647
.pdfМатрица передачи Калмана определяется соотношением
a(t,l) = P(t)R(t)N~] (t), |
(15.12) |
а матрица ковариаций ошибки фильтрации P(t) размера (и + я2) х (я + я2) удовлетворяет дифференциальному уравнению Риккати вида
d^ |
= F (t)P(t) + P(0F r (t)~ |
||
at |
|
(15.13) |
|
- P(t)RT |
|||
) + D(t)L{t)DT(/) |
|||
|
'0 |
0 |
|
|
P(t0) = о |
кA F . |
|
В результате совместного решения (15.11) - (15.13) определяется оп тимальная оценка вектора д ^ , содержащая как оцеьпси д д ф i = 1, 2,..., п
компонент вектора Д(/), так и оценки д/7у(/)5у = 1, 2, ..., л неизвестных
элементов матрицы AF Последние являются зависящими от переменной / - правого конца интервала наблюдения.
Искомая матрица параметров системы определяется в виде |
|
F(t) = F H(t) + AF(t). |
(15.14) |
Наряду со значениями оценок AF(/) параметров идентифицируемой
системы на диагонали матрицы P(t) содержатся дисперсии ошибок Eij(t) = AFjjit) - AFy определения всех искомых оценок, что позволяет
судить о точности решения поставленной задачи.
Важным преимуществом данного метода является возможность вы полнять идентификацию в реальном масштабе времени, т.е. в процессе функционирования идентифицируемой системы. К недостаткам его сле дует отнести необходимость априорной информации о матрицах номи нальных значений F*Xt) и корреляционной K&F) а также известная чувст вительность фильтров Калмана к ошибкам в априорной информации о входном сигнале.
Решение типовых задач
Задача 15.1. Идентифицируемый объект управления есть стационар ная линейная система 1-го порядка, описываемая дифференциальным уравнением
~ ~ = F A (O + v ( о ; M f o ) = 0 •
Постоянная времени Fecxb случайная величина с заданными матема
тическим ожиданием M[F\ = f H и дисперсией Dj■, F =//у + |
A F. Белый |
||
шум F(/) является |
стационарным с математическим |
ожиданием |
|
mJJ) = т0 = const |
и |
интенсивностью 1. На интервале [/0, t] измеряется |
|
непосредственно координата Л(/) с аддитивной ошибкой Ж(/): |
|
||
Помеха fV(t) - |
|
Д 0 = А(0 + W[0 - |
|
стационарный центрированный белый шум с извест |
|||
ной интенсивностью По требуется по результатам измерений уточнить фактическое значение
постоянной времени F, т.е. определить её оценку:
F = f H + AF
Решение. Из уравнения типа (15.6) определяем ’’номинальное" реше-
ние т £ (t) ■
f ^ |
= / (X ' ( 0 +i>V '» х ( ‘о) = 0 - |
at
Затем составляем линеаризованное уравнение типа (15.7)
~ 7 ~ = / я A(t) + AFmJ1 (t) + V(t)> A (f0) = 0,
которое в совокупности с уравнением
=AF(t0) = AF
dt
образует систему 2-го порядка.
Записываем её через расширенный вектор состояния и определяем уравнения для него
|
|
Л(0 ]; |
|
|
Л (0 = ЛF |
<Щ) |
/я |
1 |
dt |
О |
V{t) = F(t)h(t) + D(t)V(ty |
О |
||
M t 0) = |
О |
Х ( 0 = [1 0]Л (0 + W(t) = R(t)A(t) + W(t) ■ |
|
AF ’
Соотношения типа (15.11) —(15.13) определяют алгоритм обработки результатов наблюдений для получения оптимальной оценки вектора Л (о:
У(0 = л(0 "|;
d m |
fn |
К |
it) ’ Mo ~+ T |
w0 +a(t,t)-----1 |
dt |
0 |
0 |
A H 0. 0 |
|
Матрица передачи Калмана
a(t,t) = P{t)-[\ 0]- — • "о
Матрица ковариаций ошибки
1 |
Q| |
>>> |
W O
___1----1 JJ
/>(/) = |
Dm |
m |
m |
PQ 0) = |
Df |
||
|
|
D. |
(0 |
|
|
||
dP(j) |
fn |
mx (0 |
P(t) + P(t) ' /я |
-Pit) |
-[1 <>]/>(/)+ /[1 о]- |
||
dt |
|||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
||
Упрощение и совместное решение этих уравнений позволяет для любого / найти оценку AF(t) и тем самым уточнить искомую постоянную времени F.
Попутно определяется и дисперсия /)е (/) ошибки EAF(t)> а также оценка координаты А(/).
Задача для самостоятельного решения
Задача 15.2. Идентифицируемый объект управления есть стационарная линейная система 1-го порядка, описываемая уравнением
* Ш . А Х ( , ) + Г « > Х М = 0-
Постоянная времени А есть случайная величина с заданными математическим ожиданием М[А\ = ан и дисперсией Da, А = ан + А А. Белый шум V(t) является стационарным с математическим ожиданием
mo(/) = |
= const и интенсивностью т. На интервале (/0, t] измеряется |
|||
непосредственно |
координата X(t) |
с аддитивной |
ошибкой W(t): |
|
Z(t) =X(t) + W(t). |
|
|
|
|
Помеха |
W(t) |
- стационарный |
центрированный |
белый шум с |
известной интенсивностью т 0.
Требуется по результатам измерений уточнить фактическое значение постоянной времени А, т.е. определить её оценку:
/\ /V
А = а н + ДА •
Учебное издание
Файзрахманов Рустам Абубакирович Липатов Иван Николаевич
Решение задач по курсу “ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ”
Учебное пособие
Корректура, верстка Тощевиковой Н.Г.
ФГУ “Пермский центр научно-технической информации”
614990, Пермь, ГСП, ул. Попова, 9.
Подписано в печать 3.05.06 Формат 60x84 1/16. Бумага ВХИ. Уч.-изд. л. 4,1 Уел. п. л. 4,88. Тираж 100 экз. Заказ № 6
Отпечатано группой оперативной полиграфии Пермского ЦНТИ, 614990, Пермь, ГСП, ул. Попова, 9