2015

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Воронежский государственный технический университет

А. В. Шагунов В. И. Корольков В. В. Самохвалов

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ОБРАБОТКИ ДАВЛЕНИЕМ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2004

2

УДК 621

Шагунов А.В., Корольков В.И., Самохвалов В.В. Методы решения задач проектирования технологических процессов обработки давлением: Учеб пособие. Воронеж: Воронеж.гос.техн.

ун-т,2004. 96 c.

В конспекте лекций рассматриваются вопросы решения задач теории пластичности применительно к основным технологическим процессам формообразования листовых материалов.

Конспект лекций соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 160200 "Авиастроение" специальности 160201 «Самолето- и вертолетостроение», дисциплине "Математическое и компьютерное моделирование технологических процессов"

Конспект лекций подготовлен в электронном виде в текстовом редакторе MS WORD и содержится в файле МатМоделТП.doc.

Ил.18. Библиогр.: 4 назв.

Научный редактор профессор В. А. Саликов

Рецензенты: ФГУП НИИАСПК (д-р техн. наук, проф. В. И.Максименков);

д-р техн. наук, проф. Д.В. Хван

©Шагунов А.В., Корольков В.И.; Самохвалов В.В., 2004

©Оформление. Воронежский государственный технический университет, 2004

3

Лекция 1. Классификация методов решения задач проектирования технологических процессов обработки давлением

При решении задач проектирования технологических процессов обработки давлением преследуются несколько целей:

1.Определение деформирующих сил и работы деформации, что необходимо для правильного выбора технологического оборудования.

2.Определение свойств готовой детали (отсутствие разрушения, прочностные свойства, волокнистое строение и т.д.)

Для того чтобы выполнить эти вычисления следует определить как поле напряжений, так и поле деформаций в детали во время выполнения технологической операции.

Теория расчета позволяет в общем виде сформулировать задачу об определении напряженнодеформированного состояния любой детали. В случае стационарного объемного напряженного состояния необходимо определить в каждой точке 3 параметра деформированного состояния – скорости материальных точек

vi вдоль координатных осей и 6 параметров напряженного

состояния (тензор напряжений) ij . Для их определения мы имеем следующие соотношения.

Три уравнения равновесия (шесть неизвестных):

4

ij,i 0 - тензорной форме

Физические уравнения. Например, по теории течения без учета упругих свойств материала это уравнения Сен- Венана-Леви-Мизеса1:

Интенсивность деформаций:

1 выражение для среднего главного напряжения следует из этих уравнений, а условие пластичности в них входит.

5

Механические свойства материала на основании опыта

на простое растяжение:

i i , i

Аналогичные уравнения можно записать и для деформационной теории пластичности.

Решение этой системы дифференциальных уравнений в частных производных аналитическими методами выполнить невозможно, особенно с учетом нелинейных граничных условий.

Рассмотрим классификацию методов решения технологических задач.

Методы решения (по Смирнову-Аляеву) делятся на прямые и обратные.

Прямые методы заключаются в прямом интегрировании приведенной системы уравнений с привлечением упрощающих допущений.

Обратные методы заключаются в предварительном задании поля перемещений (или скоростей) в деформируемой заготовке. По заданному полю, с использованием физических уравнений и ряда экстремальных принципов теории пластичности, определяют поле напряжений. Чем ближе задаваемое поле перемещений к истинному, тем точнее будет найдено поле напряжений.

В свою очередь среди прямых методов следует выделить следующие:

метод совместного интегрирования уравнений равновесия и условия пластичности

инженерный метод

метод линий скольжения.

6

К обратным методам (их также называют энергетическими, поскольку используют энергетические теоремы теории пластичности) относятся:

метод баланса работ

метод верхней оценки в различных модификациях

вариационный метод

Некоторым особняком стоят численные методы, в частности метод конечных элементов, поскольку существуют модификации этих методов как в прямой, так и обратной постановке.

Метод интегрирования уравнений равновесия совместно с условием пластичности.

Метод можно использовать для плоских и осесимметричных задач, когда число неизвестных в уравнениях равновесия на единицу больше числа уравнений. В этом случае вместо физических уравнений можно использовать условие пластичности, тогда система уравнений становится замкнутой.

Например, для плоского напряженного и плоского деформированного состояния мы располагаем двумя уравнениями равновесия:

Для ПНС и ПДС yz xz 0 ,

7

s2 x2 2y x y 3 xy2 - для ПНС, 43 s2 x y 2 4 xy2 - для ПДС.

Иными словами имеем три уравнения с тремя неизвестными.

Но даже для таких простейших случаев, решения в замкнутом виде найдены только для некоторых частных задач.

Например, решение Надаи для равновесия толстостенной трубы под действием внутреннего и внешнего давлений, решение Прандля для сжатия бесконечной полосы между шероховатыми плитами при K const , и др.

Рассмотрим в качестве примера решении Надаи для толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления.

Поставим задачу следующим образом:

Каково должно быть внутреннее давление p в толстостенной трубе с внутренним диаметром r и наружным R, чтобы труба полностью находилась в пластическом состоянии.

расположится в плоскости, перпендикулярной оси трубы. В этом случае напряженное состояние трубы будет осесимметричным. Для осесимметричного состояния характерно, что в силу симметрии, все касательные напряжения в меридиональных сечениях (плоскостях, проходящих через ось z) будут равны нулю. Если бы такие напряжения существовали, то вызывали бы сдвиги в меридиональных сечениях, что приводило бы к нарушению

8

Кроме того, компоненты напряжений , , z, ρz отличные от нуля, в силу той же симметрии не зависят от

Пусть торцы трубы свободны, а сама труба достаточно длинная. Тогда можно считать, что напряжения вдоль оси

трубы, обозначим их z , равны нулю. Кроме того, на торцах трубы отсутствуют касательные напряжения. Следовательно, во всех площадках, перпендикулярных оси трубы касательные напряжения будут также отсутствовать. Тогда, следуя закону парности касательных напряжений, можно заключить, что во всех координатных площадках цилиндрической системы координат, связанной с осью трубы, отсутствуют касательные напряжения. Из этого можно заключить, что координатные оси

- главные. Поскольку z 0, то напряженное состояние помимо осесимметричного является еще и плоским.

Радиальные напряжения при этом должны быть сжимающими, поскольку на внутренней границе они должны быть равны давлению (т.е. сжимающие), а на внешней – нулю.

9

Поскольку касательные и осевые напряжения равны нулю, то второе уравнение системы уравнений равновесия тождественно выполняется, а в первом уравнении компонента, зависящая от производной касательного напряжения, исчезает.

Кроме того, поскольку радиальное напряжение не зависит

от координат z, , то частная производная в первом уравнении становится полной. Тогда окончательно уравнение равновесия

для нашего случая принимает вид:

d 0 d

В этом уравнении два неизвестных. Для получения замкнутой системы используем условие пластичности Губера-

Мизеса, которое для ПНС при главных напряжениях , примет вид:

Таким образом, задача становится замкнутой.

Для решения дифференциального уравнения необходимо исключить из него одну из переменных, используя условие пластичности. Прямое исключение приводит к нелинейному однородному дифференциальному уравнению первого порядка, которое не интегрируется в квадратурах.

10