647
.pdfФедеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
“Пермский государственный технический университет” Кафедра информационных технологий и автоматизированных систем
Р.А. Файзрахманов, И.Н. Липатов
Решение задач по курсу
“ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ”
Учебное пособие
Пермь 2006
УДК 681.3 Ф 17
Рецензенты:
директор Государственного научно-исследовательского института управляющих машин и систем (ГосНИИУМС), д. э. н., профессор
Н.И. Артемов
Кафедра информационных технологий и автоматизированных систем Пермского государственного технического университета
Файзрахманов Р.А., Липатов И.Н.
Ф 17 Решение задач по курсу “Теоретические основы автоматизиро ванного управления [Текст]: учеб, пособие /Иерм. гос. техн. ун-т. - Пермь, 2006. - 84 с.
ISBN 5-93978-045-8
Изложены вопросы практического применения теоретических основ автоматизированного управления. Приводятся теоретические сведения, решения типовых задач и задачи для самостоятельного решения по основным разделам курса “Теоретические основы автоматизированного управления”.
Предназначено для студентов специальности 220200 “Авто матизированные системы обработки информации и управления” дневного и заочного обучения.
УДК 681.3
ISBN 5-93978-045-8
© Пермский государственный технический университет, 2006
Содержание |
|
Практическое занятие № 1. Определение математического ожи |
|
дания, дисперсии, корреляционной функции . |
4 |
Практическое занятие № 2. Определение вероятностных характе |
|
ристик интеграла от случайного процесса . |
8 |
Практическое занятие № 3. Определение вероятностных характе |
|
ристик производной от случайного процесса . |
10 |
Практическое занятие № 4. Определение спектральной плотности |
|
по корреляционной функции . |
12 |
Практическое занятие № 5. Определение дисперсии случайного |
|
процесса на выходе динамической системы |
14 |
Практическое занятие № 6. Формирующие фильтры |
19 |
Практическое занятие № 7. Цепи Маркова .. |
23 |
Практическое занятие № 8. Определение матрицы М среднего |
|
времени перехода к некоторому состоянию из других |
|
состояний. |
28 |
Практическое занятие № 9. Каноническое разложение случайного |
|
процесса. |
32 |
Практическое занятие № 10. Задача детерминированного линей |
|
ного оптимального управления. |
35 |
Практическое занятие №11. Стохастическое)линейное опти |
|
мальное регулирование с обратной связью по выходной пере |
|
менной . |
41 |
Практическое занятие № 12. Система массового обслуживания с |
|
ожиданием. |
48 |
Практическое занятие № 13. Статистическое упреждение (про |
|
гнозирование) |
60 |
Практическое занятие № 14. Методы теории информации . |
69 |
Практическое занятие № 15. Параметрическая идентификация |
|
линейных систем. |
77 |
Практическое занятие № 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ, ДИСПЕРСИИ, КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ
Теоретические сведения
Пусть ср (/) - неслучайная функция, X(t), Y(t) - независимые случай
ные функции.
Свойства математического ожидания:
1) л/[<р(0 ] = ф(0 -
2) М [ф(0 • ЛГ(0 ] = ф(0 • mx{t).
3) M [ X { t ) + Y(t)] = т х (0 + т у (/).
4 ) M [ X ( t ) - Y ( t ) } = m x ( t ) - m y (t).
Пусть ф (t) - неслучайная функция, X(t), У(0 7 независимые случай ные функции, тогда дисперсия случайной величины Х(():
D{X(t)} = M{[X(t) - m x(t)]2} = M [ X ( t ) f Свойства дисперсии:
1) £>[<р(0] = 0.
2) D [4> (0' X (г)] = <р2(() • D x (t).
3)£ > [*(()+ Г(Г)] = £>„(/)+ D „(/).
4)£>[-Г(/)] > 0 .
Пусть ф (t) - неслучайная функция, X(t) - случайная функция.
Корреляционной функцией называется математическое ожидание произведения значений случайной функции X(t) для двух моментов вре мени t\, t2:
K x{t{,t2) = M [X {ti) X ( t 2) \ = a\ |
°\хх x 2 f { x x, x 2,tx,l2)dxxdx2. |
|
|
—00 -00 |
|
Свойства корреляционной функции: |
|
|
1• |
K x(/j,t2) = Kx(t2,t{). |
|
Для стационарных процессов К х(т) = К х( - т), где X = tx —t2. |
||
2 . |
K x (t,t) = D x(t). |
|
3. |
Пусть 7 (0 = ф(0 • X (0, тогда К у {(х,t2) = ф(/,)• ср(t2)■ К X{tx,t2). |
|
4. Пусть 7 (/) = ф(0 + X (0, тогда |
К у (/, , t 2) = K x(/,, t2). |
|
5. Пусть Z ( t) = X (t) + Y(t), тогда
K z (/, ,l2) = K x(tx,t2) + K y (f, ,t2) + K xy(tx,t2) + K yx (/, ,t2).
6. Пусть Z(l) = a(t) - X ( t ) + b(t) Y(t), где a(t),b(t)~ неслучай ные функции,тогда
Кг(Л,t2) = a(tx)- a(t2) Kx(tl,t2) + b(tx) b(t2) - Ky(t],t2) +
+ a(t|) •b(t2) •Kxy{tx,t2) + b{tx) •a(t2) •Kyx(t],t2).
Решение типовых задач
Задача 1.1. Определить математическое ожидание произведения
двух функций: sin t • ea t , где СХ = const.
Решение. Используем первое свойство математического ожидания, так как обе функции неслучайные => A/[sin t • eat ] = sin t • еш
Задача 1.2. Определить математическое ожидания следующего выражения: cos(a • t) • ер' + sin(a • t) ■cos(P • 0, где a , p = const.
Решение. Сначала используем третье свойство математического ожи дания:
Л/[соз(а • /) • ерл + sin(a • /) • cos(P • /)] = A/[cos(a • t) • ep 1]+ A/[sin(a • /) • cos(p • /)]. Затем применим первое свойство математического ожидания
A/[cos(a • /) • ер/ ]+ M[sin(a • /) • cos(P • /)] = cos(a • t) • ерл + sin(a • t) • cos(P • t).
Задача 1.3. Определить дисперсию следующего выражения: cos(P • t) + sin(P • t) + 1 + 1. p = const
Решение. Используем первое свойство дисперсии, так как все четыре слагаемых данного выражения неслучайные функции:
£>[cos(P • /) 4- sin(P • /) +1+1] = 0.
Задача 1.4. Определить корреляционную функцию K_(t{,t2) •
Z{t) = sinO • t)X(t) + — L — Y(t).
COS(M»• t)
Решение. Используем сначала пятое, затем третье свойства корреля ционной функции:
Kz(tx,t2) = sin(w• /,)sin(w• t2)Kx((„h) + |
---- К- У" ----- |
- + |
|
COS(H'- /,) COS(>V |
/2) |
COs(W't2) } |
cos(w*/,) |
Задача 1.5. Определить корреляционную функцию K z ( t ^ t 2)
/ч . , Ч1, /Ч |
1 |
если X(t),Y(t)~ независимые. |
z(o = sm (w /m /)+ — г — |
у{о, |
|
|
cos(w •/) |
|
Решение. Используем третье свойство корреляционной функции:
А. у (t\ ,/2)
а;. (Г,,/2) = sin(W• ^ ) sin(w • /2) (7, , ) + — -— - - — - - - - - . cos(w-/,)cos(vy-/2)
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.6. Определить математическое ожидание произведения
двух функций cos(P |
где а, |
Р = const. |
Задача 1.7. Определить математическое ожидание выражения |
||
e"-cos(p-/) + — !— |
в*. гдесс’ V = consL |
|
|
sin(a • /) |
|
Задача 1.8. Определить математическое ожидание выражения
еа' • cos(P • 0 ■X(t), где a, р = const..
Задача 1.9. Определить математическое ожидание выражения
cos(P • t)X(l) +— - — Y(t), где a ' Р = consL sin(a • t)
Задача 1.10. Определить дисперсию выражения еа'‘ cos(p /), где a, Р = const.
Задача 1.11. Определить дисперсию выражения
ea/ cos(P • t)X(t), где а, |
Р = const. |
Задача 1.12. Определить дисперсию выражения |
|
(ea/ + cos(P • t) + 12 + 1)X(t), |
где a, p = const. |
Задача 1.13. Определить дисперсию выражения
ea 'X (/) + cos(p*/)7(/), где a, р = const.
Задача 1.14. Определить дисперсию выражения |
|
eatX (t) + cos(fi t)Y(t) + t 3, где a, |
р = const. |
Задача 1.15. Определить корреляционную функцию Kz(tut2)-
z(t) = sin(a • о — |
X(ty |
cos(J3 • t) |
|
Задача 1.16. Определить корреляционную функцию Kz(tut2)- z ( t) = sin(w • t)cos(w ■t)X (t).
Задача 1.17. Определить корреляционную функцию Kz(t],t2)- z(t) = sin (a • r)cos(P • t ) X (t) + eat + e p7
Задача 1.18. Определить корреляционную функцию K,(tx,t2) ■ z(l) = sin (a•^)cos(P •0 ^ ( 0 + ea, + е р,/ +1 + 1.
Задача 1.19. Определить корреляционную функцию K z {tx,tj) • z(t) - sin(w • t)X{t) + cos(w • t)Y(t).
Задача 1.20. Определить корреляционную функцию Kz(tx,t2)- z(t) = a - X(t) + b ■7 (0 , X, Y - стационарные процессы, т = t{- t 2.
Задача 1.21. Определить корреляционную функцию Kz(t]}t2) • z(t) = а • X(l) - b ■7(0, X Y - стационарные процессы, т = tx~t2.
Практическое занятие № 2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ИНТЕГРАЛА ОТ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Теоретические сведения
Пусть Y(t) = '\X(t)dt, где -Г(0,Г(/) - случайные процессы.
О
Тогда математическое ожидание
m y (t) = J т x(t)dt |
(2. 1) |
|
|
О |
|
Корреляционная функция этого процесса |
|
|
K y (tl, i 2) = ll ' j K x (t;,t'2)dt'ldt'2 |
(2.2) |
|
|
||
0 |
0 |
|
Дисперсия случайного процесса Y(t) • |
|
|
Dy (t) = Ky(t,t). |
(2.3) |
|
Решение типовых задач |
|
|
Задача 2.1. Случайный |
процесс задан следующим |
выражением: |
Y(t) =(sinwt +1)j А'{i)dx.
о
Определить математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию.
Решение. Для определения математического ожидания воспользуемся
выражением (2.1) и вторым свойством математического ожидания: t t t
my{t) = M[sin(wt + 1)^X(x)dx] = (sin wt + \)M[^X{x)dx] = (sin wt + \)^mx(x)dx.
о о 0
Для определения корреляционной функции воспользуемся выраже нием (2.2) и третьим свойством корреляционной функции:
к у(/| ,12) = <р(*|)ф('2Ж г('|Л ) = (sin IV/, + l)(sin wt2 + \)\\ Кх(хх,х2)(к^х2.
о о
Для определения дисперсии заданного случайного процесса восполь зуемся выражением (2.3) и вторым свойством дисперсии:
Dy{t) = Ф2 (t)Dx(/) = (sin wt + 1)2 J fKx(т,,x2 )dx, dx2.
00
Задача 2.2. Случайный процесс задан следующим выражением:
Y(t) = (eat + l)\X(x)dx + cos wt + 1. 0
Опередить математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию, если заданы
m^{t) = Р + 12 + f + \\ K K(f\,t2) = e-a'' •е-a/l
Решение. Для определения математического ожидания воспользуемся выражением (2.1), первым и вторым свойствами математическогоожидания:
ту(0 = М [(<?“' +1)J (тДт + cos |
+ 1] = (eat + 1)Л/[/ А"(т)^т] + cos wt +1 = |
о |
о |
= (еа‘ + 1)J/?7V(T)^T + coswr +1 = (ea/ + 1)J(т3 + т2 + т + \)dx + coswt +1 =
|
о |
' |
о |
/4 |
/3 |
t2 |
|
= (— + — \-— ь t)(eat + 1) + cos wt +1. |
|
||
4 |
3 |
2 |
|
Для определения корреляционной функции воспользуемся выраже нием (2.2) и третьим свойством корреляционной функции:
Ку{1х>11) = ^ Ш 2)Кг{1и11) = (еа1' + l)(ea,J +l)jl]e~ax'e~a,1dxldx2 =
|
00 |
= — (ea'>4-l)(ea'2+ 1)(1 - |
)(1 - e"*'2). |
a
Для определения дисперсии заданного случайного процесса восполь зуемся выражением (2.3) и вторым свойством дисперсии:
Д,(0 = Л (е"а' +1)2-0 - <га')2
Задачи для самостоятельного решения
Задача 2.3. Случайный процесс задан следующим выражением:
Г(0 =(sinwt +l)fЛГ(т)di + 3t2 + 2t +1. Определить математическое ожида-
|
о |
ние, корреляционную функцию и дисперсию. |
|
Задача |
2.4. Случайный процесс задан следующим выражением: |
ч ' , ч , |
Определить математическое ожидание, корреляционную |
Y(t) = \X{y)dx.
о
функцию и дисперсию, если заданы
mx(t) = t + 1; KxQv t2) = siriMtf, *sinw/2.
Задача 2.5. Случайный процесс X(t) имеет характеристики:
mx(t) = t2+ 2t + 1; Kx(t„t2) = Z V a('l+'2)-
Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дис персию случайного процесса д /)
Y(t) = ~ - \ X ( x ) d x + 312 + ea' г +1 о
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОИЗВОДНОЙ ОТ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Теоретические сведения
Пусть у(1) = ——~ где X(t)y Y(t) - случайные процессы. Тогда мате-
W |
dt |
|
|
|
|
матическое ожидание данного случайного процесса Y(t): |
(3.1) |
||||
|
т |
= |
dt |
||
|
r |
|
|
|
|
Корреляционная функция данного случайного процесса Y(t): |
(3.2) |
||||
|
|
d2Kx(tl,t1). |
|||
|
Ky{UJ2) = - |
dtxdt2 |
|
|
|
Если т = |
- t 2, то корреляционная функция: |
|
|
||
|
|
|
d2KJx). |
( |
. ) |
|
КЛх) = - |
dx2 |
|
3 3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Решение типовых задач Задача 3.1. Случайный процесс задан следующим выражением:
Y(t) =sin/ е~ы + cos/ + 1 Определить математическое ожидание это- dt
го процесса и корреляционную функцию.
Решение. Используя свойства математического ожидания и выраже ние (3.1), определим математическое ожидание заданного процесса:
my(t) - M[Y(t)\ - s i n + cos/ + l.
Используя свойства корреляционной функции и выражение (3.2), оп ределим корреляционную функцию:
/^v(/,,/2) = sin^ *sin/2 •e~at1-е~а1г — — — — .
' 1 2 |
2 |
dt}dt2 |
Задача 3.2. Случайный |
процесс |
задан следующим выражением: |
Y n _dX(t) Корреляционная функция определена как Кх(х) = Dxe~a^. Оп-
ределить корреляционную функцию заданного случайного процесса Y(t). Решение. Для т < 0 корреляционная функция имеет вид
d 2Kx{т) = - a2 Z> е° d\
Для т > 0 корреляционная функция имеет вид