2785.Теоретические основы переработки полимеров
..pdfНо 0 (б, t ) = 0, так Как б определено как расстояние, на которое тепло практи чески не проникает. Тогда правая часть уравнения (9.3-16) оказывается равной
х = 0
и уравнение (9.3-16) может быть переписано как
ifо |
вм-*§] |
(9.3-17) |
|
|
х = 0 |
Преимущество преобразования Гудмана теперь очевидно; зависящие от тем пературы теплофизические свойства входят в проинтегрированное дифференциальное Уравнение только при постоянной температуре поверхности Т г . Изменение этих свойств с температурой проявляется в граничных условиях для 0 ( х , t ) :
Ti
0 (0, |
0 |
= 0, = j |
рс„ дТ |
(9.3-18) |
|
|
Го |
|
|
Оба граничных условия Т (*, 0) = |
Т 0 |
и Т (оо, t ) |
= Т 0 учитываются допущением вре |
менной зависимости конечной глубины проникновения тепла.
Далее предположим, что «температурный профиль», который удовлетворяет граничным условиям
|
0 (0, /) = |
01; |
0 ( х , |
6) = 0; |
( д в / д х ) х = = 6 = |
0 |
||
имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = |
0! (1 - * / б ) 3 |
(9.3-19) |
||
Подстановкой уравнения (9.3-19) |
в (9.3-17) |
получим зависимость б от времени: |
||||||
|
|
|
|
б = |
j/24oJ? |
|
(9.3.20) |
|
где а ! — значение а |
при T L . |
|
|
|
|
|
|
|
Для полимера, |
у |
которого а = |
1*10“7 ма/с, |
глубина проникновения через 1 с |
||||
равна примерно 0,1 |
см, а спустя 60 с — 1 см. Из уравнения (9.3*19) получим: |
|||||||
|
|
0 |
= |
0\ ! |
К 2 4 а / |
(9.3-21) - V |
Температурный профиль для любого заданного момента времени можно полу чить, подсчитывая 0 для различных значений х (0 < х < б) и пользуясь уравнением (9.3-14) для определения соответствующих температур. Последнее, разумеется, тре бует данных о температурной зависимости рС р .
Для постоянных теплофизических свойств уравнение (9.3-21) сводится к виду:
JL izlo = Л |
(9.3-22) |
T i - T 0 |
|
Тепловой поток при х — 0 равен: |
|
9х= -гт=Л. -(Tx-Tt) |
(9.3-23) |
Y (8/3) |
|
Г/ = (0, |
/) = |
Т1 |
(9.3-26а) |
Tt (X i , |
t) = |
Tm |
(9.3-266) |
Следует заметить, что-координата X/ откладывается от действительной внешней поверхности расплава, которая, если р/ ф Ps. медленно движется во время плавле ния. Для твердой фазы “исходное дифференциальное уравнение имеет вид:
d*Ts |
1 |
dTs _ |
0 |
(9.3-27) |
|
дх\ |
«з |
dt |
- |
|
|
|
|
||||
Граничные условия: |
|
|
|
|
(9.3-28a) |
|
Ts (Xs, |
t) = Tm |
|
||
|
Ts |
0 = |
To |
|
(9.3-286) |
Координата Xs откладывается от исходной внешней поверхности, существовав шей в начале процесса плавления и не меняющей своего положения. В дополнение к записанным граничным условиям можно записать тепловой баланс для поверх ности раздела (условие Стефана):
Левая часть этого уравнения представляет собой разность потоков тепла к по верхности и от поверхности, правая часть — скорость плавления на единицу по верхности.
Предположим, что температурный профиль в каждой фазе имеет форму темпера турного профиля, полученного в Примере 9.1 для полубесконечного твердого тела со скачкообразным изменением температуры поверхности. Тогда получим следую щие температурные профили для расплава и твердой фазы соответственно:
7'' = Г1 + 3,ег,( " п % |
г ) |
(9'3'30) |
т, = 7-0 + В erfc ( у р = |
г ) |
(9-3-31) |
Они удовлетворяют граничным условиям (9.3-26а) и (9.3-286). В уравнениях (9.3-30) и (9.3-31) erfc (s) = 1 — erf (s). Оба уравнения должны соответствовать граничному
условию, которое определяет равенство температуры поверхности раздела тем пературе плавления:
г " - г‘ + -4' г ,( т т = Г ) |
<9-3 “ ' |
г" = Т" + ВЫс ( т Й ч Г ) |
I9'3'33’ |
Уравнения (9.3-32) и (9.3-33) должны быть справедливы для любого значения Времени /. Это возможно только тогда, когда величины X/ и Х3 пропорциональны
корню квадратному из значения времени. Поэтому можно написать: |
|
|
Ха = |
К V T |
(9.3-34) |
С учетом уравнения (9.3-24): |
|
|
X/ = |
рХ V T |
(9.3-35) |
где К — неизвестная константа.
Из уравнений (9.3-34) и (9.3-35) можно сделать вывод (даже не имея полного ре
шения) о том, что толщина слоя расплава растет со скоростью, пропорциональной корню квадратному из времени.
Интересно отметить сходство между глубиной проникновения тепла, значение ко торой было получено в предыдущих примерах, и расположением поверхности раз дела фаз. Это сходство наводит на мысль о применимости метода получения прибли женного решения к задаче с фазовым переходом.
Константа К может быть оценена подстановкой уравнений (9.3-30) и (9.3-31) в (9.3-29). Определив константы А и В из граничных условий (9.3-26) и (9.3-28) и
условий (9.3-34) и (9.3-35), |
получим выражение |
|
|
||
/т |
т и •—К2Р2/4а, |
(Т у-Т ^Ъ е |
= _/<£ (9.3-36) |
||
(Тт — Т{) kje________ |
|
||||
|
|
|
|
||
У |
n a i erf (/CP/2 У о [ ) |
|
V n a s erfc (ЛГ/2 V a s ) |
Pi |
2 |
Корень этого трансцендентного уравнения и есть /С, а его значение зависит от |
|||||
свойств обеих фаз. Табулированное решение уравнения (9.3-36) для р = |
1с точностью |
до четвертого знака было получено Черчилем и Эвансом [8]. Температурные профили в двух фазах получены из уравнений (9.3-30) и (9.3-31) с помощью (9.3-32) и (9.3-33):
T i - T m |
e rf M 2 lA x ,Q ] |
T i - T m |
erf [/Ср/(2 JAST)] |
Та — Т щ _. |
erfc [.У$/(2 |
Tg — T,n |
erfc [/(/(2 jAas )] |
Уравнения (9.3-37) и (9.3-38) удовлетворяют дифференциальному уравнению, граничным и начальным условиям. Поэтому они представляют собой точное решение задачи. Полученное решение не учитывает конвективный теплопёренос, возникаю щий вследствие расширения расплава, вызванного уменьшением плотности.
Количество расплава, образующееся в единицу времени на единичной площади поверхности раздела (скорость плавления) в зависимости от времени, можно опреде лить из уравнения (9.3-35):
dXt _ |
psK |
(9.3-39) |
|
WA =■' Pi dt |
2 j/T |
||
|
Еще раз отметим сходство методов решения задач нестационарной теплопровод ности при постоянных теплофизических свойствах с методами решения, применяе мыми для задач с переменными теплофизическими свойствами и фазовым переходом. Ясно, что скорость плавления снижается со временем, а толщина слоя расплава, ко торый, по существу, играет роль теплового экрана, увеличивается. Этот результат лишний раз подчеркивает преимущества, которые имеет метод плавления с принуди тельным удалением слоя расплава. Средняя скорость плавления равна:
wА |
t J 2 Y t |
V t |
(9.3-40) |
|
0 |
|
|
В рассмотренных примерах решались задачи теплопроводности в полуограниченных телах с разными допущениями относительно теплофнзических свойств твер дого тела. Хотя решения, которые получены в этих примерах, являются весьма по лезными приближениями и ими следует пользоваться при анализе проблемы тепло проводности, во многих реальных случаях плавления и отверждения полимеров по ложение осложняется тем, что одновременно имеют место как фазовые переходы, так и температурная зависимость теплофизических свойств. В подобных случаях приходится обращаться к численным методам, в частности к методу конечных раз ностей, рассмотренному в следующем разделе. Дополнительные преимущества чис ленных методов заключаются в том, что они могут применяться при сложной геомет рии и различных граничных условиях. Тем не менее многочисленные аналитические решения задач теплопроводности при различных конфигурациях теплового потока и разных граничных условиях вошли в классические труды [9, 10], и хотя большин ство решений получено для постоянных теплофизических характеристик, они очень полезны для анализа процессов переработки полимеров. Обзор этих решений и мате матических приемов, с помощью которых они были получены, выходит за рамки дан
ной работы. Ниже приведено несколько хорошо известных и широко применяемых решений (физические свойства — постоянные). Для тел различной геометрии дается распределение температуры и указываются начальные и граничные условия:
П о л у о г р а н и ч е н н о е т в е р д о е т е л о |
|
|
|
|||||||
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г7= ТГ ” |
|
( т Ь ) |
|
|
||||
|
Т (х, |
0) = |
Г0; |
Т (0, |
() = |
Тг, |
т(оо, /) = Т0 |
|||
Т (х, |
0) = |
Г0; Т (оо, |
t) = |
Г0; |
/ |
дТ |
\ |
|
||
- f t { - ^ г ) х=0 = А |
||||||||||
П л о с к а я п л а с т и н а |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тх— Т |
( - 1)" |
|
|
|
|
я* (а//62) |
|
|||
|
.- ( ■ ♦ т Г |
|
|
|
||||||
Т х - Т 0 = 2 |
(« + - г ) « |
|
cos |
|
||||||
7 ^ |
|
Т(±Ь,1) = Тх |
|
|||||||
|
Г(х, |
0) = Г0; |
|
|||||||
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тх — Т |
« ( - г ) - ь ( - г ) |
|
о ... о |
|
||||||
—р,-,«//* |
Р/1 tg р» = A*/ft |
|||||||||
Т х - Т 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
[ Р я + Х - + |
( - Г - ) 2] cosp„ |
|
|
|
|||||
/1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г ( , , 0 ) = Г 0; - ^ |
1 |
- - f l T x |
- Г (-»)]; |
- |
- g - |
|
||||
Цилиндр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7\ — Г |
|
|
|
Jо (гсп) |
|
оt |
J о (R cn) — 0 |
|||
Т х - Т 0 |
~ |
|
CnJ1 |
(RCn) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
T(r, |
0) = Т0; |
|
Т (R, |
/) = |
7,1 |
|
|
То, |
Т ( ± b , t) — |
тх. Числа |
у |
кривых |
— значения параметра a tjb2. |
||
Рис. 9.6. Температурные |
профили |
при |
нестационарном |
режиме теплопроводности |
|||
в неограниченном |
цилиндре: |
|
|
|
|
||
т0\ 0) - Г0, |
т{R, |
О = тх. Числа |
у кривых — |
значения |
параметра a t/R 2. |
266
Рис. 9.7. Температурные |
профили |
при нестационарном режиме теплопроводности |
|
в |
сфере: |
|
|
Т |
(г. 0) = Г „ ; Т ( R , 0 = 7 , . |
Числа у |
кривых - значения параметра a t / R - . |
Рис. 9.8. Температура в центре тел разной формы в сравниваемое время:
/ |
- |
неограниченная пластина; |
2 |
- |
квадратный стержень; 3 - |
неограниченный цилиндр- |
|
4 |
_ |
куб; 5 — цилиндр с L — |
D ; |
6 |
— сфера. |
4 |
Ан' |
_7> |
|
|
- |
_2_ |
V |
|
exo ( - а р * л |
|
~ |
^ |
(Грп) |
|
||||||
J - Z L |
J |
7 ( |
|
|||||||||||||||
Г,о ~ Т г |
|
« |
Z |
1 |
|
|
п ) |
А |
V |
, |
I------------ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
»■=> |
|
|
|
|
К |
т ) |
+fl" J ; o № ) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M o |
H— |
k 7о |
|
— 0 |
|
|
|
||||||
|
|
Т (г, 0) = |
X |
- к ( |
|
дТ |
\ |
r=/? = h[T (/?) — Г21 |
|
|||||||||
Сфера |
|
|
дг |
) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7\ |
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
V |
|
(-1У |
- s i n - ^ |
e~ani7l4IR1 |
|
|||||||
|
|
Т 1 |
- |
Т0 |
nR |
2ш1 |
|
п |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
7? |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
/1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
(r, |
0) = |
|
T0\ |
T (tf, |
/) =, 7\ |
|
|
|
|||
. T |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ( * x _ 1 ) 2 |
|
||||
Tl - |
= |
|
_ |
|
/ |
exp (— ap 2 л _____________V |
/e |
!________ |
X |
|||||||||
' • - r * |
|
r |
4 * |
|
|
|
|
|
< [ « t « T ( ' T - ' ) ] |
|
||||||||
|
|
X Sin (PP„) Sin (/-p,,); |
tfp„ ctg (Я0,,) + |
R |
к |
— 1 = 0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
oT |
\ |
Г=Я= |
|
|
|
|
|
|
|
|
T ( r , |
0) = 7V, -Л |
( ^ r ) |
Л [Г (/?) - |
r x] |
|
|||||||||||
На рис. 9.5—9.8 показаны температурные профили при нестационарном |
режиме |
|||||||||||||||||
теплопроводности в телах простой геометрии. На рис. 9.8 |
X — толщина, |
размер |
||||||||||||||||
грани или диаметр; |
Т0 — начальная |
температура; при t = |
/0 температура внешней |
|||||||||||||||
поверхности |
повышается до |
Tv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.4. Отверждение или плавление листа из полимера (числовое решение методом конечных разностей)
В методе конечных разностей (МКР) дифференциальное уравне ние заменяется аппроксимирующими конечными разностями, а об ласть, в которой отыскивается решение, покрывается сеткой дискрет-
Рис. 9.9. Расположение узловых точек при ре шении одномерной задачи теплопроводности.
ных точек. В результате задача оты скания решения сводится к задаче ре шения системы алгебраических урав нений. Одновременное решение этих уравнений дает числовые значения зависимой переменной (т. е. темпера туры) для поля дискретных точек. По лучение только числовых значений для выбранных точек, хотя и более до
стоверное по сравнению с непрерывной функцией, является главным неудобством МКР. При такой технике решения предполагается использование большого числа довольно простых вычислений, поэтому для этой цели наиболее подходят ЭВМ. Действительно, зна чительные успехи в области вычислительной техники привели также и к широкому применению метода конечных разностей.
МКР применяется для решения одномерных и многомерных задач теплопроводности как при стационарных, так и при нестационарных режимах. Не излагая математических основ этого метода [10—13], рассмотрим подробно решение задачи отверждения листа.
Пусть расплавленный полимер с начальной температурой Т0 помещен между двумя бесконечными пластинами, расстояние между которыми 26, а температура каждой пластины ниже температуры от верждения (или ниже Tg для аморфных полимеров и равна 7\). Исходное дифференциальное уравнение (9.3-1) для одномерного слу чая сводится к виду:
где для краткости СР записано как С. Начальные и граничные усло вия (система координат определена на рис. 9.9) будут следующими:
т(Л, 0) = То (9.4-2а) |
(0, /) = 0 |
(9.4-26) |
L Т(Ь, t ) = T x |
|
(9.4-2в) |
Следуя Дусинберру [13], применим уравнение (9.4-1) как к твер дой, так и к жидкой фазам. Пусть теплофизические свойства k, р и Ср являются функциями температуры. Внутри области отверждения значение скрытой теплоты отверждения 1 можно включить в удель ную теплоемкость:
где АТт соответствует области отверждения.
Этот способ представления данных будет приводить для кри сталлических полимеров к весьма резкому изменению Ср в области ДТт. Для аморфных полимеров, для которых не существует теплоты плавления, как это было показано в гл. 5, Ср изменяется непрерывно,
без резких изменений в зависимости от температуры. Толщина твер дого слоя как функция времени будет увеличиваться от стенки
внутрь расплава к точке, где |
Тт = Тт + |
0,5 ДТт. |
|
форме, |
|||||||
Запишем уравнения (9.4-1) и (9.4-2) в |
безразмерной |
||||||||||
введя |
следующие |
безразмерные |
|
переменные: |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 = |
Т ~ Т Х |
|
|
(9.4-4) |
||
|
|
|
|
|
То-Т, |
|
|
||||
|
|
|
1 = х/Ь |
(9.4-5) |
|
т = а 0//62 |
|
(9.4-6) |
|||
|
|
k' = k/k0\ р' = р/р0; |
С' = С/С0; а ' |
= а /а 0 |
|
(9.4-7) |
|||||
где /г0, |
р0, С0 |
и а 0 — теплофизические |
свойства при |
Т = Т0. |
|
|
|||||
Результирующие уравнения |
будут иметь |
вид: |
|
|
|||||||
0 (5, 0) = 1 |
(9.4-9а) |
- g |- (0, |
т) = |
0 |
(9.4-S6) |
0(1, т) = |
0 |
(9.4-9в) |
|||
Для перехода к конечно-разностной формулировке заменим не |
|||||||||||
прерывное |
пространство |
набором |
узловых точек i, как |
показано |
|||||||
на рис. 9.9, с i = |
1 на |
осевой линии |
в начале координат |
и i = / |
|||||||
на стенке (| |
= 1). Расстояние между узлами обозначим Д£. Прежде |
чем продолжить формулирование задачи для решения методом конеч ных разностей, рассмотрим применение этого метода для сходной задачи, но без фазового перехода и с неизмененными теплофизи
ческими свойствами. Для этого |
случая уравнение (9.4-8) сводится |
||
к виду: |
д-0 |
|
|
(90 |
(9.4-10) |
||
дт |
~ dg- |
||
|
Первый шаг к применению МКР состоит в замене производных разностями. Это может быть сделано или методами физической аппрок симации (путем составления теплового баланса для небольшого элемента пространства вокруг узловой точки), или математически. Используя последний подход, разложим в ряд Тейлора непрерыв ную функцию Т (х) в окрестностях точки х, + Дх/2 (Дх — простран ственное приращение от координаты хг, где температура равна Th до Xj+1, где температура равна Ti+1):
dT |
A |
x __ 1_ |
d2T |
Ti+l Ti-fl/2 + dx |
j+1/2 2 |
2 |
dx2 |
(9.4-11)
Член Q [(Ал:)3] объединяет оставшиеся члены порядка (Ах)9. Температура в точке х, может быть легко определена из выражения:
Т . = т. |
dT |
2 |
|
d2T |
|
( - ^ - ) 2— Q l(A x)»|+ ... |
(9.4-12) |
|
■i+ \j2 ~ ~ dx |t J_I/2 |
+ |
2 |
dx2 |
i + |
1/2 |
|
||
|
It f 1 |
|
|
|
|
|||
Вычитая |
уравнение (9.4-12) |
из (9.4-11), получим: |
|
|||||
|
|
|
|
dT |
г +1/2 Ax + QUAx)*] |
|
||
|
Ti/+1‘ - T t = - dX |
(9.4-13) |
или
dT_ |
L 1/2 |
Tjjfi 7*1 |
+ Q[(A*)SJ |
(9.4-14) |
dx |
Ax |
|
|
Аналогично вторая производная от Т (х) может быть получена разложением этой функции в окрестности Xi и сохранением Ti+
И T,.v
|
dT |
д , |
1 |
d2T |
1 |
d3~T |
, (Ах)3 + Q [(Ах)4] (9.4-15) |
|
Ti+1= Ti + ■dx |
,• Аа: + |
т |
dx2 t |
|||||
6 |
dx3 |
|||||||
|
dT |
, |
1 |
d2T |
1 |
d3T |
|
|
= T i |
dx |
, Ах + |
2 |
dx2 i |
|
|
|
Складывая уравнения (9.4-15) и (9.4-16), получим требуемое
выражение для второй |
производной: |
|
|
|
d3T |
! - 2 T i+ Т,i+l |
■Q[(Ax)< |
(9.4-17) |
|
dx2 |
(A*)2 |
|||
|
|
Перепишем правую часть уравнения (9.4-10), вводя обозначения конечных разностей с помощью уравнения (9.4-17) и опуская член
Q [(Ах)4]: |
е,.! - 26; + ef+1 |
|
|
dQi _ |
(9.4-18) |
||
dx |
(А£)2 |
||
|
Это дифференциальное уравнение с обычными производными применимо ко всем внутренним узлам (1 < i < /). Таким образом, дифференциальное уравнение в частных производных преобразовано в систему дифференциальных уравнений в обыкновенных производ ных. Граничные условия автоматически учтены при записи членов уравнения (9.4-18), для которых i = 1 и i = / — 1. При этом необходимо знать 90, которое из граничного условия (9.4-96) равно 02. Следовательно, получим:
d01 |
1 |
|
<9-4-19) |
“ЗГ = 7 а1Р~(202 ~ 201) |
|||
Но из граничного условия (9.4-9в) 0/ = |
0, значит |
|
|
% L = w |
( 0^ - |
20/-i) |
(9-4-2°) |
Поэтому имеем / — 1 дифференциальных уравнений для / — 1 зна чений неизвестной температуры в узлах.
Так как точное аналитическое решение большого числа обыкно венных дифференциальных уравнений, даже если они линейны, представляет значительные трудности и едва ли возможно, если уравнения нелинейны, то должны быть использованы приближен ные методы решения. Метод конечных разностей позволяет решить эту задачу. Решение задачи нестационарного режима теплопере
дачи |
это, по существу, выбор начальных значений температуры. |
Иначе |
говоря, если известна температура 0; в некотором узле i |
для момента времени т, то определяется температура 0* того же узла I, но для времени т -f- Дт, где Ат— произвольно принятое при-
270
ращение времени. Простейший путь оценить температуру для вре
мени т + |
Дт состоит в подсчете |
пппимплилг |
|
д-1” |
|
|||||||
мени к моменту т и экстраполяции послелуттйТеМПе^аТ^ Ы П° |
В^С' |
|||||||||||
МсНИ. |
|
J |
н““идяции последующего изменения во вре- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9" “ е‘ + ( |
d$i |
Ат |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
л ) |
|
|
(9.4-21) |
|||||
Подстановкой уравнения (9.4-21) в |
(9.4-18) и |
(9.4-20) получи М |
||||||||||
следующий |
набор |
алгебраических |
уравнений: |
|
|
|
||||||
|
|
|
0Г = 0, + |
Дт |
1202 — 20,1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(Д|)2 |
|
|
|
||||
|
|
|
6? ~~ 02 + 7 ^ " |
[01- |
202 + 0з1 |
|
(9.4-22) |
|||||
|
|
|
е7_1 — е/_ , + -щго- [0/__2 — 20/_, ] |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
№ |
|
|
|
|
|
|
Эти уравнения |
для |
удобства |
записи могут |
быть |
переписаны |
|||||||
в матричной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
А0 |
|
е* |
|
|
|
(9.4-23) |
|
здесь А — матрица коэффициентов, |
0 |
вектор-столбец матрицы |
илос^тгнл |
1ш - |
||||||||
ператур, а |
0* — вектор-столбец матрицы |
искомых |
температур, |
известных |
тем- |
|||||||
определяемых |
||||||||||||
соответственно |
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'1 -2 р |
2Р |
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
А = |
Р |
О — 2 Р) |
Р |
|
|
(9.4-24) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
/ |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
( 1 — 2р ) ' |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ат |
|
ао А/ |
|
|
(9.4-25) |
||
|
|
|
|
№ 2 |
(Ах)2 |
|
|
|||||
Выражения для |
0 и 0* имеют |
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
01 |
|
|
|
0г |
|
|
|
|
|
|
|
0 : |
02 |
|
0* - |
0? |
|
|
(9.4-26) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о;-! |
|
|
|
|
Матрицу А называют тридиагональной матрицей, потому что ненулевыми компонентами являются только три компоненты вдоль главной диагонали. Вектор-столбец матрицы «новых» температур для времени т + Дт есть произведение тридиагональной матрицы А на вектор-столбец матрицы «старых» (известных) температур для времени т. По правилам умножения матрицы на вектор получим следующий набор алгебраических уравнений:
(1 — 2 р ) 0, + 2р0 . ,^ 0 * рв, ( 1 - 2 р ) 0 , - | - р 0 а =и0«