РАСЧЕТ УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК ОДНОНАПРАВЛЕННОГО ВОЛОКНИСТОГО КОМПОЗИТА МЕТОДОМ СЕЧЕНИИ

Таким образом, полученные аналитические соотношения (6)—(17) позволяют рассчитать все компоненты матрицы жесткости и, следова­ тельно, упругие характеристики единичного элемента композита. В табл. 1 приведены расчетные значения СгГматрицы жесткости для стек­ лопластика и углепластика при коэффициенте армирования [х=0,5.

Метод сечений приводит к девяти различным упругим характеристи­ кам однонаправленного композита. В то же время в силу симметрии еди­ ничного элемента для него должны выполняться следующие соотноше­ ния: С22 = Сзз, Ci2 = Ci3, С55 = Сбб. Метод сечений не обеспечивает автома­ тического выполнения этих равенств. Это объясняется тем, что для

метода сечений направления 2 и 3 не эквивалентны и нарушается сим­ метрия задачи.

2. Реальный материал является трансверсально изотропным в силу хаотичности расположения его единичных элементов, что не учитывается в принятой постановке задачи. Учет хаотичности ориентации единичных элементов в объеме композита произведем путем усреднения их упругих характеристик, используя подход Рейсса и Фойгта [6], который сводится

к усреднению компонентов матрицы жесткости ||Cjj|| или податливости ||а1;||, обратной матрице ||С,-,||:

2Л

С и — 2л I Cij(<p)d<p; (15)

где ф — угол в плоскости, перпендикулярной направлению армирования. Получим следующие значения усредненных упругих характеристик:

Матрицы ||Сг,|| и ||a,j|| уже не являются взаимно-обратными. Находя мат­ рицу llotjlh1, получим нижнюю границу значений компонентов матрицы жесткости, тогда как значения Сц будут являться их верхней границей [6]. Эта неопределенность значений упругих характеристик материала обусловлена усреднением компонентов матриц ||Ctj|| и ||а^|| изложенным

методом.

Зависимости технических упругих постоянных однонаправленного стеклопластика от коэффициента армирования показаны на рис. 2. Там же приведены результаты работы [7] и экспериментальные данные [2].

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1982, № 6, с. 977—982

УДК 620.1.001:678.01

К. В. Исаев

ОНЕКОТОРЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ АСПЕКТАХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЯЗКОУПРУГИХ

ХАРАКТЕРИСТИК ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ

При определении вязкоупругих характеристик полимерных материа­ лов в широких диапазонах времени, температуры, гидростатического давления, уровней деформации и т. д. непосредственно измеряемые в эксперименте величины представляются таблицами, содержащими ты­ сячи, а иногда десятки тысяч чисел. Сжатие такого рода информации производится на основе параметризованной математической модели ин­ терпретации экспериментальных данных, аппроксимирующей резуль­ таты эксперимента. Характерным примером модели может служить опи­ сание связи напряжение—деформация интегральным уравнением типа Больцмана—Вольтерры с функцией влияния, определенной с точностью до подлежащих оценке (по результатам экспериментов) параметров [1].

Возможности распространения (экстраполяции) экспериментальных данных на законы нагружения (деформирования), температуры, вре­ мена и т. д., которые непосредственно в эксперименте не воспроизводи­ лись, существенным образом зависят от степени физической обоснован­ ности модели интерпретации, а также от полноты учета в ней тех или иных факторов, влияющих на механическое поведение материала. Пред­ ложенные к настоящему времени модели, по-видимому, нельзя считать в должной мере физически обоснованными. Однако даже в этих слу­ чаях достаточно простая модель, рассматриваемая л'ишь как удачно най­ денное средство «сжатия» экспериментальной информации, если она в пределах точности эксперимента полностью описывает эксперименталь­ ные данные и в то же время существенно облегчает решение основан­ ных на ней задач, может иметь большое прикладное значение. Сущест­ венным для успешного применения подобных моделей является не только число ее свободных параметров (оцениваемых по экспериментальным данным), но также ее структура. Так, в случае линейных по параметрам моделей [2] даже при большом числе оцениваемых параметров проце­ дура обработки экспериментальных данных существенно упрощается и становится статистически хорошо обоснованной [3]; появляется возмож­ ность вычисления точностных характеристик оцениваемых параметров и, следовательно, прогнозируемых на их основе процессов изменения напряженно-деформируемого состояния материала.

Важным является вопрос об информационной согласованности выбранной модели интерпретации со способом получения эксперимен­ тальных данных. Примеры плохой согласованности приведены в [1, 4] — одни и те же экспериментальные данные одинаково хорошо описыва­ ются при различных значительно отличающихся друг от друга совокуп­ ностях параметров модели. (Говоря утрированно, ситуация здесь напоминает попытки провести через одну точку единственную прямую или через две точки — единственную квадратичную параболу.) Ясно, что экстраполяционные возможности оцифрованной таким образом мо­ дели крайне ограничены. Ясно также, что в этих случаях требуется либо упрощение модели, либо привлечение дополнительной эксперименталь­ ной информации.

Ниже будем предполагать, что структура модели задана (с точно­ стью до свободных параметров) априори.

Постановка задачи оптимального тестирования Матёриала. По-вй- димому, одна из самых эффективных возможностей согласования экс­ периментальных данных с выбранной моделью состоит в выборе тести­ рующего процесса нагружения (деформирования) испытываемого об­

котором ограниченном интервале времени. Другими словами, наблюда­ ется отклик объекта исследования на ступенчатое изменение входного воздействия. Интуитивно ясно, что, используя отклик объекта на том же интервале времени [0, (т. е. без увеличения временных затрат на экс­ перимент) на входное воздействие более сложной формы и в большей степени соответствующее выбранной модели, можно получать значи­ тельно более точные оценки ее параметров.

Весьма широким классом знаков нагружения, удобных в реализации, является класс кусочно-постоянных на фиксированных интервалах вре­ мени ограниченных по амплитуде процессов. Поэтому ниже ограни­ чимся рассмотрением тестирующих процессов нагружения а(/), имею­

щих вид

ш

m — фиксированное целое число; At=t\/m (t\ — заданное время наблю­ дения) ; Pi — произвольные коэффициенты, которые без потери общности можно считать удовлетворяющими ограничению

Различные процессы из рассматриваемого класса полностью задаются последовательностями р= {рь р2, ..., рт }.

Задачу выбора последовательности р будем рассматривать для ли­ нейной по параметрам модели, связывающей деформацию s(t) с напря­ жением a(t):

с* — «-вектор оцениваемых параметров; «т» — символ транспонирова­ ния. Обобщение на случай нелинейных по параметрам моделей будет рассмотрено ниже.

Ошибки измерения деформации будем представлять аддитивным бе­ лым шумом v(t) (случайным процессом с нулевым средним значением и ковариационной функцией gb{t—т), где g — интенсивность шума v(t),

б(-) — дельта-функция Дирака), т. е. будем считать наблюдаемым про­ цесс

е(0 =е(() + о(/).

В тех случаях, когда шум измерения v(t) нельзя считать белым, можно применить метод «выбеливания» [6], состоящий в умножении соотноше­ ния (4) на линейный оператор Gt, такой, чтобы процесс Gt[v(т)] в пре­ делах исследуемого диапазона частот можно было бы считать белым шумом. В силу линейности оператора Gt свойство линейности по пара­ метрам полученной таким способом модели при этом не нарушается.

Статистически оптимальная (т. е. состоятельная Н эффективная) по результатам наблюдения процесса e(f) на интервале времени [0,£i] оценка с вектора параметров с* в классе линейных по ё (0. несмещенных

оценок является оценкой метода наименьших квадратов [7] и определя­ ется формулами

где z(t)z==Bt[o(т)] — вектор выходов базисных операторов модели (4). В случае гауссовского белого шума v{t) оценка (5) является также оценкой максимального правдоподобия. Матрица Му полностью опреде­ ляемая в соответствии с (6) тестирующим законом нагружения, назы­ вается обычно информационной матрицей Фишера. Обратная к ней мат­ рица М~х с точностью до сомножителя g, равного интенсивности шума измерения v(t)y совпадает с дисперсионной матрицей оценки (5) век­ тора параметров с* [7], и, следовательно, широкий класс критериев оп­ тимальности тестирующего процесса o(t), носящих по существу инфор­ мационный характер, может быть записан в виде условия максимума некоторой функции 1{М) матрицы М:

Определив функцию /(М) и ограничиваясь рассмотрением процессов на­ гружения вида (1), (2), приходим к задаче определения последователь­ ности {pi, р2, Pm}, удовлетворяющей (7) при ограничении (3).

Рассмотренная задача напоминает задачу планирования регрессион­ ных экспериментов [7]. Существенным, однако, здесь является следую­ щее отличие: в классической теории планирования экспериментов рассматривается статический объект (базисные операторы В*[«] явля­ ются функциями); в нашем случае экспериментальный объект — дина­ мическая система, и речь идет об ее оптимальном тестировании. Это от­ личие приводит в конечном итоге к различию в методах решения этих задач. Эффективный метод решения задачи оптимального тестирования разработан в [8—11].

Переход к нелинейным по параметрам моделям производится так же, как в теории планирования экспериментов: вначале с помощью так на­ зываемого «затравочного» эксперимента или каким-либо иным способом грубо оцениваются параметры модели интерпретации, затем модель ли­ неаризуется в окрестности этой оценки по приращениям параметров, и, наконец, производится планирование тестирующего процесса для линеа­ ризованной модели. Последовательность линеаризация модели—плани­ рование тест-сигнала—эксперимент—оценивание параметров может по­ вторяться несколько раз до получения необходимой точности оценок, определяемой по последнему значению информационной матрицы [7].

Критерии оптимального тестирования. Применяемые при планирова­ нии статических экспериментов критерии [7] полностью могут быть при­ менены и в рассматриваемом нами случае. В частности, это относится

где |Л4| — определитель матрицы М. Этим критерием, по-видимому, следует пользоваться в случаях отсутствия какой-либо информации о классе задач, в которых предполагается использовать эксперименталь­ ные данные — оценки вектора параметров с.

Противоположный случай приводит к критерию, предполагающему знание класса А законов нагружения (деформирования), на который распространяются экспериментальные данные. Для определенности бу­ дем считать этот класс заданным параметрически, т. е. определим Сово­ купность процессов нагружения o{tyа), где а — в общем случае вектор­ ный параметр, принадлежащий заданной фиксированной области Q.

6. Пугачев В. С., Казаков И. Е., Евлаков Л. Г. Основы статистической теории автоматических систем. М., 1974. 400 с.

7.Федоров В. В. Теория оптимального эксперимента. М., 1971. 312 с.

8.Исаев К. В. О текущем планировании ограниченного по амплитуде тестирУ10'

№1596—80 от 24.04.80.

10.Исаев К. В. Эксперименты с применением аналоговой самонастраивающейся

модели и их последовательное планирование. — Изв. Сев.-Кавказ. науч. центра высш. школы. Техн. науки, 1979, № 3, с. 3—7.

И. Исаев К. В. Об активной идентификации одного класса динамических объек­