428

а

б

в

г

Рис. 2. Распределение концентрации диоксида углерода (г/м3)

в плоскости y = 0,5 м после 1,0 с (а), 1,25 с (б), 1,5 с (в) и 1,75 с (г)

81

На рис. 2 показаны распределения концентрации загрязняющего вещества в плоскости y = 0,5 м после 1, 1,25, 1,5 и 1,75 секунд после начала рассматриваемого процесса. Приведенные на рисунке распределения концентраций показывают, что за счет силы тяжести относительно тяжелая примесь диоксида углерода опускается вниз, нарушая симметричное первоначальное распределение загрязняющего вещества в составе отработанных газов автомобильного транспорта.

Получено численное решение задачи о переносе и рассеянии в трехмерной области тяжелого газа, эмитируемого подвижным точечным источником (на примере диоксида углерода). Для интегрирования системы уравнений Эйлера использован модифицированный вариант метод Давыдова (метода крупных частиц), учитывающий плавучесть газа с помощью приближения Буссинеска. Вычислительный эксперимент позволил определить поля скорости, плотности, концентрации, давления и удельной внутренней энергии для каждого момента времени рассматриваемого процесса. Распределение концентраций показывает опускание относительно тяжелой газовой примеси под действием силы тяжести.

Библиографический список

1.Давыдов Ю.М. Дифференциальные приближения и представления разностных схем. – М.: Изд-во МФТИ, 1981. – 131 с.

2.Пирумов У.Г. Обратная задача теории сопла. – М.: Машино-

строение, 1988. – 237 с.

3.Численный эксперимент в теории РДТТ / А.М. Липанов [и др.] – Екатеринбург: Наука, 1994. – 301 с.

4.Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. – Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. – 228 с.

5.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Нау-

ка, 1980. – 536 с.

6.Кучер Н.А. Некоторые замечания о схемах расщепления для уравнений газовой динамики, используемых в методе «крупных час-

тиц» // Вычисл. технол. – 2006. – № 11. – С. 94–108.

7.Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. – Л.: Судостроение, 1979. – 264 с.

8.Роуч П. Вычислительная гидродинамика. – М.: Мир, 1980. –

616 с.

82

9.Флетчер К. Вычислительные методы в механике жидкостей:

в2 т. – М.: Мир, 1991. – 1056 с.

10.Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксима-

ция. – М.: Мир, 1986. – 318 с.

11.Бреббия К, Телес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элемен-

тов. – М.: Мир, 1987. – 524 с.

12.Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. – М.: Мир, 1987. – 328 с.

13.Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. – Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1986. – 296 с.

14.Давыдов Ю.М. Численное исследование течения со струями, направленными навстречу потоку // Тр. ВВИА им. Н.Е. Жуковского. – 1971. – Вып. 1301. – С. 70–82.

15.Давыдов Ю.М. Образование зоны повышенной концентрации частиц при сфокусированном вдуве в двухфазной среде // Докл. АН

СССР. – 1990. – Т. 315, № 4. – C. 813–815.

16.Давыдов Ю.М., Нигматулин Р.И. Расчет внешнего обтекания затупленных тел гетерогенным потоком газа с каплями или частицами //

Докл. АН СССР. – 1981. – Т. 259, № 1. – С. 57–60.

17.Численное исследование актуальных проблем машиностроения и механики сплошных и сыпучих сред методом крупных частиц:

в5 т. / Ю.М. Давыдов [и др.]; под. ред. Ю. М. Давыдова; Национальная академия прикладных наук. – М., 1995. – 1658 с.

18.Давыдов Ю.М. Аэродинамика, гидроупругость и устойчивость полета парашютных систем / НАПН РФ, НИИ парашютострое-

ния. – М., 2001. – 306 с.

19.Галактионов А.Ю. Численное моделирование пространственного взаимодействия боковой струи со сверхзвуковым потоком // Ракетнокосмическая техника: фундаментальные и прикладные проблемы: тр. 2-й Междунар. науч. конф. – М.: Изд-во МГТУ, 2005. – Ч. 1. – С. 183.

20.Simutations of starting gas jets at low Mach numbers / I. Iglesias [et al.] // Phys. Fluids. – 2005. – Vol. 17, No. 3. – P. 038105/1–038105/4.

21.Мордвинцев Г.Г. Численное исследование структур течения, возникающих в процессе взаимодействия блочных струй с прилегающей поверхностью при их истечении в вакуум // Космонавт. и раке-

тостр. – 2007. – № 1. – С. 80–85.

83

22.Азарова О.А., Колесниченко Ю.Ф. Воздействие тонкого разреженного канала на сверхзвуковое обтекание цилиндрического тела

сполостью // Математическое моделирование. – 2008. – Т. 20, № 4. –

С. 27–39.

23.Боровиков С.H., Иванов И.Э., Крюков И.А. Моделирование пространственных течений идеального газа с использованием тетраэдрических сеток // Математическое моделирование. – 2006. – Т. 18,

№ 8. – С. 37–48.

24.Дмитриев О.А., Лебо И.Г. Расчеты трехмерных вихревых сверхзвуковых течений многокомпонентных газов на параллельном суперкомпьютере МВС-15000 // 55-я научно-техническая конференция МИРЭА: Физико-математические науки. – М., 2006. – Ч 2. – С. 14–18.

25.Tai Chang-Hsien, Teng Jyh-Tong, Lo Shi-Wei, Liu Chia-Wei. A three-dimensional numerical investigation into the interaction of blast waves with bomb shelters // JSME Int. J. В. – 2005. – Vol. 48, No. 4. – P. 820–829.

26.Левин В.А., Георгиевский П.Ю. Газодинамика передних отрывных течений в условиях локального энерговклада в набегающий на тело поток // Проблемы современной механики: к 85-летию со дня рождения академика Г.Г. Черного. – М.: Изд-во МГУ: Омега-Л, 2008. –

С. 222–239.

27.Гарифуллин А.Р. Пример сферически симметричного движения сжимаемой жидкости // Сиб. ж-л индустр. мат. – 2007. – Т. 10, № 2. –

С. 45–52.

28.Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. – М.: Наука, 1978. – 736 с.

29.Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. – 296 с.

30.Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. – М.: Наука, 1989. – 320 с.

31.Бояршинов М.Г., Балабанов Д.С. Вычислительное моделирование движения сжимаемой среды, генерируемой точечным источником // Вычислительная механика сплошных сред / Институт механики сплошных сред УрО РАН. – Пермь, 2010. – Т. 3, № 3. – С. 18–31.

32.Бояршинов М.Г. Модели переноса и рассеяния примесей в растительном массиве / Перм. гос. техн. ун-т. – Пермь, 2000. – 142 с.

Получено 10.11.2010

84

УДК 539.376

А.Н.Труфанов, И.Г. Наймушин

Пермский государственный технический университет

О МОДЕЛИ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ КВАРЦЕВЫХ СТЕКОЛ И КОНСТРУКЦИЙ ИЗ НИХ

Рассмотрено построение определяющих соотношений термомеханического поведения кварцевых стекол в условиях стеклования и размягчения двумя различными способами. Установлено, что оба подхода прогнозируют практически идентичные законы эволюции напряжений в кварцевом стержне в условиях стеклования. Показано применение одной из моделей для описания формирования полей напряжений и деформаций в сплошном круговом неоднородном кварцевом цилиндре (заготовке силового стержня анизотропного оптического волокна) в условиях охлаждения и нагрева.

Ключевые слова: кварцевые стекла, термомеханическая кривая, стеклование, релаксационный переход, численное моделирование, остаточные напряжения.

Введение

Основным материалом для изготовления различных типов оптических волокон является чистое кварцевое стекло и кварцевое стекло с добавлением легирующих элементов. Легирование малыми (0–10 %) добавками таких оксидов, как GeO2, B2O3, P2O5, существенно влияет на свойства кварцевого стекла: коэффициент линейного температурного расширения и зависимость вязкости от температуры (в частности, на температуру размягчения и стеклования).

Наиболее активно используется легированное кварцевое стекло в направлении специальных PM (polarization-maintaining) оптических волокон, в которых за счет конструктивно заложенной анизотропии степени легирования и соответственно свойств материала при охлаждении от температур выше температуры размягчения формируются поля остаточных напряжений. В свою очередь, напряженное состояние влияет на оптические характеристики материала, такие как показатель преломления, в частности двулучепреломление. На этом эффекте и основана работа PM оптических волокон, в которых конструктивные элементы подобраны и расположены таким образом, чтобы в светопроводящей жиле эффект двулучепреломления был максимальным. Существует большое количество вариантов исполнения оптических

85

PM волокон – bow-tie, elliptical, pseudo-rectangle, elliptical core bow-tie, panda, отличающихся между собой формой и расположением областей легированного стекла. Эти области называются SAP (stress applying part). В PM волокнах типа Panda использована SAP цилиндрической формы с изменяющейся по радиусу по определенному закону степенью легирования.

Одной из важных задач анализа напряженного состояния в конструкциях из легированных кварцевых стекол в применении к производству заготовок оптических волокон различного типа является задача определения остаточных напряжений при охлаждении от температур выше температуры размягчения до комнатной температуры. Так, например, в [1, 2] такая задача решена в термоупругой постановке. Также представляет интерес механическое поведение заготовки при последующем нагреве, в частности прогнозирование эволюции ее внешнего радиуса (габаритного размера).

В условиях когда степень легирования кварцевого стекла сильно неоднородна по объему, необходимо учитывать ее значительное влияние на свойства материала. Поэтому для анализа напряженного состояния в заготовках SAP для PMF типа Panda, степень легирования в которых задана определенной зависимостью от радиуса, мы выбрали аналогичный [1, 2] подход, в дополнение к которому нами использована модель термомеханического поведения, способная адекватно учитывать вклад в формирование полей остаточных напряжений релаксационных процессов и переходов (стеклования), возникающих при охлаждении заготовки.

Модель термомеханического поведения кварцевого стекла

вусловиях релаксационного перехода

Внастоящее время физико-механические свойства и константы чистого кварцевого стекла достаточно хорошо изучены и доступы в

литературе [3–5].

Модуль упругости растет от 6500 кг/мм2 при комнатной темпера-

туре до значений на 9–11% больших при T = 200 °С, при этом коэффициент Пуассона линейно изменяется от 0,17 до 0,2. Коэффициент температурного расширения чистого кварца мал (5 10–7 К-1) и примерно постоянен в области температур стеклообразного состояния. Напротив, зависимость вязкости от температуры существенна.

86

Наибольшее влияние на эволюцию напряженно-деформированн- ного состояния в кварцевых стеклах, как показывает предварительный расчет, оказывает температурная зависимость вязкости η (рис. 1). В работе [6] для её аппроксимации предложено уравнение Фогеля– Таммана–Фульгера

Рис 1. Температурная зависимость вязкости чистого кварца

Учитывая, что на протяжении всей технологической цепочки в заготовках и готовом кварцевом волокне происходят в основном температурные деформации, которые в связи с малостью коэффициента

линейного температурного расширения (ЛКТР) α ≈10−7 невелики, была принята гипотеза малых деформаций.

Водноосном случае несвязанная квазистатическая краевая задача

онапряженно-деформированном состоянии с учетом малости деформаций и несущественностью вклада массовых сил включает:

87

атакже граничные условия в перемещениях и напряжениях.

Вработе [7] в качестве определяющих соотношений использованы соотношения максвеловского типа

Для вывода определяющих соотношений воспользуемся схемой, предложенной в [6] с использованием функции распределения. Переход из вязкотекучего в стеклообразное состояние в данном случае описывается функцией распределения N (T ), которая представляет собой

относительную долю объемного содержания застеклованного материала в общем количестве материала. Тогда, предполагая, что для застеклованного материала справедлив упругий закон Гука, а для размягченного стекла – линейно вязкие соотношения, и используя смесевые соотношения, получим

Отметим, что при использовании данных соотношений необходимо знать интервал температур стеклования. Поскольку процесс стеклования описывается функцией распределения, вязкость удобно задавать кусочно-непрерывной функцией типа

Для подтверждения на качественном уровне адекватности построенных физических соотношений (6) при релаксационных переходах был численно смоделирован одноосный термомеханический эксперимент на кварцевом стержне, закрепленном с обоих концов:

88

Длясоотношений(6) былиспользованзаконраспределенияЛапласа:

где γL – показатель длины промежутка стеклования, Tg – температура

стеклования.

На первом этапе (рис. 2) образец охлаждается с постоянной скоростью от температуры, превышающей Tg . На втором этапе произво-

дится разгрузка стержня. На третьем этапе ненапряженный стержень, защемленный с обоих концов, равномерно с постоянной скоростью нагревается. Напряжение возрастает за счет температурного расширения до тех пор, пока температура не превысит температуру размягчения материала. При дальнейшем нагреве происходит резкий спад напряжений, что объясняется уменьшением характерных времен релаксации до величин, сопоставимых со временем проведения эксперимента за счет уменьшения вязкости.

Рис. 2. Термомеханическая кривая защемленного кварцевого образца при скорости охлаждения и нагрева

T& =10 °С/мин: – с использованием соотношений (4), -- с использованием соотношений (5)

89

При варьировании скорости охлаждения и нагрева было замечено, что температура стеклования меняет свои значения. Для скоростей

T& =1−20o С/мин получено семейство кривых (рис. 3). Обратим внимание на тот факт, что эти кривые квазипараллельны, и воспользуемся им для построения зависимости температуры размягчения от скорости охлаждения (рис. 4). Заметим, что при увеличении скорости охлаждения рост температуры стеклования замедляется.

Численное решение задачи термомеханики (3), (4), (6)–(8) будем производить пошаговым методом.

Рис. 3. Семейство термомеханических кривых защемленного кварцевого образца при скоростях охлаждения T& =1−20 °С/мин

Рис. 4. Зависимость температуры размягчения от скорости охлаждения T&

90