2015

Рассмотрим местоположение нейтральной поверхности

представляет собой среднее геометрическое радиусов внутренне и внешней поверхности, а срединная поверхности – среднее арифметическое. Известно, что среднее геометрическое всегда меньше среднего арифметического. Таким образом, нейтральная поверхность напряжений лежит всегда ближе к внутреннему радиусу, чем срединная поверхность.

Радиус нейтральной поверхности деформаций больше радиуса нейтральной поверхности напряжений, но в то же время меньше радиуса срединной поверхности.

С уменьшением радиуса внутренней поверхности радиус нейтральной поверхности стремится к радиусу внутренней поверхности, а при увеличении радиуса внутренней поверхности – к радиусу срединной поверхности.

0,5 - max/ s

0,4

0,3

0,2

0,1

Рис.12.

Максимальное радиальное напряжение возникает на нейтральной поверхности:

61

напряжения не превышает 10% от напряжения текучести, а при

r / s 10 влиянием радиального напряжения можно пренебречь, и считать, что справедлива линейная схема

напряженного состояния. Для этого случая s , а нейтральная поверхность проходит через срединную поверхность заготовки.

Эпюры напряжений будут иметь вид (рис.13):

После интегрирования получим:

62

Эта формула справедлива и при изгибе без упрочнения на относительно большой радиус, в чем можно убедиться выполнив интегрирование:

s s 2

4

Приведенные выше решения справедливы для постоянной толщины заготовки. В действительности толщина заготовки в очаге деформаций уменьшается за счет сжимающих радиальных напряжений. Особенно это заметно

при гибки на относительно малый радиус r / s 2 .

Кроме того, в решении не учитывали упругие деформации, в которой тангенциальные напряжения будут менять знак по линейному закону.

63

Таким образом упрочняющий эффект тангенциальных деформаций при гибке с точностью до 15% эквивалентен упрочняющему эффекту интенсивности деформаций.

Ранее мы показали, что

1н

Таким образом, в зоне растяжения в переделе изменяется в пределах от 0 ( н ) до ∞ ( ), а в зоне

сжатия – от 0 ( н ) до -1 ( 0 ). Следовательно, если использовать тангенциальную деформацию в качестве меры упрочнения, то в зоне растяжения следует использовать диаграмму истинных напряжений 1-го рода, а в зоне сжатия – 2го (с точностью до знака). Е.А.Попов предложил использовать в качестве меры упрочнения логарифмическую

деформацию .

ln 1 ln

н

Тангенциальная логарифмическая деформация изменяется в зоне растяжения в пределах 0…∞, а в зоне сжатия 0…-∞. Таким образом, с учетом 2-го допущения об одинаковом упрочнении материала при растяжении и сжатии можно использовать единый закон упрочнения:

s s0 , где П – модуль упрочнения.

65

Тогда условие пластичности иметь вид:

для зоны растяжения:

s s0

s s0 .

Знак перед коэффициентом Лоде обсуждался ранее при анализе гибки без упрочнения, а знак перед показателем упрочнения необходимо ввести в зоне сжатия, поскольку там

знак 0 .

Воспользуемся тем же уравнением равновесия, что и при анализе гибки без упрочнения:

d 0 d

Тогда для зоны растяжения имеем:

Произвольную постоянную определим из граничных условий:

66

Для зоны сжатия:

которую придем к:

67

Величину радиуса нейтральной поверхности определим исходя из равенства радиальных напряжений на границе зон растяжения и сжатия:

нейтральной поверхности можно определить по той же формуле, что и для гибки без упрочнения. С учетом

68

полученного выражения для радиуса нейтральной поверхности формулы для радиальных напряжений преобразуются к виду:

для зоны растяжения:

Выражения для тангенциальных напряжений определим из условия пластичности:

для зоны растяжения: