2015

Будем рассматривать значение функционала только на

семействе кривых y x, . В этом случае функционал превращается в функцию параметра 14.

J y x, abF x, y x, , y' x, dx

При 0 функция достигает экстремума,

поскольку y x, становится экстремалью f (x) . Необходимым условием экстремума функции является

равенство нулю ее первой производной:

d J f (x) y 0 d

Производная ' в точке 0 называется первой вариацией функционала J

J d

d 0

Таким образом, необходимым условием экстремали является равенство нулю первой вариации функционала15

y(x) f (x) J 0

Эйлер показал, что первая вариация функционала

J y x abF x, y x , y' x dx

Приводится к виду

Тогда необходимое условие стационарности функционала J 0 эквивалентно уравнению:

14 Действительно, если считать уравнение функционали y f x

известным, то функция F зависит от x,

15 Можно увидеть определенную аналогию между дифференциалом функции и первой вариацией функционала.

91

F d F 0

y dx y'

Это уравнение впервые получено Эйлером и носит его

имя.

Рассмотрим справедливость этого утверждения для частного случая нахождения кривой минимальной длины, проходящей через две точки. Решение этой задачи тривиально

– это прямая, поэтому можно легко проверить правильность полученного результата.

Как было показано ранее, эта задача сводится к отысканию экстремали функционала:

Окончательно получим уравнение экстремали

92

Очевидно, что это уравнение прямой, проходящей через

точки a, A и b, B , что и требовалось доказать.

В общем случае функционал может быть определен для нескольких функций:

J y1, y2 , , yn F x, y1, y2 , , yn , y1 ', y2 ', , yn ' dx

Для получения необходимых условий экстремума

варьируют поочередно одну функцию yi , оставляя остальные неизменными. Тогда функционал становится зависящим только от одной варьируемой функции, следовательно, функция, реализующая экстремум должна удовлетворять уравнению Эйлера

Поскольку рассуждения приемлемы для любой функции, то необходимым условием экстремума функционала будет система дифференциальных уравнений

Fy'i dxd Fy'i' 0, i 1,2, , n

определяющая систему экстремалей. Метод Ритца

Возникает вопрос, в чем же преимущества вариационных методов, если их использование приводит к необходимости решения дифференциальных уравнений?

В вариационном методе обоснованы приближенные методы решения задач поиска экстремалей функционалов. Одним из таких методов, нашедшим наибольшее применение в теории обработки давлением является метод Ритца.

93

Идея метода состоит в том, чтобы разложить искомые функции16 в ряд и искать неизвестные компоненты этого ряда.

Пусть неизвестная функция y x , являющаяся экстремалью функционала J имеет вид:

y x ai i x

i 1

Здесь i (x) - некоторые заранее заданные, т.е.

известные функции (Ритц назвал их координатными), ai - неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Координатные функции i (x) должны удовлетворять следующим условиям:

1.Принадлежать классу допустимых, т.е. быть кривыми

сравнения. (В нашем примере с кривой, проходящей через две точки, это означает, что все они должны

2.Удовлетворять условиям полноты – ряд, построенный

на этих функциях должен быть сходящимся. Обычно пользуются рядами, сходимость которых доказана – тригонометрическим и степенным.

Тогда функционал J y принимает вид:

Поскольку координатные функции i (x) заранее заданы, то функционал становится функцией коэффициентов

ai 17:

16Искомыми функциями в задачах теории пластичности является функции изменения скоростей материальных точек в объеме деформируемого тела.

17Зависит от переменных, а не от функции.

94

J J ai .

Условие стационарности функционала

J 0

в этом случае преобразуется в систему бесконечного числа уравнений:

На практике поступают следующим образом. Выстраивают последовательность решений, ограничиваясь сначала одним, затем двумя и т.д. членами ряда. Как только разница в решении между двумя последовательными приближениями становится несущественной, поиск решения прекращают, ограничиваясь последним значением количества членов ряда. При правильном подборе координатных функций бывает достаточно первых 3-4 членов ряда, чтобы дальнейшее уточнение решения было несущественным.

Таким образом, метод Ритца позволяет свести решение дифференциальных уравнений к решению системы линейных алгебраических уравнений.

От удачного выбора координатных функций в методе Ритца решающим образом зависит сложность и объем дальнейших вычислений. Поэтому систему координатных функций следует выбирать таким образом, чтобы она удовлетворяла всем известным ранее данным об ожидаемом решении.

В этой связи значительную роль играет эксперимент. Экспериментальные данные о качественной картине распределения деформаций в частном случае позволяет сделать вывод о наиболее подходящей форме координатных функций. Поэтому эти функции получили название

подходящих функций.

Последовательность решения задачи определения напряженно-деформированного состояния методом Ритца.

1. Выбор подходящих функций и количества членов ряда.

95

2.Определение компонентов поля скоростей в соответствии с условием постоянства объема.

3.Определение компонентов тензора деформаций.

4.Вычисление интегралов в формуле для функционала полной мощности. Точное интегрирование во многих случаях оказывается невозможным, тогда использую приближенные, а также численные методы.

5.Составляют и решают системы уравнений условия

определения неизвестных варьируемых параметров ai .

6.По найденным значениям коэффициентов ai

определяют поле скоростей vi и, затем, полную мощность. Приравняв полную мощность мощности внешних сил на известных скоростях, определяют удельные силы деформирования.

7.По найденному полю скоростей при необходимости можно определить конечное формоизменение (изменение формы деформируемого тела) и поле напряжений.

Определение напряженного состояния по заданному

полю скоростей.

После определения поля скоростей по результатам решения вариационной задачи можно определить поле напряжений. Задача определения поля напряжений по полю скоростей имеет общее значение, поскольку поле скоростей может быть определено и другими методами18.

18 Например, известен визиопластический метод экспериментальноаналитического определения напряженного состояния по результатам экспериментального определения поля скоростей в деформируемом теле.

96

Теория пластического течения постулирует следующую взаимосвязь девиаторов напряжений и скоростей пластической деформаций:

D d D ,

где переменная характеристика среды d пропорциональна отношению интенсивности скоростей

деформации i и интенсивности напряжений i :

d 3 i 2 i

Значение интенсивности скоростей деформации в произвольной точке может быть определено по компонентам тензора скоростей деформаций:

Таким образом, характеристика среды d определена в каждой точке среды. Если пренебречь упругой деформацией,

компоненты девиатора напряжений могут быть определены:

97

szx zx zx

.

Недиагональные компоненты тензора и девиатора напряжений равны, следовательно, касательные напряжения могут быть определены непосредственно. Нормальные же напряжения могут быть определены только с точностью до среднего напряжения (гидростатического давления).

Однако определенность касательных напряжений позволяет проинтегрировать уравнения равновесия. Например:

.

Здесь 1 y, z - произвольная функция, определяемая из граничных условий (обычно на свободном контуре). Аналогично могут быть получены и другие компоненты тензора напряжений.

98

В.Л.Колмогоров предлагает решать вариационную задачу с использованием принципа виртуальных скоростей и напряжений. Иными словами и поле скоростей и поле напряжений считаются допустимыми и одновременно варьируются. В своих работах он предложил функционал, стационарность которого соответствует одновременно истинному полю скоростей и напряжений. Функционал имеет достаточно сложный вид и выходит за рамки программы курса.

99