Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

428

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

4.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

				1+ s2 (t −τ)2					− s (t −τ)			0
	(G×τ−t )−1 = −s (t −τ)									1		0 ,		(8)
				0						0		1

I	(G×	) = 3 + s2			(t −τ)2 , I		3	(G×		) =1, θ(G×			) = 0 .	(9)
1	τ−t						3	τ−t			τ−t
С учетом (5)–(9) соотношение (2) конкретизируем в виде
				s2t	2 1+ s2t2				− st		0		(1−α(t ))+
Q(t )=µa g − 1			+			−st				1	0
Q(t )=µa g − 1			+	3		−st				1	0
				3		0				0	1

α(t )

(t −τ)

1+ s2 (t

−τ)2

+ ∫

−s (t −τ)

µкр g −

α(t )

s2τ2 1+ s

∫

µa

g − 1

−sτ

− s (t −τ)		0
− s (t −τ)		0
	1	0 dα(τ)+
	0
	0	1

− sτ	0		(10)
1	0	dα(τ).	(10)
0	1

Соотношения (10) – нелинейные физические соотношения для кристаллизующейся упругой среды, учитывающие конечные деформации материала, для случая простого сдвига.

Для линеаризации уравнения введем в рассмотрение промежуточную конфигурацию, близкую к текущей [5]. Близость конфигураций определяется равенством R = R0 +ε u , где u – вектор перемеще-

ния точки; ε – малый формальный параметр; R0 – радиус-вектор точ-

ки в промежуточной конфигурации, близкой к текущей; R – радиусвектор точки в текущей конфигурации. Связь радиус-векторов промежуточной и текущей конфигураций позволяет получить представления всех кинематических величин, определяющих (2), удерживая слагаемые, линейные относительно параметра ε:

G×t = G×t0 + 2εe* ,

(G×t )−1 = (G×t0 )−1 −2ε(G×t0 )−1 e* (G×t0 )−1 ,

I1 (G×t )= I1 (G×t0 )+ 2εI1 (e* ),

I3 (G×t )= I3 (G×t0 )+ I3 (G×t0 )(G×t0 )−T 2e* ,					(11)
I3−5 6 (G×t )= I3−5 6 (G×t0 )−			10 εI3−5 6 (G×t0 )(G×t0 )−T		e* ,
			6
θ(G×t )= θ(G×t0 )+		ε		εI3 (G×t0 )(G×t0 )−T e* ,
θ(G×t )= θ(G×t0 )+	I3	(G×t0 )		εI3 (G×t0 )(G×t0 )−T e* ,
	I3	(G×t0 )
где e = (h +hT )/ 2 , e* = FtT0 e Ft0		,	h = ( 0u)T , 0 – оператор Гамиль-

тона относительно промежуточной конфигурации, близкой к текущей. Подставляя соотношения (11) в (2) и также удерживая только линейные слагаемые относительно параметра ε, получаем линеаризованные определяющие соотношения, представленные в работе [6], в которые входят уже известные на текущий момент кинематические величины

в промежуточной конфигурации итензор малых деформаций e* .

Для рассматриваемого случая деформирования все необходимые тензорные и скалярные величины имеют вид

	0			0		0			1		)
	u = s(t −t	0	)	0		0 ,		G×	= s (t −t	0	)
0	0	0					0	t0 −t		0
	0			0			0		0
					0				s (t −t0 )
		2e = s (t −t0 )							0
					0				0

				0					s (t −t0 )
	2e* = s (t −t0 )							2s2 (t −t0 )t0
				0					0
				0					0
					I	3	(G×	) =1, θ(G× ) = 0 .
						3	t0		t0

s (t −t0 )

0 ,

С учетом полученных соотношений линеаризованные определяющие соотношения для случая простого сдвига имеют вид

	×	)
Q(t )= Q(t0 )− µa g −	I1 (Gt0	)	(G×t0 )−1	(α(t )−α(t0 ))+
Q(t )= Q(t0 )− µa g −	3		(G×t0 )−1	(α(t )−α(t0 ))+

)

+µa 2

(Gt0

(G×t0

)−1 e* (G×t0 )−1 − 32 I1 (e* )(G×t0 )−1

(1−α(t ))+

)

+ µkpg(α(t )−α(t0 ))+

α(t0 )

+ µкp ∫

(Gτ−t0

(G×τ−t0 )−1 e* (G×τ−t0 )−1 − 32 I1 (e* )(G×τ−t0 )−1

dα(τ)+

(G×t0

)

(G×t0 )

−1

2I1

−1

g −

(Gt0

)

(Gt0

)

(Gt0

)

−

(e )(Gt0

)

+ µa

(α(t )−α(t0 ))−1

Рассмотрим частный случай: материал подвергается простому сдвигу, находясь в аморфном состоянии при температуре выше температуры фазового превращения ( α(t )= 0 ).

Тогда получаем нелинеаризованные и линеаризованные определяющие соотношения в виде

Q(t )= µa			s2t2 1+ s2t2		− st	0
	g − 1	+		−st	1	0	,
	g − 1	+	3	−st	1	0	,
			3	0	0	1

	×	)
Q(t )= Q(t0 )+ µa 2	I1 (Gt0	)	(G×t0	)−1 e* (G×t0 )−1 −	32 I1 (e* )(G×t0 )−1	.
Q(t )= Q(t0 )+ µa 2	3		(G×t0	)−1 e* (G×t0 )−1 −	32 I1 (e* )(G×t0 )−1	.

Одноосная деформация

(12)

(13)

Пусть растяжение происходит в направлении оси Ox . Компоненты вектора перемещений и радиус-векторы произвольной точки тела в начальной и текущей конфигурации имеют вид

ux = stx , uy = 0 , uz = 0 , r = xi + yj+ zk ,

R = (stx + x)i + yj+ zk .

Аналогичным случаю простого сдвига образом получаем все величины, входящие в исходные соотношения.

												1				0		0

				(1+ st ) 2 0		0					(1+ st )				2
				(1+ st ) 2 0		0					(1+ st )
	G×t	=		0	1	0 , (G×t )−1 = 0									1			0 ,
				0	0						0				0			1
				0	0	1					0				0			1


		I (G×) =			(1+ st )2	+ 2 , I		3	(G×) =	(1+ st )2				, θ(G×) = st ,
		1		t				3	t							t
		1+ st 2			0								1	+ sτ 2			0
					0	0											0		0
Gτ−x		1	+ sτ		1	0	,		(G×τ−t )	−1	=		1	+ st			1		0	,
Gτ−x	t =	0			1	0	,		(G×τ−t )		=		0				1		0	,
		0			0	1							0				0		1

(G×

) =

1+ st 2

+ 2 ,

(G×

) =

1+ st 2

, θ(G×

) =

s(t −τ)

τ−t

1+ sτ

Нелинейные определяющие соотношения (2) для случая одноосного растяжения конкретизируем в виде

																	1				0	0

								(1+ st )2								(1+st)			2
Q(t )= µa (1+ st )			−5 3			−		(1+ st )2				+		2		(1+st)					1	0			−α(t ))+
Q(t )= µa (1+ st )					g	−					3				0						1	0	(1		−α(t ))+
											3				0						0	1


									1				0					0

							(1+ st )				2
							(1+ st )					1						0		(1	−α(t ))+
		+Ba st				0						1						0		(1	−α(t ))+
						0						0						1


									1	+ st			2				1+ sτ 2
α(t )				−5 3					1	+ st				+ 2							0		0
α(t )		1+ st		−5 3						+ sτ				+ 2				1+ st			0		0
+ ∫		1+ st							1	+ sτ								1+ st
	µкр				g −												0				1		0	dα(τ)+
	µкр				g −						3						0				1		0	dα(τ)+
0		1+ sτ									3						0				0		1

α(t )

+ ∫

				1+ sτ 2

Bкр	s(t −τ)			1+ st
			0
	1	+ sτ	0
	1	+ sτ	0

0 dα(τ)+

						1	2
						1	0	0
α(t )			(1+ sτ)2	+ 2

	−5 3					1+ sτ	1	0
+ ∫ µa (1+ sτ)		g −	3		0		1	0	dα(τ)+
0			3		0		0	1

			1	2
α(t )				0
α(t )				0
+ ∫			1 + sτ	1
+ ∫	Ba sτ	0		1
0		0		0

0 d α (τ). (14)

Линеаризуя соотношения (14) также для частного случая (материал подвергается одноосному растяжению, находясь в аморфном состоянии при температуре выше температуры фазового превращения ( α(t )= 0 )), получаем нелинеаризованные и линеаризованные опреде-

ляющие соотношения в виде

										1			0	0

					(1	+ st )2			(1	+st)		2
Q(t )=µa (1+ st )	−5 3				(1	+ st )2		+ 2	(1	+st)		1		0	+
Q(t )=µa (1+ st )		g −				3			0			1		0	+
						3			0			0		1


					1			0		0

				(1+st)			2
				(1+st)
+ Ba st			0					1		0	;
			0					0		1

)

Q(t )= Q(t0 ) −µa

10 I3−5/6 (G×t0 )(G×t0 )−T

ea* g

−

I1 (Gt0

(G×t0

)−1

)

+µa I3−5/6 (G×t0 )

I1 (Gt0

(G×t0 )−1 ea* (G×t0 )−1 −

32 I1 (ea* )(G×t0 )−1

I3 (Gt0

)(Gt0 )

−T

(Gt0

)

−1

− 2θ(Gt0

)(Gt0

)

−1

(Gt0

)

−1

+Ba

I3 (G×t0 )

где

			1+ st		2
			1+ st		0	0
			1+ st				s(t −t		) (1+st	)
			1+ st				s(t −t		) (1+st	)
G×t0	−t =	0		0	1	0	, e* =(h+hT )/2= 0	0	0
		0			0	1	0

I3 (G×t0 ) = (1+ st0 )2 , θ(G×t ) = st0 .

0	0
0		,
0	0	,
0	0

На примере рассмотренных процессов деформирования для частного случая (материал является полностью аморфным) показано (рис. 2, 6), что в случае малых деформаций (скорость деформирования s = 0,001) напряжения, полученные в рамках теории конечных деформаций с использованием линеаризованных определяющих соотношений, практически совпадают с напряжениями, полученными в рамках теории малых деформаций. На рис. 3, 4, 7, 8 приведено сопоставление результатов расчета, полученных в рамках теории конечных деформаций с использованием линеаризованных и нелинеаризованных определяющих соотношений. Рис. 5 и 9 иллюстрируют сходимость результатов, полученных с использованием линеаризованных соотношений, с увеличением количества шагов по времени к точному решению. Все

расчеты проведены для модуля продольной упругости E =108 Н/м2, коэффициента Пуассона ν = 0,3.

Qxy , Н/м2

t,c

Рис. 2. Зависимость компоненты тензора напряжений Qxy для аморфного полимера от времени: s = 0,001;

1 – в рамках теории больших деформаций с использованием линеаризованных определяющих соотношений;

2 – в рамках теории малых деформаций

Q xy , Н/м2

1	2

t,c

Рис. 3. Зависимость компоненты тензора напряжений Qxy для аморфного полимера от времени: s = 0,01;

1 – в рамках теории больших деформаций с использованием нелинеаризованных определяющих соотношений;

2 – в рамках теории больших деформаций с использованием линеаризованных определяющих соотношений

Q xy , Н/м2

t, c

Рис. 4. Зависимость компоненты тензора напряжений Qxy для аморфного полимера от времени: s = 0,1;

1 – в рамках теории больших деформаций с использованием нелинеаризованных определяющих соотношений;

2 – в рамках теории больших деформаций с использованием линеаризованных определяющих соотношений

Q xy , Н/м2

1 2

Рис. 5. Зависимость компоненты тензора напряжений Qxy для аморфного полимера от количества шагов по времени на момент времени: t = 100 c, s = 0,1;

1 – в рамках теории больших деформаций с использованием нелинеаризованных определяющих соотношений;

2 – в рамках теории больших деформаций с использованием линеаризованных определяющих соотношений

Q xx , Н/м2

t, c

Рис. 6. Зависимость компоненты тензора напряжений Qxx для аморфного полимера от времени: s = 0,001;

1 – в рамках теории больших деформаций с использованием линеаризованных определяющих соотношений;

2 – в рамках теории малых деформаций

Q xx , Н/м2

t, c

Рис. 7. Зависимость компоненты тензора напряжений Qxx для аморфного полимера от времени: s = 0,001;

1 – в рамках теории больших деформаций с использованием линеаризованных определяющих соотношений;

2 – в рамках теории больших деформаций с использованием нелинеаризованных определяющих соотношений

Qxx , Н/м2

t, c

Рис. 8. Зависимость компоненты тензора напряжений Qxx для аморфного полимера от времени: s = 0,1;

1 – в рамках теории больших деформаций с использованием линеаризованных определяющих соотношений;

2 – в рамках теории больших деформаций с использованием нелинеаризованных определяющих соотношений

Q xx , Н/м2

N/10

Рис. 9. Зависимость компоненты тензора напряжений Qxx для аморфного полимера от количества шагов по времени N на момент времени t = 100 c, s = 0,1; 1 – в рамках теории больших деформаций с использованием линеаризованных определяющих соотношений; 2 – в рамках теории больших деформаций с использованием нелинеаризованных определяющих соотношений

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20221.53 Mб1407.pdf
#
15.11.2022275.26 Кб041.pdf
#
15.11.20221.57 Mб0415.pdf
#
15.11.2022275.57 Кб042.pdf
#
15.11.20221.62 Mб1425.pdf
#
15.11.20224.58 Mб1428.pdf
#
15.11.20221.64 Mб2429.pdf
#
15.11.2022275.76 Кб043.pdf
#
15.11.20221.72 Mб2437.pdf
#
15.11.2022275.94 Кб044.pdf
#
15.11.20221.73 Mб2441.pdf