1505

Коэффициенты и свободные члены системы:

ются через проекции вектора UD и угол δ , которые входят в исходные данные:

Коэффициенты сохраняют свои значения и вычисляются из (3.40). Решая систему, найдем относительные скорости SD1, SC1. Входящие

в уравнение (3.43) величины UCx 1, UCy 1 найдем дифференцированием уравнения (3.41):

3.2.15. Решение задачи об ускорениях группы 25

Исходные данные:

а) переменные (вход) – пятая строка табл. 3.3;

61

б) постоянные – те же. Дифференцируем (3.43):

SD 2 UDx + 2SD1 UDx 1 + SDUDx 2 + SC 2 UCx +

(3.45)

+2SC 1 UCx 1 + SC UCx 2 = X B0 2 − X D0 2,

SD 2 UDy + 2SD1 UDy 1 + SDUDy 2 + SC 2 UCy +

+2SC 1 UCy 1 + SC UCy 2 = YB0 2 −YD0 2.

Выделим свободные члены системы (3.45):

b1 = X B0 2 − X D0 2 − 2SD1 UDx 1− SD UDx 2 − 2SC 1 UCx 1− SC UCx 2 ,

b2 = YB0 2 − YD0 2 − 2SD1 UDy 1− SD UDy 2 − 2SC 1 UCy 1− SC UCy 2. (3.46)

Коэффициенты вычисляются из (3.40). При решении системы найдем относительные ускорения SD2, SC2. Входящие в (3.45) UCx 2 , UCy 2 вели-

чины найдем дифференцированием (3.44):

UCx 2 = UDx 2 cos δ − UDy 2 sinδ ; UCy 2 = UDy 2 cos δ + UDx 2 sinδ .

3.3. Кинематика начального звена

Рассмотрим два типа начальных звеньев (рис. 3.2). Звеном первого типа будем задавать вход во вращательную кинематическую пару какойлибо группы, а звеном второго типа – в поступательную пару. При вращении начальных звеньев будем получать выходные параметры, к которым отнесем координаты точки Н звена, первые и вторые производные от этих координат для звена первого типа и проекции единичного вектора U , их первые и вторые производные для звена второго типа. Сведем исходные данные для начальных звеньев и выходные параметры в таблицы (3.5, 3.6).

3.3.1.Решение задач кинематики начального звена первого типа

Сучетом рис. 3.2 и табл. 3.5 найдем координаты точки Н:

62

Проекции ускорения:

3.3.2. Решение задач кинематики начального звена второго типа

Используя выражения (3.47), (3.48), (3.49), приняв XA = 0; YA = 0; l = 1:

3.4. Кинематика двух вспомогательных задач

Используя принцип наслоения групп Ассура, можно получить механизмы любой сложности. Для получения входов в наслаиваемые группы применим две вспомогательные задачи (рис. 3.3). С помощью вспомогательной задачи первого типа будем получать входы во вращательные кинематические пары, вспомогательной задачи второго типа – в поступательные пары. Пунктиром на рис. 3.3 показаны либо ось звена, либо ось поступательной пары. Применяя вспомогательную задачу первого типа к какому-либо звену уже рассчитанной группы, будем получать выходные параметры, к которым относим координаты точки Н, первые и вторые производные от координат. Вспомогательной задачей второго типа будем получать проекции единичного вектора U оси присоединяемой поступательной пары, их первые и вторые производные. Сведем исходные данные и выходные параметры вспомогательных задач в таблицы (3.7, 3.8).

63

Таблица 3.8 Выходные параметры вспомогательных задач

3.4.1. Решение задач кинематики для вспомогательной задачи первого типа

Учитывая данные табл. 3.7 и рис. 3.3, найдем проекции отрезка а на оси X0Y0:

В выражении (3.53–3.58) ϕ , ω ,ε – угол наклона к оси X0, угловая ско-

рость и угловое ускорение того звена, к которому присоединяется вращательной кинематической парой наслаиваемая группа.

3.4.2. Решение задач кинематики для вспомогательной задачи второго типа

Используем выражение (3.53–3.58), приняв XА = 0; YА = 0; а = 1. Тогда проекции единичного вектора U таковы:

65

3.5.Определение координаты, проекций скоростей

иускорений центров масс звеньев

Положения центров масс звеньев группы задаем отрезками аi,аk и уг-

66

Угловая скорость оси внешней поступательной кинематической пары

D (см. рис. 3.4, 2-й тип):

Эта скорость должна быть задана или предварительно вычислена. Проекции ускорения точки Sk:

и должно быть задано или предварительно вычислено.

3.6. Функция положения и ее производные

Рассмотрим рис. 3.5, на котором изображен механизм шарнирного четырехзвенника, состоящий из начального звена 1, структурной группы 2-го класса первого вида BCD и стойки 4. Обобщенной координатой механизма является угол φi. Различают функцию положения звена и функцию положения точки. Функцией положения звена называется за-

67

висимость вида ϕ 3 = ϕ 3 (ϕ 1 ) , заданная аналитически, графически или

в табличной форме. Функцию положения точки представим в проекциях на оси координат:

Дважды продифференцируем функцию положения звена по времени. Поскольку сама обобщенная координата является функцией времени,

то получим

Производная от функции положения звена по обобщенной координате называется первой передаточной функцией, или аналогом угловой скорости (безразмерная величина). Вторая производная от функций положений по обобщенной координате называется второй передаточной функцией, или аналогом углового ускорения (безразмерная величина). В (3.74) ω i и ε i – обобщенные угловая скорость и угловое ускорение.

Продифференцируем функцию положения точки:

В (3.78) первые и вторые производные от координат точки по обобщенной координате называются проекциями аналогов скоростей и ускорений точки. Если принять обобщенную ω 1= 1 (безразмерная величина)

и ε 1 = 0 , то из выражений (3.77) и (3.78) видно, что истинные скорости и ускорения будут совпадать с их аналогами.

Рис. 3.5. К определению понятия функции положения точки и звена

68

3.6.1. Пример кинематического расчета механизма строгального станка

Проведем кинематический расчет механизма строгального станка (рис. 3.6). Механизм состоит из начального звена, структурной группы 23 и группы 25.

Рис. 3.6. Механизм строгального станка

Угловую скорость начального звена примем равной единице (безразмерная величина), угловое ускорение примем равным нулю.

69

Расчетные формулы:

Изменяя обобщенную координату от 0 до 360° с шагом, равным 30°, сведем выходные параметры начального звена в таблицу.

2. Кинематика группы 23.

Решение задачи о положениях. Из схемы группы (рис. 3.8) видно, что

70