428

где µ1, k1 – сдвиговой и объемный модули, характеризующие упругие свойства полимера в высокоэластическом состоянии; µ2, k2 – сдвиговой и объемный модули, характеризующие упругие свойства, обусловленные межмолекулярным взаимодействием полимерной сетки; eij – компоненты девиатора тензора деформации; εkk – относительная объ-

емная деформация; eij , εkk – соответствующие тензорные величины,

которые на феноменологическом уровне характеризуют эволюцию межмолекулярного взаимодействия; T0 – температура окружающей среды; αT – коэффициент линейного температурного расширения аморфной фазы.

Для тензорных величинeij , εkk были сформулированы кинетические уравнения в аррениусовской форме:

где Ua, Ub – величины, характеризующие энергию активации сегментарной подвижности полимерной сетки за счет физических связей межмолекулярного взаимодействия; Tk(T) – энергетическая температура; Aa, Ab – экспоненциальные сомножители, характеризующие величину, обратно пропорциональную характерному времени перехода межмолекулярных связей в равновесное состояние.

Путем численных экспериментов было установлено, что предложенная система определяющих и кинетических уравнений описывает характерные особенности термомеханического поведения аморфных полимеров. Для некоторого модельного аморфного полимерного материала рассмотрены однородные напряженно-деформированные состояния для нескольких историй силового и кинематического нагружения в температурном диапазоне, включающем интервал стеклования.

51

На рис. 1 представлены результаты численного эксперимента по моделированию эффекта памяти формы. Результаты представлены в относительных величинах.

0,15.015

0,01.

0,005.

Рис. 1. Результаты численного эксперимента по моделированию эффекта памяти формы

Начальное недеформированное состояние образца – это состояние 1. Силовое нагружение образца производилось при температуре ниже температуры стеклования (T/Tg<1) до значения σx = 0,3 и выдерживалось постоянным до момента времени t = t1. При этом температура сначала повышалась до значения T >Tg, а затем снижалась до первоначального значения. В момент времени t = t1 силовая нагрузка снималась, но в образце появлялись остаточные деформации. Это – состояние 2. C момента времени t = t2 задается новый цикл изменения температуры до T >Tg и обратно. Образец возвращается в исходное состояние 1.

52

а– графики изменения заданного значения напряжения; б – графики отклика;

в– графики изменения заданного значения напряжения от деформации

Результаты численного моделирования силового изотермического деформирования при температуре ниже температуры стеклования приведены на рис. 2. На рис. 2, а представлены графики изменения заданного значения напряжения, а на рис. 2, б – графики отклика (деформации εx) на соответствующее силовое воздействие. Результаты демонстрируют появление эффектов вынужденной высокоэластичности и обратной ползучести. При низких значениях максимальных напряжений материал ведет себя упруго. При определенном уровне максимальных напряжений материал проявляет повышенную деформируемость, в образце появляются остаточные деформации, а при дальнейшем увеличении максимальных напряжений в разгруженном образце наблюдается эффект обратной ползучести – уменьшение величины остаточных деформаций во времени.

53

Проведенные численные эксперименты позволили разработать программы экспериментального исследования термомеханического поведения аморфного полимера (ПММА) для определения материальных констант, входящих в определяющие и кинетические уравнения. Для определения модулей µ1 и µ2 а также энергии активации предлагается использовать результаты испытания образцов на установке DMA 242. Для определения остальных констант предлагается использовать результаты исследования при различных программах температурновременного нагружения на универсальной испытательной машине Zwik.

Библиографический список

1.Varghese A.G., Batra R.C. Constitutive equations for thermomechanical deformations of glassy polymers // Internation J. of Solids and Structures. – 46 (2009). – 4079–4094.

2.Wool R.P. Tvinkling fractal theory of the glass transition // J. of Polymer Sci. Part B: Polymer Phisics. – 46 (2008). – 2765–2778.

3.A thermo-mechanically coupled large-deformation theory for amorphouse polymers in a range which spans their glass transition / Vikas Srivastava [et al.] // Int. J. of Plasticity. – 26 (2010). – 1138–1182.

4.A new strain path to inducing phase transition in semi-crystalline polymers / E.N. Brown [et al.] // Polymer. – 48 (2007). – 2531–2536.

5.Thermomechanics of shape memory polymers: uniaxial experiments and constitutive modeling / Yipin Lui [et al.] // Int. J. of Plasticity. – 22 (2006). – 279–313.

6.Термомеханика полимерных материалов в условиях релаксационного перехода / В.П. Матвеенко [и др.]. – М.: Физматлит, 2009. – 176 с.

7.Слуцкер А.И., Поликарпов Ю.И., Васильева К.В. Определение энергии активации сложных релаксационных процессов // Физика твердого тела. – 2002. – Т. 44, вып. 2. – С. 1529–1555.

Получено 10.11.2010

54

УДК 539.376

Т.Г. Куликова

Пермский государственный технический университет

К ОПИСАНИЮ ДЕФОРМИРОВАНИЯ КРИСТАЛЛИЗУЮЩЕГОСЯ ПОЛИМЕРНОГО МАТЕРИАЛА С УЧЕТОМ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЙ

Предлагаются определяющие соотношения для кристаллизующегося упругого материала с учетом конечных деформаций. Рассматривается процедура линеаризации при решении краевых задач с большими деформациями, позволяющая ввести в рассмотрение температурные деформации и деформации структурной усадки материала. Работоспособность модели тестируется на задачах простого сдвига и одноосного деформирования.

Ключевые слова: кристаллизация, конечные деформации, линеаризация.

Технологический процесс по производству значительной части полимерных изделий и конструкций содержит этап охлаждения материала, сопровождающийся его кристаллизацией. Технологические и остаточные напряжения, формирующиеся в таких изделиях вследствие температурной и деформационной неоднородностей, могут приводить к снижению эксплуатационных качеств изделий и даже их разрушению еще на стадии изготовления. Поэтому актуальной становится проблема описания термомеханических процессов в полимерных материалах в условиях фазового перехода. Учитывая, что многие полимеры претерпевают существенную структурную усадку, связанную с переходом из одного фазового состояния в другое, определяющие соотношения для описания таких термомеханических процессов, по возможности, должны быть построены для случая больших деформаций.

Построению определяющих соотношений для кристаллизующихся сред посвящено достаточно большое количество работ. Ряд из них рассматривают кристаллизующуюся среду в каждой точке как двухкомпонентную смесь аморфной фазы и полностью закристаллизовавшегося продукта [1–3], не выделяя фронт кристаллизации, что характерно для большинства кристаллизующихся полимерных материалов. К настоящему времени предложены определяющие соотношения для кристаллизующейся среды, построенные для случая малых дефор-

55

где Wкрi =Wкр (G×ti −t )∆αi – доля потенциала, которую привносит в об-

щий потенциал часть кристаллической фазы, соответствующая приращению степени кристаллизации ∆αi в момент времени ti ; G×t = FT F –

тензор меры деформаций Коши-Грина [5], соответствующий деформированию от начального до текущего момента времени; F – градиент места из начальной конфигурации в текущую конфигурацию;

щий деформированию от момента времени ti до текущего момента вре-

мени; Fi – градиент места из конфигурации, в которой появилась доля кристаллической фазы ∆αi , в текущую конфигурацию; Wa (G×t ) – уп-

ругий потенциал аморфной фазы.

Учитывая, что G×ti −t = ft−i T G×t ft−i 1 [6], после осуществления пре-

дельного перехода в соотношении (1) по степени кристаллизации выражение для упругого потенциала можно записать в виде

W (G×t )= (1−α(t ))Wa (G×t )+ α∫(t )Wкр (fτ−T G×t fτ−1 )dα(τ),

0

где fτ – градиент места из начальной конфигурации в конфигурацию, соответствующую моменту времени τ.

Потенциал W (G×t ) позволяет получить определяющие соотно-

шения в виде

Q = J −1PII ,

G = det (Gij ) – определитель матрицы ковариантных компонент метри-

ческого тензора в текущей конфигурации; g = det (gij ) – определитель матрицы ковариантных компонент метрического тензора в начальной конфигурации g ; PII = 2∂W (G×t )/ ∂G×t – тензор Пиола–Кирхгофа 2-го рода.

57

в виде суперпозиции на каждом шаге тензора малых деформаций, тензоров температурных и усадочных деформаций. Проиллюстрируем определяющие соотношения (2) и возможность их линеаризации на примере некоторых случаев простого деформирования в декартовой системе координат.

Простой сдвиг

Пусть вектор перемещений точек тела определен составляющими ux = sty , uy = 0 , uz = 0 ,

где ui – компоненты вектора перемещений, s – скалярная величина, t – время, x, y, z – декартовы координаты.

Радиус-векторы произвольной точки тела в начальной и текущей конфигурации имеют вид

r = xi + yj+ zk ,

R = (sty + x)i + yj+ zk ,

где i, j,k – базисные векторы декартовой системы координат. Базисные векторы основных базисов начальной и текущей кон-

фигураций определяются следующим образом: r1 = i , r2 = j, r3 = k ;

R1 = i, R2 = sti + j, R3 = k .

Базис Ri определяет ковариантные компоненты метрического тензора в текущей конфигурации:

Контравариантные компоненты метрического тензора в текущей конфигурации, полученные по ковариантным компонентам, позволяют определить взаимный базис текущей конфигурации:

R1 = i − stj, R2 = j, R3 = k .

Взаимный базис начальной конфигурации совпадает с основным. Основной и взаимный базисы текущей конфигурации позволяют определить операторы Гамильтона относительно начальной и проме-

59