2015

Попытаемся получить параметрическое решение, выразив напряжение в виде функции некоторого параметра t . Для этого введем обозначения:

Тогда условие пластичности можно свести к виду:

x2 3y2 s2

Действительно, подстановка x,y дает:

2 3 2

Каноническое уравнение эллипса:

x2 y2 1 a2 b2

Параметрическое уравнение эллипса: x a cost, y bsin t

Таким образом, в нашем случае:

получим параметрические выражения для радиального и тангенциального напряжений:

используя формулу для косинуса суммы (разности) двух углов cos cos cos sin sin

окончательно получим:

11

Для определения параметра t подставим полученные выражения для напряжений в уравнение равновесия:

12

2 B2 e3t

sint

Произвольную постоянную В найдем, подставляя

граничные условия в условие состояния пластичности:

R, 0 s :

тогда должны выполняться два условия:

и внутреннего диаметра трубы не может быть больше 2.963.

Это свидетельствует о том, что часть трубы при R / r 2.963 будет деформироваться упруго.

Для определения давления, необходимого для перевода всей трубы в пластическое состояние требуется подставить

13

показатели, как сила деформирования и работа пластической деформации, а, следовательно, и выбрать технологическую машину для выполнения операции. Во-вторых, они позволяют оценить точность численных решений, поскольку до настоящего времени численные решения еще не достигли такой степени автоматизации и точности, при которой их результатам можно было бы безоговорочно доверять.

Кчислу наиболее распространенных методов относится

инженерный метод.

Инженерный метод в литературе носит несколько названий: метод совместного решения приближенных уравнений равновесия и пластичности, «инженерный» метод, метод течения тонкого слоя по жестким поверхностям, метод осредненных напряжений.

Инженерный метод основан на решении приближенных дифференциальных уравнений равновесия совместно с приближенным условием пластичности без привлечения физических соотношений.

Основной целью в данном методе является определение напряжений на контактных поверхностях, что необходимо для определения деформирующих сил и работы деформации.

Таким образом, достоинством метода является возможность получения аналитических зависимостей для определения важнейших параметров, необходимых для выбора технологического оборудования – величины максимальной технологической силы, необходимой для выполнения операции и величины работы деформирования.

Кнедостаткам метода следует отнести то, что достоверную информацию о распределении напряжений и деформаций по всему объему деформируемого материала получить с помощью этого метода нельзя.

В наиболее общем виде основные положения этого метода изложил и экспериментально обосновал Е.П.Унксов (Евгений Павлович). Основные положения метода состоят в следующем:

16

1.Схему деформированного состояния приводят к плоской или осесимметричной. Это необходимо для уменьшения числа неизвестных составляющих тензора напряжений. В

осесимметричной задаче два нормальных напряжения предполагают равными между собой ( ).

2.Определяют нормальные напряжения только на контактных поверхностях, что необходимо для определения деформирующих сил.

3.Нормальные напряжения считают зависящими только от одной из координат (например, y для плоских и z для осесимметричных задач). Касательные напряжения считают зависящими от другой координаты линейно (соответственно x для плоской и для осесимметричной).

4.Используют приближенные условия состояния пластичности.

Рассмотрим эти допущения подробнее.

1. Приведение схемы напряженного состояния к плоской или осесимметричной необходимо для сокращения числа неизвестных компонент тензора напряжения, т.е. к снижению размерности задачи.

Число уравнений равновесия также в этом случае сокращается.

17

2.Деформирующая сила может быть определена интегрированием эпюры нормальных напряжений по площади контактной поверхности. Например, для

осесимметричных задач при движении деформирующих инструментов вдоль оси z нормальные напряжения на

поверхности.

3.Математически это допущение можно выразить следующим образом:

Как будет показано дальше, такие допущения приводят к сокращению числа дифференциальных уравнений равновесия до одного. Это уравнение будет содержать уже обыкновенные производные взамен частных.

4. Упрощенный вид условия пластичности Мизеса через главные напряжения выражается следующим образом:

1 3 s . Однако, при решении практических задач редко можно предугадать направления главных осей и решать задачу в главных осях. Гораздо чаще приходится иметь дело с общим случаем декартовой или цилиндрической системы координат. Поэтому следует упростить условие состояния пластичности таким образом, чтобы в нем фигурировали не главные напряжения, а компоненты тензора напряжений в произвольных осях.

Е.П.Унксов предложил следующую линеаризацию условия состояния пластичности:

если удельные контактные силы трения малы , то в выражении для условия пластичности можно пренебречь касательными напряжениями;

18

пластичности Мизеса для плоского деформированного состояния3:

координатах , . Линеаризация условия пластичности по Унксову означает замену единичной окружности ступенчатой функцией вида (рис.1):

x y s* ,

а для больших удельных контактных сил

( 0.7k K k ):

3 Величина, равная удвоенному значению постоянной пластичности k обозначается s* 2k

19

x y 0

Продифференцируем упрощенное условие пластичности Мизеса для ПДС по x. Тогда как для больших, так и для малых удельных контактных сил справедливо:

x yx x

Это выражение носит название приближенное условие пластичности для плоского деформированного состояния в дифференциальной форме. Очевидно, что оно справедливо и для малых и для больших сил контактного трения.

условие пластичности Мизеса по ρ. В результате получим приближенное условие пластичности в дифференциальной форме для осесимметричного напряженного состояния в виде:

z

Рассмотрим применение инженерного метода для различных операций обработки давлением.

Осадка цилиндрической заготовки с постоянным контактным трением

20