Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2785.Теоретические основы переработки полимеров

..pdf
Скачиваний:
50
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
32.46 Mб
Скачать

Но 0 (б, t ) = 0, так Как б определено как расстояние, на которое тепло практи­ чески не проникает. Тогда правая часть уравнения (9.3-16) оказывается равной

х = 0

и уравнение (9.3-16) может быть переписано как

ifо

вм-*§]

(9.3-17)

 

 

х = 0

Преимущество преобразования Гудмана теперь очевидно; зависящие от тем­ пературы теплофизические свойства входят в проинтегрированное дифференциальное Уравнение только при постоянной температуре поверхности Т г . Изменение этих свойств с температурой проявляется в граничных условиях для 0 ( х , t ) :

Ti

0 (0,

0

= 0, = j

рс„ дТ

(9.3-18)

 

 

Го

 

 

Оба граничных условия Т (*, 0) =

Т 0

и Т (оо, t )

= Т 0 учитываются допущением вре­

менной зависимости конечной глубины проникновения тепла.

Далее предположим, что «температурный профиль», который удовлетворяет граничным условиям

 

0 (0, /) =

01;

0 ( х ,

6) = 0;

( д в / д х ) х = = 6 =

0

имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 =

0! (1 - * / б ) 3

(9.3-19)

Подстановкой уравнения (9.3-19)

в (9.3-17)

получим зависимость б от времени:

 

 

 

 

б =

j/24oJ?

 

(9.3.20)

где а ! — значение а

при T L .

 

 

 

 

 

 

Для полимера,

у

которого а =

1*10“7 ма/с,

глубина проникновения через 1 с

равна примерно 0,1

см, а спустя 60 с — 1 см. Из уравнения (9.3*19) получим:

 

 

0

=

0\ !

К 2 4 а /

(9.3-21) - V

Температурный профиль для любого заданного момента времени можно полу­ чить, подсчитывая 0 для различных значений х (0 < х < б) и пользуясь уравнением (9.3-14) для определения соответствующих температур. Последнее, разумеется, тре­ бует данных о температурной зависимости рС р .

Для постоянных теплофизических свойств уравнение (9.3-21) сводится к виду:

JL izlo = Л

(9.3-22)

T i - T 0

 

Тепловой поток при х — 0 равен:

 

9х= -гт=Л. -(Tx-Tt)

(9.3-23)

Y (8/3)

 

Г/ = (0,

/) =

Т1

(9.3-26а)

Tt (X i ,

t) =

Tm

(9.3-266)

Следует заметить, что-координата X/ откладывается от действительной внешней поверхности расплава, которая, если р/ ф Ps. медленно движется во время плавле­ ния. Для твердой фазы “исходное дифференциальное уравнение имеет вид:

d*Ts

1

dTs _

0

(9.3-27)

дх\

«з

dt

-

 

 

 

Граничные условия:

 

 

 

 

(9.3-28a)

 

Ts (Xs,

t) = Tm

 

 

Ts

0 =

To

 

(9.3-286)

Координата Xs откладывается от исходной внешней поверхности, существовав­ шей в начале процесса плавления и не меняющей своего положения. В дополнение к записанным граничным условиям можно записать тепловой баланс для поверх­ ности раздела (условие Стефана):

Левая часть этого уравнения представляет собой разность потоков тепла к по­ верхности и от поверхности, правая часть — скорость плавления на единицу по­ верхности.

Предположим, что температурный профиль в каждой фазе имеет форму темпера­ турного профиля, полученного в Примере 9.1 для полубесконечного твердого тела со скачкообразным изменением температуры поверхности. Тогда получим следую­ щие температурные профили для расплава и твердой фазы соответственно:

7'' = Г1 + 3,ег,( " п %

г )

(9'3'30)

т, = 7-0 + В erfc ( у р =

г )

(9-3-31)

Они удовлетворяют граничным условиям (9.3-26а) и (9.3-286). В уравнениях (9.3-30) и (9.3-31) erfc (s) = 1 — erf (s). Оба уравнения должны соответствовать граничному

условию, которое определяет равенство температуры поверхности раздела тем­ пературе плавления:

г " - г‘ + -4' г ,( т т = Г )

<9-3 “ '

г" = Т" + ВЫс ( т Й ч Г )

I9'3'33’

Уравнения (9.3-32) и (9.3-33) должны быть справедливы для любого значения Времени /. Это возможно только тогда, когда величины X/ и Х3 пропорциональны

корню квадратному из значения времени. Поэтому можно написать:

 

Ха =

К V T

(9.3-34)

С учетом уравнения (9.3-24):

 

 

X/ =

рХ V T

(9.3-35)

где К — неизвестная константа.

Из уравнений (9.3-34) и (9.3-35) можно сделать вывод (даже не имея полного ре­

шения) о том, что толщина слоя расплава растет со скоростью, пропорциональной корню квадратному из времени.

Интересно отметить сходство между глубиной проникновения тепла, значение ко­ торой было получено в предыдущих примерах, и расположением поверхности раз­ дела фаз. Это сходство наводит на мысль о применимости метода получения прибли­ женного решения к задаче с фазовым переходом.

Константа К может быть оценена подстановкой уравнений (9.3-30) и (9.3-31) в (9.3-29). Определив константы А и В из граничных условий (9.3-26) и (9.3-28) и

условий (9.3-34) и (9.3-35),

получим выражение

 

 

т и •—К2Р2/4а,

(Т у-Т ^Ъ е

= _/<£ (9.3-36)

(Тт Т{) kje________

 

 

 

 

 

У

n a i erf (/CP/2 У о [ )

 

V n a s erfc (ЛГ/2 V a s )

Pi

2

Корень этого трансцендентного уравнения и есть /С, а его значение зависит от

свойств обеих фаз. Табулированное решение уравнения (9.3-36) для р =

1с точностью

до четвертого знака было получено Черчилем и Эвансом [8]. Температурные профили в двух фазах получены из уравнений (9.3-30) и (9.3-31) с помощью (9.3-32) и (9.3-33):

T i - T m

e rf M 2 lA x ,Q ]

T i - T m

erf [/Ср/(2 JAST)]

Та Т щ _.

erfc [.У$/(2

Tg T,n

erfc [/(/(2 jAas )]

Уравнения (9.3-37) и (9.3-38) удовлетворяют дифференциальному уравнению, граничным и начальным условиям. Поэтому они представляют собой точное решение задачи. Полученное решение не учитывает конвективный теплопёренос, возникаю­ щий вследствие расширения расплава, вызванного уменьшением плотности.

Количество расплава, образующееся в единицу времени на единичной площади поверхности раздела (скорость плавления) в зависимости от времени, можно опреде­ лить из уравнения (9.3-35):

dXt _

psK

(9.3-39)

WA =■' Pi dt

2 j/T

 

Еще раз отметим сходство методов решения задач нестационарной теплопровод­ ности при постоянных теплофизических свойствах с методами решения, применяе­ мыми для задач с переменными теплофизическими свойствами и фазовым переходом. Ясно, что скорость плавления снижается со временем, а толщина слоя расплава, ко­ торый, по существу, играет роль теплового экрана, увеличивается. Этот результат лишний раз подчеркивает преимущества, которые имеет метод плавления с принуди­ тельным удалением слоя расплава. Средняя скорость плавления равна:

wА

t J 2 Y t

V t

(9.3-40)

 

0

 

 

В рассмотренных примерах решались задачи теплопроводности в полуограниченных телах с разными допущениями относительно теплофнзических свойств твер­ дого тела. Хотя решения, которые получены в этих примерах, являются весьма по­ лезными приближениями и ими следует пользоваться при анализе проблемы тепло­ проводности, во многих реальных случаях плавления и отверждения полимеров по­ ложение осложняется тем, что одновременно имеют место как фазовые переходы, так и температурная зависимость теплофизических свойств. В подобных случаях приходится обращаться к численным методам, в частности к методу конечных раз­ ностей, рассмотренному в следующем разделе. Дополнительные преимущества чис­ ленных методов заключаются в том, что они могут применяться при сложной геомет­ рии и различных граничных условиях. Тем не менее многочисленные аналитические решения задач теплопроводности при различных конфигурациях теплового потока и разных граничных условиях вошли в классические труды [9, 10], и хотя большин­ ство решений получено для постоянных теплофизических характеристик, они очень полезны для анализа процессов переработки полимеров. Обзор этих решений и мате­ матических приемов, с помощью которых они были получены, выходит за рамки дан­

ной работы. Ниже приведено несколько хорошо известных и широко применяемых решений (физические свойства — постоянные). Для тел различной геометрии дается распределение температуры и указываются начальные и граничные условия:

П о л у о г р а н и ч е н н о е т в е р д о е т е л о

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г7= ТГ

 

( т Ь )

 

 

 

Т (х,

0) =

Г0;

Т (0,

() =

Тг,

т(оо, /) = Т0

Т (х,

0) =

Г0; Т (оо,

t) =

Г0;

/

дТ

\

 

- f t { - ^ г ) х=0 = А

П л о с к а я п л а с т и н а

 

 

 

 

 

 

 

 

Тх— Т

( - 1)"

 

 

 

 

я* (а//62)

 

 

.- ( ■ ♦ т Г

 

 

 

Т х - Т 0 = 2

(« + - г ) «

 

cos

 

7 ^

 

Т(±Ь,1) = Тх

 

 

Г(х,

0) = Г0;

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тх — Т

« ( - г ) - ь ( - г )

 

о ... о

 

—р,-,«//*

Р/1 tg р» = A*/ft

Т х - Т 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

[ Р я + Х - +

( - Г - ) 2] cosp„

 

 

 

/1=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г ( , , 0 ) = Г 0; - ^

1

- - f l T x

- Г (-»)];

-

- g -

 

Цилиндр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7\ — Г

 

 

 

Jо (гсп)

 

оt

J о (R cn) — 0

Т х - Т 0

~

 

CnJ1

(RCn)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T(r,

0) = Т0;

 

Т (R,

/) =

7,1

 

 

То,

Т ( ± b , t) —

тх. Числа

у

кривых

— значения параметра a tjb2.

Рис. 9.6. Температурные

профили

при

нестационарном

режиме теплопроводности

в неограниченном

цилиндре:

 

 

 

 

т0\ 0) - Г0,

т{R,

О = тх. Числа

у кривых —

значения

параметра a t/R 2.

266

Рис. 9.7. Температурные

профили

при нестационарном режиме теплопроводности

в

сфере:

 

 

Т

(г. 0) = Г „ ; Т ( R , 0 = 7 , .

Числа у

кривых - значения параметра a t / R - .

Рис. 9.8. Температура в центре тел разной формы в сравниваемое время:

/

-

неограниченная пластина;

2

-

квадратный стержень; 3 -

неограниченный цилиндр-

4

_

куб; 5 — цилиндр с L —

D ;

6

— сфера.

4

Ан'

_7>

 

 

-

_2_

V

 

exo ( - а р * л

 

~

^

(Грп)

 

J - Z L

J

7 (

 

Г,о ~ Т г

 

«

Z

1

 

 

п )

А

V

,

I------------

 

 

 

 

 

 

 

»■=>

 

 

 

 

К

т )

+fl" J ; o № )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M o

H—

k

 

— 0

 

 

 

 

 

Т (г, 0) =

X

- к (

 

дТ

\

r=/? = h[T (/?) — Г21

 

Сфера

 

 

дг

)

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7\

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

 

 

V

 

(-1У

- s i n - ^

e~ani7l4IR1

 

 

 

Т 1

-

Т0

nR

2ш1

 

п

 

 

 

 

 

 

 

7?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/1=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

(r,

0) =

 

T0\

T (tf,

/) =, 7\

 

 

 

. T

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ( * x _ 1 ) 2

 

Tl -

=

 

_

 

/

exp (— ap 2 л _____________V

/e

!________

X

' • - r *

 

r

4 *

 

 

 

 

 

< [ « t « T ( ' T - ' ) ]

 

 

 

X Sin (PP„) Sin (/-p,,);

tfp„ ctg (Я0,,) +

R

к

— 1 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

oT

\

Г=Я=

 

 

 

 

 

 

 

T ( r ,

0) = 7V, -Л

( ^ r )

Л [Г (/?) -

r x]

 

На рис. 9.5—9.8 показаны температурные профили при нестационарном

режиме

теплопроводности в телах простой геометрии. На рис. 9.8

X — толщина,

размер

грани или диаметр;

Т0 — начальная

температура; при t =

/0 температура внешней

поверхности

повышается до

Tv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.4. Отверждение или плавление листа из полимера (числовое решение методом конечных разностей)

В методе конечных разностей (МКР) дифференциальное уравне­ ние заменяется аппроксимирующими конечными разностями, а об­ ласть, в которой отыскивается решение, покрывается сеткой дискрет-

Рис. 9.9. Расположение узловых точек при ре­ шении одномерной задачи теплопроводности.

ных точек. В результате задача оты­ скания решения сводится к задаче ре­ шения системы алгебраических урав­ нений. Одновременное решение этих уравнений дает числовые значения зависимой переменной (т. е. темпера­ туры) для поля дискретных точек. По­ лучение только числовых значений для выбранных точек, хотя и более до­

стоверное по сравнению с непрерывной функцией, является главным неудобством МКР. При такой технике решения предполагается использование большого числа довольно простых вычислений, поэтому для этой цели наиболее подходят ЭВМ. Действительно, зна­ чительные успехи в области вычислительной техники привели также и к широкому применению метода конечных разностей.

МКР применяется для решения одномерных и многомерных задач теплопроводности как при стационарных, так и при нестационарных режимах. Не излагая математических основ этого метода [10—13], рассмотрим подробно решение задачи отверждения листа.

Пусть расплавленный полимер с начальной температурой Т0 помещен между двумя бесконечными пластинами, расстояние между которыми 26, а температура каждой пластины ниже температуры от­ верждения (или ниже Tg для аморфных полимеров и равна 7\). Исходное дифференциальное уравнение (9.3-1) для одномерного слу­ чая сводится к виду:

где для краткости СР записано как С. Начальные и граничные усло­ вия (система координат определена на рис. 9.9) будут следующими:

т(Л, 0) = То (9.4-2а)

(0, /) = 0

(9.4-26)

L Т(Ь, t ) = T x

 

(9.4-2в)

Следуя Дусинберру [13], применим уравнение (9.4-1) как к твер­ дой, так и к жидкой фазам. Пусть теплофизические свойства k, р и Ср являются функциями температуры. Внутри области отверждения значение скрытой теплоты отверждения 1 можно включить в удель­ ную теплоемкость:

где АТт соответствует области отверждения.

Этот способ представления данных будет приводить для кри­ сталлических полимеров к весьма резкому изменению Ср в области ДТт. Для аморфных полимеров, для которых не существует теплоты плавления, как это было показано в гл. 5, Ср изменяется непрерывно,

без резких изменений в зависимости от температуры. Толщина твер­ дого слоя как функция времени будет увеличиваться от стенки

внутрь расплава к точке, где

Тт = Тт +

0,5 ДТт.

 

форме,

Запишем уравнения (9.4-1) и (9.4-2) в

безразмерной

введя

следующие

безразмерные

 

переменные:

 

 

 

 

 

 

 

0 =

Т ~ Т Х

 

 

(9.4-4)

 

 

 

 

 

То-Т,

 

 

 

 

 

1 = х/Ь

(9.4-5)

 

т = а 0//62

 

(9.4-6)

 

 

k' = k/k0\ р' = р/р0;

С' = С/С0; а '

= а /а 0

 

(9.4-7)

где /г0,

р0, С0

и а 0 — теплофизические

свойства при

Т = Т0.

 

 

Результирующие уравнения

будут иметь

вид:

 

 

0 (5, 0) = 1

(9.4-9а)

- g |- (0,

т) =

0

(9.4-S6)

0(1, т) =

0

(9.4-9в)

Для перехода к конечно-разностной формулировке заменим не

прерывное

пространство

набором

узловых точек i, как

показано

на рис. 9.9, с i =

1 на

осевой линии

в начале координат

и i = /

на стенке (|

= 1). Расстояние между узлами обозначим Д£. Прежде

чем продолжить формулирование задачи для решения методом конеч­ ных разностей, рассмотрим применение этого метода для сходной задачи, но без фазового перехода и с неизмененными теплофизи­

ческими свойствами. Для этого

случая уравнение (9.4-8) сводится

к виду:

д-0

 

(90

(9.4-10)

дт

~ dg-

 

Первый шаг к применению МКР состоит в замене производных разностями. Это может быть сделано или методами физической аппрок­ симации (путем составления теплового баланса для небольшого элемента пространства вокруг узловой точки), или математически. Используя последний подход, разложим в ряд Тейлора непрерыв­ ную функцию Т (х) в окрестностях точки х, + Дх/2 (Дх — простран­ ственное приращение от координаты хг, где температура равна Th до Xj+1, где температура равна Ti+1):

dT

A

x __ 1_

d2T

Ti+l Ti-fl/2 + dx

j+1/2 2

2

dx2

(9.4-11)

Член Q [(Ал:)3] объединяет оставшиеся члены порядка (Ах)9. Температура в точке х, может быть легко определена из выражения:

Т . = т.

dT

2

 

d2T

 

( - ^ - ) 2— Q l(A x)»|+ ...

(9.4-12)

i+ \j2 ~ ~ dx |t J_I/2

+

2

dx2

i +

1/2

 

 

It f 1

 

 

 

 

Вычитая

уравнение (9.4-12)

из (9.4-11), получим:

 

 

 

 

 

dT

г +1/2 Ax + QUAx)*]

 

 

Ti/+1‘ - T t = - dX

(9.4-13)

или

dT_

L 1/2

Tjjfi 7*1

+ Q[(A*)SJ

(9.4-14)

dx

Ax

 

 

Аналогично вторая производная от Т (х) может быть получена разложением этой функции в окрестности Xi и сохранением Ti+

И T,.v

 

dT

д ,

1

d2T

1

d3~T

, (Ах)3 + Q [(Ах)4] (9.4-15)

Ti+1= Ti + ■dx

,• Аа: +

т

dx2 t

6

dx3

 

dT

,

1

d2T

1

d3T

 

= T i

dx

, Ах +

2

dx2 i

 

 

 

Складывая уравнения (9.4-15) и (9.4-16), получим требуемое

выражение для второй

производной:

 

 

d3T

! - 2 T i+ Т,i+l

■Q[(Ax)<

(9.4-17)

dx2

(A*)2

 

 

Перепишем правую часть уравнения (9.4-10), вводя обозначения конечных разностей с помощью уравнения (9.4-17) и опуская член

Q [(Ах)4]:

е,.! - 26; + ef+1

 

dQi _

(9.4-18)

dx

(А£)2

 

Это дифференциальное уравнение с обычными производными применимо ко всем внутренним узлам (1 < i < /). Таким образом, дифференциальное уравнение в частных производных преобразовано в систему дифференциальных уравнений в обыкновенных производ­ ных. Граничные условия автоматически учтены при записи членов уравнения (9.4-18), для которых i = 1 и i = / — 1. При этом необходимо знать 90, которое из граничного условия (9.4-96) равно 02. Следовательно, получим:

d01

1

 

<9-4-19)

“ЗГ = 7 а1Р~(202 ~ 201)

Но из граничного условия (9.4-9в) 0/ =

0, значит

 

% L = w

( 0^ -

20/-i)

(9-4-2°)

Поэтому имеем / — 1 дифференциальных уравнений для / — 1 зна­ чений неизвестной температуры в узлах.

Так как точное аналитическое решение большого числа обыкно­ венных дифференциальных уравнений, даже если они линейны, представляет значительные трудности и едва ли возможно, если уравнения нелинейны, то должны быть использованы приближен­ ные методы решения. Метод конечных разностей позволяет решить эту задачу. Решение задачи нестационарного режима теплопере­

дачи

это, по существу, выбор начальных значений температуры.

Иначе

говоря, если известна температура 0; в некотором узле i

для момента времени т, то определяется температура 0* того же узла I, но для времени т -f- Дт, где Ат— произвольно принятое при-

270

ращение времени. Простейший путь оценить температуру для вре­

мени т +

Дт состоит в подсчете

пппимплилг

 

д-1”

 

мени к моменту т и экстраполяции послелуттйТеМПе^аТ^ Ы П°

В^С'

МсНИ.

 

J

н““идяции последующего изменения во вре-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9" “ е‘ + (

d$i

Ат

 

 

 

 

 

 

 

 

л )

 

 

(9.4-21)

Подстановкой уравнения (9.4-21) в

(9.4-18) и

(9.4-20) получи М

следующий

набор

алгебраических

уравнений:

 

 

 

 

 

 

0Г = 0, +

Дт

1202 — 20,1

 

 

 

 

 

 

 

 

(Д|)2

 

 

 

 

 

 

6? ~~ 02 + 7 ^ "

[01-

202 + 0з1

 

(9.4-22)

 

 

 

е7_1 — е/_ , + -щго- [0/__2 — 20/_, ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эти уравнения

для

удобства

записи могут

быть

переписаны

в матричной форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А0

 

е*

 

 

 

(9.4-23)

здесь А — матрица коэффициентов,

0

вектор-столбец матрицы

илос^тгнл

1ш -

ператур, а

0* — вектор-столбец матрицы

искомых

температур,

известных

тем-

определяемых

соответственно

как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'1 -2 р

2Р

 

 

 

 

\

 

 

 

 

А =

Р

О — 2 Р)

Р

 

 

(9.4-24)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

/

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

( 1 — 2р ) '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ат

 

ао А/

 

 

(9.4-25)

 

 

 

 

№ 2

(Ах)2

 

 

Выражения для

0 и 0* имеют

вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

01

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 :

02

 

0* -

0?

 

 

(9.4-26)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о;-!

 

 

 

 

Матрицу А называют тридиагональной матрицей, потому что ненулевыми компонентами являются только три компоненты вдоль главной диагонали. Вектор-столбец матрицы «новых» температур для времени т + Дт есть произведение тридиагональной матрицы А на вектор-столбец матрицы «старых» (известных) температур для времени т. По правилам умножения матрицы на вектор получим следующий набор алгебраических уравнений:

(1 — 2 р ) 0, + 2р0 . ,^ 0 * рв, ( 1 - 2 р ) 0 , - | - р 0 а =и0«