dx |
u − |
υ |
dy |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
u −υ |
7.11. Найти dz , если x = eu sinυ , y = eu cosυ, z = uυ .
Решение. Функция задана параметрически. Дифференцируя все три выражения, находим три уравнения, связывающие дифференциалы всех пяти переменных
dx = eu sinυdu +eu cosυdυ;dy = eu cosυdu −eu sinυdυ;
dz =υdu +udυ.
Из первых двух уравнений находим du и dυ :
du = |
sinυdx + cosυdy |
, |
dυ = |
cosυdx −sinυdy |
. |
eu |
|
||||
|
|
|
eu |
Подставляя du , dυ в третье уравнение, получим dz = eυu (sinυdx + cosυdy) + euu (cosυdx −sinυdy) =
=e−u ((υsinυ +u cosυ)dx +(υcosυ −usinυ)dy) .
1.8.Замена переменных в дифференциальных выражениях
Внекоторых дифференциальных выражениях производные по одним переменным целесообразно выразить через производные по другим переменным. Для этого используются правила дифференцирования сложных функций.
8.1. Преобразовать дифференциальное уравнение
(1 − x2 ) d 2 y − x dy + y = 0 , полагая x = sin t . dx2 dx
Решение. Выразим производные от y по x через производные от y по t :
44
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
dt |
|
= |
|
|
dt |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
dx |
cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
d dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 y |
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
d 2 y |
|
|
d dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cos t + |
|
|
sin t |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
= |
|
dt dx |
|
= |
dt |
dt |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 t cos t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
d 2 y |
|
+ |
|
|
sin t |
|
|
|
dy |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
cos2 t |
|
dt2 |
|
|
|
cos3 t |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Подставляя полученные производные в данное |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение и заменяя x на sin t , будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
d 2 y |
|
|
|
|
sin t |
|
|
dy |
|
|
|
sin t dy |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(1−sin |
|
t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
+ y = 0 ; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
t |
dt |
|
cos |
3 |
t |
|
dt |
cos t |
dt |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 y |
+ y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy d |
3 |
y |
|
|
2 |
y |
|
||||||||
8.2. Преобразовать уравнение |
|
|
= 3 |
d |
|
|
|
, приняв |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
у за аргумент, а x за функцию.
Решение. Выразим производные от y по x через производные от x по y
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
1 |
|
d 2 y |
|
|
d |
|
|
|
|||||
= |
; |
= |
|
|
1 |
|
= |
||||||||
dx |
dx |
|
|
||||||||||||
|
|
dx2 |
|
|
dx dx |
|
|||||||||
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
||||
|
|
|
|
d 2 x |
|
|
|
d 2 x |
|
||||||
|
= − |
|
dy2 |
1 |
|
= |
|
dy2 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
dx |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dy |
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
1 |
|
= |
|
|
dy |
||||
dy |
|
dx |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
45
d 3 y
dx3
|
d |
|
d |
2 |
y |
|
|
d |
= |
|
|
|
= − |
||||
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
dx |
|
|
dy |
||
|
dx |
|
|
|
|
d 2 x |
|
||
|
dy2 |
|
||
|
dy |
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
dx |
||
|
dx |
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
3 |
x dx |
|
|
2 |
x |
2 |
|
|
|
|
d |
|
|
||||
|
dy |
3 |
dy |
−3 |
|
2 |
|
||
= − |
|
|
dy |
|
|
||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
dx1 . dy
Подставляя эти производные в данное уравнение, будем иметь
|
d |
3 |
x dx |
|
|
2 |
x |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
d |
|
|
|
d |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
dy |
3 |
dy |
−3 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
d |
3 |
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
− |
|
|
dy |
|
|
= 3 |
dy |
|
|
|
|
, |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
dy3 |
dy |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Так как обратная производная существует и |
dx |
|
≠ 0 , то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
dy |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
уравнение окончательно примет вид |
d 3 x |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
dy3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8.3. Преобразовать к полярным координатам уравнение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
= |
|
x + y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Полярные координаты связаны с декартовыми |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формулами: |
|
x = ρ cos ϕ , y = ρsinϕ . |
Рассматривая |
ρ |
как |
|||||||||||||||||||||||||||||||
функцию |
|
|
|
|
ϕ , |
|
дифференциалы dx , |
|
dy |
|
примут |
вид: |
||||||||||||||||||||||||
dx = cosϕdρ − ρsinϕdϕ , |
dy = sinϕdρ + ρ cosϕdϕ , откуда |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dy |
|
|
sinϕdρ + ρ cosϕdϕ |
|
|
|
sinϕ |
dρ |
|
+ ρ cosϕ |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dϕ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
cosϕdρ − ρsinϕdϕ |
|
|
|
|
dρ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cosϕ |
− ρsinϕ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dϕ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставляя в данное уравнении |
x , |
|
y |
, |
dy |
, выраженные |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
через новые переменные ρ , ϕ , получим
46
sinϕ dρ + ρ cosϕ dϕ =
cosϕ ddϕρ − ρsinϕ
−dρ cos2 ϕ +sin2 ϕ dϕ cosϕ −sinϕ
ρcosϕ + ρsinϕ ,
ρcosϕ − ρsinϕ
=−ρ sin2 ϕ +cos2 ϕ . cosϕ −sinϕ
Таким образом, |
dρ |
|
= ρ . |
|
|
|
|
|
|
dϕ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
8.4. Преобразовать |
уравнение |
x |
∂z |
+ y |
∂z |
− z = 0 , |
|||
∂x |
∂y |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
перейдя к новым независимым переменным u,υ , |
если u = x , |
|||||||||||||||||||||||||||||||
υ = |
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z по x , y |
|
|
Решение. Выразим частные производные от |
|||||||||||||||||||||||||||||||
через частные производные от |
|
|
z |
по |
|
|
|
u,υ . Воспользуемся |
||||||||||||||||||||||||
формулами дифференцирования сложных функций |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂z = |
|
∂z |
∂u + |
∂z ∂υ |
, |
|
|
∂z |
= |
∂z |
∂u |
+ |
∂z |
∂υ . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
∂υ ∂x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x |
|
∂u ∂x |
|
|
|
∂y |
|
∂u ∂y |
|
∂υ ∂y |
|
|||||||||||||||||||
|
Так как ∂u |
=1 |
, ∂u |
= 0 , |
∂υ |
|
|
= − |
y |
|
, |
∂υ |
= |
1 |
, то |
|||||||||||||||||
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
∂y |
|
|
x |
|
|||||||||
|
|
∂z = |
∂z |
− |
|
y ∂z |
, |
∂z |
= |
1 |
∂z |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 ∂υ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
∂x |
∂u |
|
∂y x ∂υ |
|
|
|
|
|
|
Подставляя найденные производные в данное уравнение и выражая x, y через u,υ , будем иметь
u |
∂z |
−υ |
∂z |
+υ |
∂z |
− z = 0 или |
u |
∂z |
− z = 0 . |
|
∂u |
∂υ |
∂υ |
∂u |
|||||||
|
|
|
|
|
|
47
8.5. Преобразовать уравнение |
∂2 z |
−2 |
∂2 z |
+ |
∂2 z |
= 0 |
, |
|
∂x2 |
∂x∂y |
∂y2 |
||||||
|
|
|
|
|
приняв за новые независимые переменные u = x + y , υ = xy , а
за новую функцию w = xz .
Решение. Выразим частные производные от z по x, y через частные производные от w по u,υ . Для этого найдем дифференциалы данных выражений:
du = dx + dy , dυ = |
xdy − ydx |
, |
dw = |
xdz − zdx |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dw |
x2 |
|
|
|
||||||||
С другой стороны дифференциал |
|
как от функции |
|||||||||||||||||||||||||||||
двух переменных u,υ |
равен dw = |
∂w |
|
du + |
|
∂w |
dυ . |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
∂υ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂w du + |
∂w dυ = |
dz |
|
− |
|
|
z |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∂u |
|
|
∂υ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂w |
|
|
|
|
|
|
∂w |
dy |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
dz |
|
z2 |
|
|
|||||||
|
|
(dx + dy) + |
|
|
|
− |
|
|
|
dx |
= |
|
|
− |
|
dx |
|||||||||||||||
∂u |
|
∂υ |
|
x2 |
|
x |
x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Разрешим это выражение относительно dz |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂w |
|
|
y ∂w |
|
|
z |
|
|
|
|
|
∂w |
|
|
|
|
1 |
∂w |
|
|
|||||||||
dz = |
|
|
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
dx + |
|
|
+ |
|
|
|
dy . |
||||||||||||
∂u |
|
x2 ∂υ |
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
∂υ |
|
|
Таким образом,
∂z |
= x |
∂w du −υ |
∂w |
+ w , |
∂z |
= x |
∂w du |
+ |
∂w . |
|
|
|
|
|
∂x |
∂υ |
∂y |
|
|
|
|
||||||||
|
∂u |
|
|
∂u |
|
∂υ |
|
|
|
|
||||
8.6. Преобразовать |
уравнение |
∂2u |
+ |
∂2u |
+ |
∂2u |
= 0 |
, |
||||||
∂x2 |
∂y2 |
∂z2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перейдя к сферическим координатам.
48
Решение. Сферические координаты связаны с декартовыми формулами x = ρsinθ cosϕ , y = ρsinθ sinϕ ,
z = ρsinθ .
Преобразование можно провести в два приема, полагая
сначала x = ρcosθ , |
|
|
y = r sinθ |
|
|
(считая |
|
|
z |
|
неизменным), затем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = ρcosθ , r = ρsinθ (считая ϕ неизменной). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Преобразуем |
|
|
|
|
|
|
сначала |
|
|
|
|
|
|
выражение |
|
|
|
∂ |
2u |
+ |
∂2u |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
∂y2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Воспользуемся |
|
|
|
формулами |
|
|
|
|
|
дифференцирования |
сложных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функций: |
∂u |
|
|
|
∂u ∂x |
|
|
|
∂u ∂y |
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
∂u ∂x |
|
|
|
|
|
∂u |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
+ |
|
, |
|
|
|
= |
|
+ |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∂r |
|
∂x ∂r |
|
∂y ∂r |
|
|
|
∂ϕ |
|
∂x ∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y ∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
= cosϕ |
|
∂u |
|
+sinϕ |
|
∂u |
, |
∂u |
|
= −r sinϕ |
∂u |
+ r cosϕ |
∂u . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂r |
|
∂x |
|
∂y |
∂ϕ |
∂x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
||||||||||||||||||
Решая эту систему относительно ∂u |
, |
|
∂u |
|
, получим |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∂u |
= cosϕ |
∂u |
− |
sin ϕ |
|
∂u |
, |
|
∂u |
= sin ϕ |
∂u |
+ |
|
cosϕ |
|
∂u |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂x |
∂r |
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
∂r |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r ∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r ∂ϕ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Вторые частные производные равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂2u |
|
|
|
∂ ∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
sinϕ |
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= cosϕ |
|
|
|
|
cosϕ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
∂x |
|
|
|
∂x ∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂r |
|
|
|
|
|
|
r ∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin ϕ |
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
sin ϕ |
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosϕ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
= cos |
2 |
ϕ |
∂ |
|
2 u |
− |
|
2 sin ϕ cosϕ ∂2 u |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂r∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
sin2 ϕ |
|
|
∂2u |
|
+ |
2sinϕcosϕ ∂u |
+ |
sin2 |
ϕ ∂u |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
∂ϕ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|
|
r2 |
|
|
∂r |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∂2u |
|
|
∂ |
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
cosϕ ∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= sinϕ |
|
|
|
|
|
cosϕ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂r |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
∂y |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r ∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
49
+ |
cosϕ |
∂ |
|
∂u |
+ |
cosϕ ∂u |
= |
||
r |
|
sinϕ |
∂r |
|
|
|
|||
|
|
||||||||
|
∂ϕ |
|
r ∂ϕ |
|
|
= sin |
2 |
ϕ |
∂ |
2u |
− |
2sinϕcosϕ |
|
|
∂2u |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
∂r2 |
|
|
r |
|
|
|
|
∂r∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+ |
cos2 |
ϕ ∂2u |
− |
2sinϕcosϕ |
∂u |
+ |
cos2 |
ϕ |
∂u |
. |
|
|
|
||||||||||||||
r2 |
|
∂ϕ2 |
|
|
|
r |
|
|
|
∂ϕ |
|
|
r2 |
|
∂r |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Отсюда |
∂2u |
+ |
∂2u |
+ |
∂2u |
= |
∂2u |
+ |
∂2u |
+ |
1 ∂2u |
+ |
1 ∂u |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∂x2 |
∂y2 |
∂z |
2 |
∂z2 |
|
∂r2 |
r2 ∂ϕ2 |
r ∂r |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Учитывая, |
что z = ρcosθ |
и r = ρsinθ , первые два члена |
в правой части последнего выражения могут быть записаны аналогично
∂2u |
+ |
∂2u |
= |
∂2u |
+ |
1 ∂2u |
+ |
1 ∂u |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∂z2 |
∂r2 |
∂ρ2 |
ρ2 ∂θ2 |
ρ ∂ρ |
||||||||||
|
|
|
|
|
Производная ∂∂ur , аналогично (*), примет вид
∂∂ur = sinθ ∂∂ρu + cosρθ ∂∂θu .
Таким образом, окончательно получим
∂2 u |
+ |
∂2 u |
+ |
∂2 u |
= |
∂2 u |
|
+ |
1 |
|
∂2 u |
+ |
|||||||||
∂x2 |
∂y 2 |
∂z |
2 |
∂ρ2 |
|
ρ2 |
∂θ 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
∂2 u |
|
|
2 ∂u |
|
|
ctgθ |
|
∂u |
|||||||||
+ |
|
|
+ |
|
+ |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ρ sin 2 θ |
|
∂ϕ2 |
|
ρ ∂ρ |
|
ρ2 |
|
∂θ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.9. Экстремум функции
10. Экстремумом функции называется максимум или минимум функции. Функция двух независимых переменных z = f (x, y) в точке M0 (x0 , y0 ) имеет максимум (минимум),
если значение функции в этой точке больше (меньше ее
50