2785.Теоретические основы переработки полимеров
..pdfканале. Заметим, что в обеих формулах использован угол у поверхности цилиндра 0 Ь.
Сравнивая этот случай течения с ранее рассмотренным простым течением между параллельными пластинами, отметим два важных различия. Во-первых, течение в направлении г вдоль канала яв ляется двумерным [т. е. vz = vz (х,у)], во-вторых, поверхность ци
линдра имеет составляющую скорости в направлении х, которая приведет к циркуляционному течению в поперечном направлении.
Основные допущения для решения задачи течения в данном случае остаются теми же, что и для течения между параллельными пласти нами. При этих допущениях три составляющие уравнения движения
в прямоугольных координатах, определенных на рис. 10.13, све дутся к виду:
х -составляющая
/ |
dvx |
, |
dvx \ |
— |
|
(1 / d*v* |
, |
d-vx \ |
|
(10.3-11) |
||||
p ( Vx-dZ +Vl/d f ) = |
дх + |
|
||||||||||||
|
• |
^ дхг |
+ |
|
) |
|
||||||||
у -составляющая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
/ |
dvv |
. |
dv„ \ |
= - |
|
+ |
Л |
- ^ + * 2 й Л |
|
(10.3-12) |
||||
9 \ Vx дх |
+ v « ~ d f ) |
ду |
/ |
|||||||||||
|
|
* \ |
дх2 |
+ |
ду‘ |
|
||||||||
z-составляющая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
/ |
dv2 |
. |
dv, |
N |
|
+ |
u ( dlv> 4- |
|
\ |
(10.3-13) |
||||
9Vх дх |
+ |
"*' ду |
) - |
дг |
ду2 |
|||||||||
,' |
+ |
** V |
дх2 |
|
) |
|
||||||||
где р — плотность |
расплава. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этих уравнениях составляющие скорости не являются функ циями от г, поскольку течение считается полностью установив шимся. Если допустить, что течение в направлении поперек канала также полностью установившееся (допустимая аппроксимация для
неглубоких каналов), то d v j d x , d v j d x и d v j d x |
равны |
нулю. |
Из |
уравнения неразрывности получаем, что d v j d y =* 0 , а с учетом |
глу |
||
бины канала v y * 0 . Кроме того, уравнение |
(10.3-12) |
сведется |
к дР/ду “= 0, что приводит к тому, что давление Р будет функцией
только х и z. Следовательно, уравнение (10.3-11) примет вид:
В уравнении (10.3-13) в левой части содержатся инерционные члены, которые в случае медленного движения вязкой жидкости будут много меньше членов в правой части, представляющих силы вязкости. В типичном случае течения в экструдерах отношение сил инерции к силам вязкости имеет порядок 10-5 [ЗЬ ]. Таким образом, уравнение (10.3-13) сведется к виду:
Из уравнения (10.3-14) очевидно, что правая часть является функцией только у, тогда как левая есть функция х и г. Поскольку
каждая часть не зависит от переменных в другой, обе постоянны. Поэтому уравнение (10.3-14) может быть проинтегрировано:
U. |
(10.3-16) |
Значение констант Ci и Сг определяют из граничных условий:
и, (0) = 0; г-., (//) = - Vbs |
(10.3-17) |
Подстановка граничных условий в уравнение (10.3-16) приводит к виду:
_Н1_ |
дР_ |
(10.3-18) |
Ux = — £ г а - 1) 2цУьг |
дх |
|
где их = vx/Vbx; I —' У/ff-
Для поперечного потока в канале существует еще дополнительное требование нулевой производительности при условии, что потоком утечек через гребень пренебрегаем. Математическое выражение этого условия имеет вид:
1 |
|
]«*«/£= о |
(10.3-19) |
о
Подставляя уравнение (10.3-18) в (10.3-19), после интегрирования получаем:
дР |
с„ Р вх |
Rli |
nNDb sin Oft |
Л? = |
“ |
~ 6!' |
( 10. 3- 20) |
------- m ------ |
Это уравнение определяет градиент давления поперек канала. Заметим, что этот градиент пропорционален N и D b и обратно
пропорционален квадрату глубины канала. Подставляя (10.3-20) в (10.3-18), получим окончательно профиль скоростей поперек ка нала:
их = 5 ( 2 - 3 |) |
(10.3-21) |
В соответствии с профилем скоростей (рис. 10.14), который, разу меется, имеет такой вид только на некотором расстоянии от стенок, расплав циркулирует вокруг стоячего слоя, расположенного на рас
стоянии двух третей высоты канала. Профиль скоростей вдоль канала полу
чается из решения уравнения в частных
производных (10.3-15). Можно |
показать |
|||
[ЗЬ], |
что градиент |
давления |
дР/дг |
яв |
ляется |
величиной |
постоянной |
(хотя |
Р |
Рис. 10.14. Профиль скоростей расплава поперек ка нала, рассчитанный по уравнению (10.3-21). По оси абсцисс отложена приведенная скорость попе
рек канала, по оси ординат — приведенная глубина
канала.
Рис. 10.18. |
Траектория частицы жидкости |
в канале |
|
червяка для |
значении Qp/Qd, |
равных: |
|
а — 0 ; б — м и н у с 0 , 5 ; в — м и н у с |
1 , 0 . |
|
|
Сплошные линии — след частицы в верхней |
части ка |
нала (при £ = 0,9), пунктирные линии — след той же частицы после ее перехода в нижнюю часть канала Отп
I = 0,35). |
|
v F |
ного канала |
малой глубины. Анализ |
был |
выполнен на |
основании ньютоновской |
изо |
термической модели. Такой анализ удовле творителен для качественного понимания ме ханизма движения и создания давления, а
также для грубых полуколичественных оценок производительности экструдера.
Этой цели удовлетворяет уравнение (10.3-32). Однако если тре буются надежные данные для конструирования, необходимо изба виться от длинного ряда упрощающих допущений, что приведет к более сложному решению. Конечным результатом будет модель для неизотермического течения неньютоновской жидкости в реаль ном винтовом канале с учетом потока утечек через гребень, позволя ющая проводить расчеты для изменяющихся граничных условий. На сегодняшний день нет полного и удовлетворительного решения проблемы, хотя в этом направлении проводились многочисленные исследовательские работы. В основном используются два подхода, которые во многих случаях дополняют друг друга. Одной из первых
попыток |
решить проблемы фактического |
течения по возможности |
точно был подход, развитый Гриффитом |
[7], Колвеллом и Никол |
|
сом [8 ], |
Пирсоном [9], Замодитсом [10] |
и др. |
Этот путь неизбежно ведет к числовым решениям. Другим под ходом является идеализация системы и попытка количественно оценить влияние каждой отдельной переменной. Например, влияние кривизны канала на производительность может быть оценено путем уподобления тангенциального потока потоку в прямоугольном ка нале. Это легко может быть сделано для изотермического течения степенной жидкости [3, 1 1 ] — отдельно для вынужденного течения и потока под давлением. Результаты могут быть включены в уравне ние для производительности (10.3-32) через поправочные коэффи циенты, учитывающие влияние кривизны [Зе]. Аналогичные попра вочные коэффициенты были получены для учета других важных эффектов, не отраженных в простой модели.
Мы вернемся к моделированию экструзии в разд. 12.1 и 12.2, используя только что полученные результаты; там мы^ рассмотрим с инженерных позиций одночервячный пластикационный экструдер.
10.4. Создание давления за счет сил вязкого трения (течение между непараллельными плоскостями)
В этом разделе рассматривается еще один случай относительного движения двух непараллельных плоскостей. Такое движение лежит в основе некоторых технологических методов, таких, как промазка
Чтобы получить профиль давлений, проинтегрируем это уравнение: z
|
Р ~ Ро + |
6[хVо J — |
j j i ----- dz |
(10.4-4) |
|
|
|
где Р (0) = |
Р0- |
|
|
Для постоянного уклона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПО.4-5) |
|
где £ = |
Я/Ях и |
= Яо/Я,. |
|
|
Интегрирование уравнения |
(10.4-4) дает: |
|
|||
Р = Ро + |
6pLK0 |
|
C o - g ____ g _ |
(10.4-6) |
|
Я0ЯХ |
U £ o - l ) |
VoHo £ Ч ? о - 1 ) J |
|||
Здесь q — расход на |
единицу ширины, равный |
|
|||
|
|
q ^ l - V o H * |
|
(10.4-7) |
Следовательно, распределение давления зависит от нескольких переменных: размеров канала (Я0, Н х и L), технологических условий (К0 и q) и физических свойств (р). Максимальное давление, которое
реализуется при £ = 1 (z = L) |
и закрытом выходе (q = |
0), равно: |
|
Ршах |
Ро + |
бр/.Vo |
(10.4-8} |
|
|
~ н Ж |
|
Очевидно, что если давления на входе и выходе равны, то на профиле давления есть максимум. Местоположение точки максимального давления определяется по величине Я* = 2 # 0/(1 + £0). Полученный результат демонстрирует различие в картинах течения между параллельными и непараллельными пластинами. В первом случае равенство входного и выходного давлений исключает нагне тание расплава и весь расход обусловлен вынужденным течением, а во втором случае на профиле давления существует максимум. Этот механизм создания давления является основой гидродинами ческой теории смазки.
Подобно созданию теории одночервячного экструдера, основан ной на модели течения между параллельными пластинами, можно проанализировать многие процессы, в которых используется гео метрия непараллельных пластин. Примерами таких машин являются вальцы и каландры. Более того, эти устройства с валками, враща ющимися навстречу друг другу, можно превратить в экструдер с увеличенной подающей способностью, так как обе поверхности
движутся параллельно друг другу.
Другое направление применения концепции создания давления при течении между непараллельными пластинами было предложено Вестовером [1 2 ], который разработал «экструдер со скользящей подушкой» (рис. 10.21). Этот тип экструдера представляет собой