2785.Теоретические основы переработки полимеров
..pdfлентность механических свойств полимеров; 3) она может* быть применена для интерпретации результатов опытов по релаксации напряжений, ползучести и динамических испытаний. Последний метод, в котором образец полимера деформируют по синусоидальному закону у (t) = у,, sin со/, является особенно полезным средством разделения реакции среды на упругую и вязкую. Отношение вязких напряжений к упругим представляет собой меру диссипации энергии за единицу времени. В Примере 6.2 рассмотрено поведение линейной вязкоупругой среды при динамических воздействиях, а также об суждается полезность этого метода.
Пример 6.2. Малоамплитудные колебания линейного вязкоупругого тела Вычислим реакцию линейного вязкоупругого тела на приложенные синусо
идально сдвиговые деформации. Используем определяющее уравнение (6.3-8):
U ‘) = - |
t |
GJ ( t - n ^ L d t ' |
где
dy
- j j r = Уо®cos О)/'
Пусть спектр времен релаксации непрерывен, т. е.
|
|
G (I — /') |
= f |
Н (\n % )e - G - l')/Kd(\nX |
|
|
||||||||
Подставив |
выражение для |
спектра в определяющее уравнение, |
получим: |
|||||||||||
|
|
|
/ Г |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т (/) = — |
| |
|
| Я |
(|п X) е ~ Ф |
- е + 1Р - |
d (In X) |
у0со cos со/' dt' = |
|
||||||
|
|
-ОО |
— оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
t |
|
|
|
d (In X) = |
|
|
= |
— (оу0 |
| |
Н (In X) е |
^ |
| е1' ^ cos Ш' dt |
|
||||||||
= |
— Yo |
Jоо |
|
|
(wX cos Ш + |
0)2X2 sin (0/) d (In X) = |
|
|||||||
|
|
|
— do |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И (In |
X) 0)2/t2 |
|
|
|
|
[ |
f |
H (In X) (oX |
. |
|
|||
= “ Yo |
1 |
4- G)2X2 |
d |
(In X) |
sin со/ |
|
J |
l |
0+)2X- |
d(lnX) |
COS (0/ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
— oo
Как видно из полученного результата, напряжение отстает во времени от при ложенной деформации и состоит из двух слагаемых: чисто вязкого и чисто упругого (рис. 6.8).
Полезно ввести следующие величины, связанные с динамическими испыта ниями *:
* Величины со и X входят в формулы только в виде произведения — это просто другая форма принципа температурно-временной эквивалентности.
Рис. 6 .8 . Схема зависимости напряжения от вре мени при синусоидальной деформации:
1 — упругое твердое тело; 2 —чисто вязкая жидкость; 3 — вязкоупругая жидкость; 4 — приложенная де- формация.
динамический модуль упругости (совпадает по фазе с приложенной деформацией)
-foo
0 , ( ш ) = | Я (In X ) (02^2 d(lnX)
динамический модуль потерь (находится в противофазе с приложенной деформа цией)
V + * n f “ С-Ц
тангенс угла потерь или диссипативный фактор (отношение диссипированной за один цикл механической энергии к запасенной)
tg 6 = G"/G'
По изменению G', G" и tg 6 могут быть обнаружены движения различных элементов структуры при различных частотах и темпе ратурах.
6.5. Обобщенная ньютоновская жидкость (ОНЖ)
ОНЖ представляет собой объединенную группу уравнений, по строенных эмпирически, полуэмпирически или вытекающих из моле кулярных теорий, предназначенных описывать неньютоновское (зависящее от сдвига) поведение жидкости. Этими определяющими уравнениями охватываются различные способы описания зависи мости вязкости от скорости сдвига. Имеется только одно общее тре бование. Поскольку вязкость—скаляр, она должна быть функцией
только трех |
(скалярных) инвариантов тензора у. |
гун = |
0. |
При |
||
Для несжимаемой |
жидкости Ц = 2 (V-v) = 2 |
|||||
сдвиговых течениях |
1Щ = dety = |
= |
0 |
и |
даже |
|
для течений, |
близких к сдвиговым, зависимостью rj от |
Шу |
можно |
|||
пренебречь. Неньютоновская вязкость, таким образом, будет зави
сеть только от второго инварианта Ну = (у |
у) = 2*2/уг/у^. Прак |
|||||||
тически вместо |
Ну предпочитают применять |
модуль у, |
определяе |
|||||
мый как |
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
простых |
сдвиговых течениях v± = / (х2), v2 = |
0 , |
v3 =-■ 0 |
и |
|||
модуль у |
есть |
просто скорость сдвига (у == | Y2 1 1)- |
|
|
|
|||
С учетом сделанных выше замечаний рассмотрим теперь некото |
||||||||
рые |
широко применяемые |
эмпирические уравнения |
ц - г) (у) |
и |
||||
1] = |
ц (т), |
где |
т — модуль |
т. |
|
|
|
|
Степенная оюидкость
Эмпирическая модель степенной жидкости была предложена Оствальдом и Вейлом [29]. Суть ее можно понять, если построить зависимость ц (у) (рис. 6.9) в логарифмических координатах. В ин тервале скоростей сдвига 1 0 <С Y < Ю3 с” 1 график этой зависимо сти — прямая линия. Ее аналитическое выражение:
г\ (у) = m y tl~ l |
(6.5-2) |
где т (Па-с'1) обычно называют коэффициентом консистенции; п — безразмерный показатель степени.
Отсюда можно заключить, что определяющее уравнение степен ной жидкости имеет вид:
х = —туп~ 1у = —m j^j/"-g- (Y : Y) j |
Y |
(6.5-3) |
|
Параметр m зависит от температуры по закону |
Аррениуса |
||
« |
= т 0 ехр [ - Х - ( - г — 5 V )J |
|
(6'5' 4) |
где т0 — значение т при |
Т0; ЛЕ — энергия активации вязкого течения. |
||
Для удобства расчетов часто применяют более простое соот ношение:
m = m0e~~a (Г—Го) |
(6.5-5) |
где а — эмпирический параметр.
Уравнение (6.5-5) выполняется хорошо в сравнительно узких температурных интервалах. От гидростатического давления m зави сит экспоненциально. Обзор работ по этому вопросу был дан недавно Голдбаттом и Портером [30].
\Важно еще раз подчеркнуть, что в рассмотренном выше соотно шении, как и в других неньютоновских определяющих уравнениях,
вязкость зависит от полного тензора у [от его второго инварианта
(Т V)]. Это означает, что вязкость есть функция всех градиентов скорости, а не только одного, выделяемого при построении урав нения баланса количества движения.
Строго говоря, (6.5-3) — эмпирическое определяющее уравнение, предназначенное для предсказания реологического поведения при
установившихся |
вискозиметр иче- |
|||
ских течениях. |
Оно |
не предска |
||
зывает ни разностей |
нормальных |
|||
напряжений, |
ни |
вязкоупругого |
||
поведения |
типа |
релаксации на |
||
пряжений. |
Более |
того, как видно |
||
Рис. 6.9. Зависимость вязкости от скоро сти сдвига при 180 °С в двойных логариф мических координатах:
/ — ПС с узким ММР; 2 — ПС с широким ММР.
из рис. 6.9, показатель степени п непостоянен и стремится к еди нице при у -> 0 (ньютоновская область). По поводу степенного за кона и кривых течения, показанных на рис. 6 .9 , можно сделать сле дующие замечания.
1. Верхний предел ньютоновской области зависит от M w и температуры расплава. Приближенно он равен у = 10~ 2 с"1. Важные исключения составляют полиамид и полиэтилентерефталат (ПЭТФ), которые остаются ньютоновскими жидкостями при высоких скоро стях сдвига.
2. Этот верхний предел снижается с ростом M w и расширением
молекулярно-массового распределения при фиксированной M w, а также с уменьшением температуры расплава. В грубом прибли жении считают, что граница ньютоновского поведения соответствует равенству единице числа Деборы.
3. При расчете течений под давлением при 0 < у < утах по мощью модели степенной жидкости при очень низких скоростях сдвига возникают ошибки, если полагать, что п ф 1 [31 ] (см. За дачу 6 .6 ).
4.Переход от ньютоновского течения к неньютоновскому (опи сываемому моделью степенной жидкости) растянут у полидисперсных полимеров и носит скачкообразный характер у монодисперсных.
5.Угол наклона кривой зависимости вязкости от скорости сдвига
вобласти, где выполняется степенной закон, постоянен лишь приб лиженно, он уменьшается с ростом скорости сдвига. Таким образом, уравнение степенной жидкости при фиксированном значении п точно выполняется только в ограниченной области скоростей сдвига.
Модель степенной жидкости, несмотря на ее ограниченность, является одним из наиболее широко применяемых эмпирических соотношений динамики полимерных жидкостей. Она дает неожи данно хорошие результаты даже при расчетах невискозиметрических течений и не полностью установившихся потоков!
Модель Эллиса — 1
В этом уравнении вязкость зависит от величины напряжений сдвига [331:
где г)0 — вязкость при нулевой скорости сдвига (предел г\ при у —.►0);TJ/2 — зна*
чение напряжения сдвига при г| = |
т]0/2; а — 1 — угловой коэффициент зависимости |
||
(По/Л — 1) от lg (т/т1/2). |
имеет |
вид: |
|
Определяющее уравнение |
|
||
|
т = |
Т1 (т) Y |
(6.5-7) |
где т] (т) определяется из (6.5-6); |
т = |
-^-Н т— модуль тензора |
напряжении т; |
при простом сдвиговом течении это — просто напряжение сдвига (т = |т 21|).
Это определяющее уравнение менее удобно в употреблении, чем модель степенной жидкости, но более совершенно, поскольку пред сказывает существование ньютоновской зависимости вязкости от ско рости сдвига в области очень низких скоростей.
Модель Керри
Это соотношение также весьма удачно описывает неньютоновскую зависимость вязкости от скорости сдвига ггпросто в употреблении [34]:
11 (Y) — “По |
(6.5-8) |
|
Л0 — Лоо = [1 + М ) * ] (л- ,)/2 |
||
|
Как и выше, определяющим уравнением является уравнение ОНЖ (6.3-6) с г) (у), задаваемой соотношением (6.5-8); г| 0 — вязкость при нулевой скорости сдвига, а т]^ — вязкость при бесконечной скорости сдвига. Последнюю, как правило, можно считать равной вязкости растворителя для растворов полимеров и равной нулю для расплавов.
Бингамовская жидкость
Это эмпирическое уравнение полуколичественно описывает реоло гическое поведение латексов типа полимерных эмульсий, исполь зуемых в нестекающих красках, а также паст и суспензий [36], представляющих собой реологические системы, широко распростра ненные в пищевой промышленности (например, кетчуп).
Бингамовская жидкость представляет собой упругое твердое тело ниже характеристического предела текучести ху и жидкость, когда напряжения выше этого предела:
Т) *= ОО при Т ^ Т у\ *1 (Y) == Но + -£■ пРи т > т„ (6.5-9)
В Приложении для ряда промышленных полимеров приведены константы моделей степенной жидкости (Эллиса и Керри), опреде*
ленные |
из зависимостей |
lg г) от |
lg у. Эксперименты проводились |
|||
на капиллярном |
вискозиметре «Инстрон» с капиллярами L ID «* 40 |
|||||
и L ID = 8, Данные при |
низких скоростях сдвига рассчитаны по |
|||||
правилу |
Кокса |
и |
Мерца |
[35] |
из |
динамических экспериментов. |
Это правило также |
обсуждается |
в |
Приложении А. |
|||
Пример 6.3. Течение степенной жидкости по трубам Рассмотрим установившееся изотермическое ламинарное, полностью развив
шееся течение несжимаемой степенной жидкости в горизонтальной трубе под дей ствием гидростатического давления, приложенного к одному из концов трубы. Тре буется определить: 1) профиль скоростей; 2) объемный расход.
Р е ш е н и е 1. Поскольку течение осуществляется в трубе, используем ци линдрическую систему координат. Течение изотермическое, и жидкость несжимаема; поэтому уравнения движения, неразрывности и определяющее уравнение полностью определяют течение. Из соображений симметрии будем считать, что в направлении 0
течение отсутствует и I'Q = 0. Движение полностью развившееся — это |
означает, |
что dvjdt = 0. Уравнение неразрывности принимает вид: |
|
W ^r)= 0 |
(6.5-10) |
После интегрирования получается r v r — С, где |
С |
— константа. |
На стенке трубы v T — 0, и, следовательно, |
С |
= 0 и v r = 0. Таким образом, |
имеется только одна ненулевая компонента скорости с»г, являющаяся функцией
одного г . Три компоненты уравнения движения (см. с. |
102) примут вид: |
|||
д Р / д г |
0; |
|
д Р / д д = 0 |
(6.5-11) |
дР _ |
- 1 |
д |
, . |
|
d z |
|
|
|
|
Ясно, что Р является функцией только z, а правая часть последнего уравнения зависит только от г, поэтому частные производные можно заменить на полные и произвести интегрирование:
г |
d P |
(6.5-12) |
= - - у |
- ^ + Сх |
где С 1 — константа интегрирования.
Единственная ненулевая компонента градиента скорости в рассматриваемом течении — это d v j d r . Тензор скоростей деформации примет вид:
d v z
0
d r
Y= 0 |
0 |
(6.5-13) |
d v z
0
d r
Определяющее уравнение запишется как
Т rz = — m \ n 'v r z
Здесь
d v z
d r
После подстановки в определяющее уравнение это дает:
|
|
Г / |
d v z |
\ *1 (п—1)/2 d v z |
|
d o . |
n -i do, |
Тг* |
т |
Ц |
т |
г ) J |
m |
■аг |
|
|
|
|
ч г |
ч г |
|||
|
|
|
|
|
|
(6.5-14)
(6.5-15)
(6.5-16)
Заметим, что у (модуль у ) — величина всегда положительная, поэтому берется абсолютное значение величины, определяющей зависимость вязкости от скорости сдвига. Из уравнения (6.5-16) следует, что при г = 0, где d v j d r *= 0, тГ2 = 0 и кон станта С в (6.5-12) равна нулю. Из уравнений (6.5-16) и (6.5-12) получаем:
d v z |
л—1 d v z |
|
г |
|
d P |
(6.5-17) |
||
т |
|
|
d r |
|
2 |
|
d z |
|
d r |
|
|
|
|
|
|||
При течении в трубе * при всех г |
верно d v j d r |
< 0, поэтому (6.5-17) запишется |
||||||
как |
|
/ |
|
|
|
у |
|
|
d v z |
_ _ |
г |
|
d P |
|
(6.5-18) |
||
d r |
~~ |
\ |
2 |
т |
d z |
) |
|
|
|
|
|||||||
где s = \ / п .
* В более сложных задачах, где градиент скорости меняет знак в зависимости от координаты, для областей с разными знаками градиента получаются разные ре шения (см. гл. 10 и 13).
Производная dP/dz < 0, а возводимая в степень величина в правой части урав нения (6.5-18) положительна. Это уравнение можно проинтегрировать с граничным условием vz (R) — 0:
|
«г |
(Г) |
R |
R dP у Г |
/ г у + 1 " |
(6.5-19) |
||||||
|
S + 1 ( 2т dz ) L |
\ R ) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Р е ш е н и е |
2. |
Объемный расход |
получаем |
из |
(6.5-19): |
|
|
|||||
|
|
|
|
R |
|
лR3 |
/ |
R |
dP у |
|
|
|
|
|
|
О = |
J 2лrvz dr |
|
|
(6.5-20) |
|||||
|
|
|
|
s + |
3 |
\ |
2т dz ) |
|
||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку dP/dz— величина постоянная, |
(6.5-20) можно записать как |
|||||||||||
|
|
|
|
лR3 |
/ |
R |
&Р |
у |
|
( 6 . Г-21) |
||
|
|
|
|
s + |
3 |
\ |
2т |
L |
) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
где ЛР = |
P i — Р0 (Р0 — давление при z = |
0, а Р^ — при z |
L). |
Гагена — |
||||||||
При |
s = 1 уравнение |
(6.5-21) превращается |
в известное |
уравнение |
||||||||
Пуазейля: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = щгг(ро - рО |
|
|
(6.5-22) |
|||||
6 .6 . Уравнение Криминейла—Эриксена—Филби (КЭФ) |
|
|||||||||||
В разд. 6.3 |
было |
кратко |
рассмотрено |
происхождение |
уравне |
|||||||
ния КЭФ и уравнения, вытекающего из него. Уравнение КЭФ при меняется для описания установившихся сдвиговых течений. Мате
риальные функции |
г), |
и ф,, зависят |
от у |
(модуля у): |
|
п |
— л |
(У ); |
Ф1 = |
Ф1 |
(V ); |
Поскольку постулируется, что функции вязкости в обобщенном ньютоновском и уравнении КЭФ одинаковы, полагают, что в жидко* сти КЭФ при установившемся вискозиметрическом течении имеется такое же поле скоростей, что и в чистовязкой жидкости. Затем реолог может поставить следующую задачу: жидкость подчиняется урав нению КЭФ, и задано поле скоростей в вискозиметрическом тече нии; рассчитать поле напряжений (компоненты напряжений), необ ходимое для поддержания этого течения. Приведенный ниже пример иллюстрирует как постановку задачи, так и метод расчета.
Пример 6.4. Уравнение состояния жидкости КЭФ. Полностью развившееся течение в трубах
Реологическое поведение жидкости описывается уравнением КЭФ. Рассчитать напряжения при установившемся течении в трубе.
Р е ш е н и е . |
Поскольку для ОНЖ и жидкости КЭФ поля скоростей одинаковы, |
||
согласно Примеру |
6.3 имеем: |
|
\г1 |
|
/ о |
0 |
|
|
у = [ О |
О |
О |
|
\Уп |
О |
О |
158
Для расчета напряжений |
по |
уравнению |
КЭФ (6.3-5) необходимо вычислить |
||
у-у и 2fryi2Dt. Сначала находим |
|
|
|
|
|
|
у .у |
Г у п |
0 |
° \ |
|
|
I |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
\ |
0 |
0 |
|
|
|
|
|||
затем |
|
|
|
|
|
3> • |
д • |
+ (v-Vy) + |
t(®-Y) — (У®)] |
||
-g ftV ~ ~ g fV |
|||||
Поскольку течение установившееся, производная dy!dt = 0. Для определения
компонент тензора v-Vy воспользуемся записью компонент (я -Vy) в трех коорди натных системах:
прямоугольные координаты (х} у , г)
(V• Vy)xx = |
(«• V) Yx.v |
(v • Vy)ху = |
(v • Vy) у х = ( V • V) Уху |
|
( V .Vy)уу = |
(v • V) Ууу |
( V • Уу)г,2 = |
(я • Vy)zy = |
(v • V) угу |
(я• Vy)zz = |
(^ V) Yzz |
(я• Vy)** = |
( v • Vy).C2 = |
*V) Y*2 |
где
дд d
цилиндрические координаты |
(г, 0, z) |
|
|
|
|
||
• |
|
|
|
Уд |
(Yr0 + |
Y0r) |
|
(O. W )rr = |
(®-V) Y rr----- ^ |
|
|||||
(®-VY)00 =•- (®-v) Yee + — (Yro + Yor) |
|
||||||
|
( v - V y ) z z = (* -V ) Y « |
|
|
||||
(®-VY)r0 = |
(®-VY)0r = |
(®-V) Y0r + -y - (Yrr — |
YO0) |
||||
• |
|
• |
|
|
|
Щ . |
|
(Я *Vy)02 = |
(*° • Vy)ze = ( V *V) Y02 + — YГ2 |
||||||
• |
|
* |
|
|
|
Уд |
|
(Я - Vy)r2 = (tf-Vybr = (®-V) Yrz---- —Yor |
|
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
(®-v) = |
5 |
, Цп |
d |
, |
d |
|
|
t»r -5 r + — |
ж |
+ о 21Г |
|
||||
сферические координаты |
(г, 0, cp) |
|
|
2 у,, |
|
||
. |
|
• |
2l)a |
|
|||
|
^иФ . |
|
|||||
(v • Vy)rr |
= (v • v) Yrr---- — Yr0---- —УгФ |
||||||
(®-Vy) 0 0 = |
(^*V) Y0 0 -] |
2l>0 |
YrO |
2 цФ . |
cot 0 |
||
— |
г |
^©ф, |
|||||
|
(®•\;т)фф =- ( V |
•V) у,рф + — |
|
\’гФ + |
— |
у0Ф cot О |
||||||||
|
(v- v v‘)re = («•VY)0r = (*•V) Yr0 -1- -7 |
- (\Vr - Y00) - |
||||||||||||
|
|
|
- - ^ ( У Ф в |
+ |
УгФ^ 1e) |
|
||||||||
|
(«• Vi?)rt> = |
(*>• Vv)®r = |
(®-V)vr 0 |
- |
-7 |
- У0Ф + |
||||||||
|
|
+ |
“7 “ [(Yrr — Y<M>) + |
Y/-0 cot 0] |
||||||||||
|
• |
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
• |
|
|
Vc\ • |
|
(® • V v ) 0 ф |
= |
(® • V v ) 0 0 |
= |
(® • V ) |
7 0 ф |
+ |
-p- УгФ + |
||||||
|
|
+ ~j~ [Yer + |
(Y00— 7®®)cot 0] |
|||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
_ 4 |
|
|
D |
. V Q S |
+ |
|
vo |
d |
||||
|
(®-V) = t'r-gf + — |
W |
rsinQ |
W |
||||||||||
Рассмотрим только |
одну |
координату: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
(V -V y )rz = ( V - V ) Угг — |
-7- 1> ; |
= |
||||||||||
|
( |
|
д |
. |
VQ д . |
|
д \ . |
~ |
VQ . |
|||||
|
= V ' l F |
+ “Г Ж + |
|
-Ж ) ^ |
— Y0‘ |
|||||||||
Так как vT= |
0, VQ = 0 и dvjdz = |
0, в случае установившегося течения в капилляре |
||||||||||||
член (tf-Vv)rz = 0. Аналогично |
можно |
подсчитать |
все |
другие компоненты и по |
||||||||||
казать, что |
(tf-Vy) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ниже приведены компоненты тензора циркуляции © в трех координатных |
||||||||||||||
системах: |
|
|
|
|
(х, у , г) |
|
|
|
|
|
|
|
||
прямоугольные координаты |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d v ,j |
|
dvx |
|
||
|
|
|
(&xvиху —--®ух — д х |
|
ду |
|
||||||||
|
|
|
и Уг ' |
|
|
|
|
dvz |
d v y |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
д у |
|
д г |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(й2Х = — (йхг = |
d v x |
|
dv2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д г |
|
д х |
|
|
цилиндрические координаты |
(г, |
0, г) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
®г0 = “ Щг |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
d v r |
||||
|
= — |г И е ) |
|
Г |
ае |
||||||||||
|
|
со02 “ — (О20 = |
|
1 |
д и г |
|
dvQ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
ао |
|
д г |
||
|
|
|
0)2Г= — сог2 = |
диг |
|
dvz |
|
|||||||
д г |
д г |
(ОГ0 = |
- со0г |
(rvQ) ----- - |
dvr |
||
ае |
|||||
со0ф= — озфе |
|
(уф sin 0) • |
1 |
||
rsinB дО |
г sin 0 дер |
||||
|
|
|
|||
|
1 |
dvr |
I d |
д г (™ф) |
|
® * г - - |
® Гф - ' rsine |
W |
г |
||
Тензор циркуляции для рассматриваемого течения получаем с помощью при веденных выше формул:
|
|
|
/ 0 |
|
0 |
|
угг' |
|
|
|
(о = |
V® — (V©)T = |
I |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
\ — Yrz |
о |
|
О |
|
|
|
|
|
|
О 0 Yr-Л |
|
/ |
|
о |
о |
|||
{«•v} = |
|
0 |
0 |
0 |
1=1 |
о |
о |
о |
||
Аналогично |
|
Л’гг |
0 |
о |
/ |
|
V |
0 |
0 |
-Y?z/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{у • о} = |
- Y „2 |
0 |
° |
\ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
° |
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
6 |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Yr z / |
|
|
|
|
|
Далее получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
г |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ю)] |
= |
о |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
\ о |
0 |
|
- Y; |
|
|
||
Согласно уравнению (6.3-5) напряжения в жидкости КЭФ в случае полностью развившегося течения по капилляру имеют вид:
^тГг |
тг0 |
тГ2\ |
|
/ 0 |
0 |
\ гг\ |
|
|
|||||
тег |
тгг |
т02 I = |
— г] (у) I |
0 |
0 |
0 |
| - |
|
|||||
\т2Г |
т20 т22/ |
|
\Уг2 |
0 |
0 , |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
'Vrz |
О |
О |
|
1 |
|
|
|
о |
(V) + ^ 2 |
(Y)j |
О |
|
° |
|
|
|
|
О |
||||
0 |
+-o"'Mv) |
|
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
о о у% I |
|
|
|
\ о о -VY 2r z /, |
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т > 2 = Т 2Г |
— 1l Y r z |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Trr = |
~ |
( |
~ |
^ |
+ 1|’2) |
+ |
Т |
|
= |
- |
^ 2Y; |
|
|
|
|
|
|
|
|
Too = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
т « = - |
( 4 |
" |
,|i + +2) |
- |
4 ” |
|
=■■- |
( t i |
т i 2) |
V2 |
|||
|
*Г2 |
||||||||||||
6 Тадмор 3 ., Гогос К- |
161 |