647

(12.17)

=- Л р "

пп\\1

1- р

Среднее число простаивающих каналов обслуживания заявок опре­ деляется формулой

Рассмотрим еще один класс СМО - СМр замкнутого типа. Для замк­ нутых СМО характерно конечное число заявок, циркулирующих в систе­ ме “источник заявок - СМО” Параметры суммарного входного потока заявок СМО зависят от состояния самой СМО.

Примером замкнутой СМО может служить вычислительная система оперативной обработки с диалоговым режимом работы. Система опера­ тивной обработки содержит М терминалов Т}-Тм. за каждым из которых работает пользователь П, формирующий запросы на обслуживание заявки (рис. 12.2).

Обслуживание запросов выполняется совокупностью из п однотип­ ных ЭВМ (я < М ), рассматриваемых без детализации внутренней струк­ туры как каналы с длительностью обслуживания, распределенной по экс­ поненциальному закону с математическим ожиданием хоб Все ресурсы

некоторой ЭВМ (канала обслуживания) полностью монополизируются назначенной на обслуживание заявкой до конца ее обслуживания. Заявка,

заставшая все каналы занятыми, занимает место в очереди, число мест в которой г = М - п\ заявки считаются терпеливыми, т.е. попав в СМО, не­ пременно дождутся конца обслуживания.

Рис. 12.2

Формирование нового запроса пользователь начинает лишь после получения ответа на предыдущий запрос, причем время, необходимое пользователю для формирования очередного запроса, будем считать рас­

пределенным экспоненциально с математическим ожиданием Т , что по­ зволяет рассматривать пользователя как источник пуассоновского потока заявок с интенсивностью Х = \/Т

Построим граф состояний такой СМО (рис. 12.3).

Рис. 12.3

Возможные состояния системы будем связывать с числом пользова­ телей, ожидающих ответа на сделанные запросы, т.е. с числом заявок, находящихся на обслуживании и в очереди: х0 - в системе нет ни одной заявки, ЭВМ простаивают, все пользователи независимо друг от друга заняты подготовкой запросов, следовательно, интенсивность суммарного потока заявок, переводящего СМО в состояние х и равна M X ; х { - в систе­ ме одна заявка, обслуживанием которой занята одна ЭВМ, пославший запрос пользователь ждет ответа на свой запрос и не формирует новых запросов, следовательно, интенсивность потока перехода в состояние х2 равна (М-1) X, интенсивность потока переходов в состояние JC0 связана с интенсивностью суммарного потока обслуживаний, равной произведению числа занятых ЭВМ на интенсивность потока обслуживаний одной ЭВМ, т.е. 1 р, хп —в системе п заявок, все ЭВМ заняты обслуживанием за­ просов пользователей, очереди на обслуживание еще нет, интенсивность суммарного потока заявок равна (М-л)А., суммарного потока обслужива­ ний - п р ; хи.ц - в системе /7+1 заявка, все ЭВМ заняты, одна заявка стоит

в очереди на обслуживание, интенсивность суммарного потока заявок равна \М-(п+\)]\ = [М-(п+г)]\, где r= 1 - длина очереди, суммарный по­ ток обслуживаний имеет интенсивность яр ; хп+г - в системе п+г=М зая­ вок, т.е. все пользователи сформировали и ввели в систему запросы на обслуживание, я ЭВМ обслуживает я заявок, г=М-п заявок находится в очереди на обслуживание, интенсивность суммарного потока заявок равна нулю, так как все пользователи ждут ответа на свои запросы, интенсив­ ность суммарного потока обслуживания равна я р .

Предельные вероятности состояний:

'(M-i)\i\ 0

математическое ожидание числа занятых каналов:

ыV /=о )

Среднее время ожидания заявки в очереди

где еож - штраф за ожидание заявки в очереди.

Решение типовых задач

Задача 12.1. Определить число кладовщиков, распределяющих инст­ румент, оптимальное с точки зрения минимума потерь рабочего времени как у рабочих, так и у кладовщиков. Данные для решения:

л _ | ^ обращении _ интенсивность обращения рабочих к кладовщикам;

Лсд. времени

Ск = 3 ед. стоимости - стоимость 1 часа простоя одного кладовщика.

Решение. Пусть за смену за инструментом обратится Np рабочих. Ес­ ли каждый из них в среднем проведет в очереди время тож, то потери со­

ставят £р = Ср7/ртож[ед. стоимости] •

Если в течение смены каждый кладовщик будет время г пр ожидать

прихода рабочих, то потери составят SK=Склтпр[ед. стоимости] >где п -

число кладовщиков.

Суммарные потери S = S p + S K= С рN pT0X + Скптпр

Поскольку тож = /,(«)> тпр = / 2(и), то S = CpNpf ](n) +CKnf2(n)

является функцией от п. Следовательно, задача сводится к определению такого значения п, при котором величина S обращается в минимум. Таким

образом, задача сводится к поиску зависимости ож и т пр от п.

Организационно система раздачи инструмента построена таким обра­ зом, что имеется одно окно раздачи (общая очередь рабочих), которое обслуживается несколькими кладовщиками. Таким образом, имеем мо­ дель многоканальной СМО с ожиданием и с одной общей очередью. Чис­ ло мест в очереди не ограничено.

Переходим к числовым расчетам, связанным с определением опти­

р = - =_L*L ~ 1 76 > 1’ а это значит>что °Дин кладовщик не справляется с

ц0,91 ~

очередью и очередь увеличивается непрерывно в течение всей смены. Определим по формулам (12.14), (12.16), (12.17) т ож и f Для раз­

личных значений п. Для п = 2 имеем

Р = 1.76; —= - о 88 < 1;

п2

Для п = 3 имеем

Р = W76 = 0,58’

п3

Для п - 4 получим Р/п = 0,44; Р0 = 0,168; хож = 0,13 [мин]; г = 0,208 •

Если принять за единицу времени минуту, то в течение 8-часового рабочего дня количество рабочих, пришедших на пункт раздачи инстру­ мента, будет равно

N =\ Xdt =Xt = 1,6^Ращений8 ■60 = 768 ’

Н 0 м ин

Таким образом, число заявок в течение рабочего дня равно 768. Один кладовщик затрачивает на выполнение одной заявки в среднем время,

Для каждого из этих случаев вычислим время, потерянное рабочими из-за ожидания в очереди. Имеем

=Л^ож Для п = 2 имеем ти= 768 3,9 = 50 [час].

Для /7 = 3 получим т п = 768 0,26 - 3,32 [час].

Для п = 4 имеем т п = 768 0,13 = 1,66 [час].

Общая ежедневная стоимость времени, потерянного рабочими и кла­ довщиками

5 = Сртп + С кхпр = 6тп + Зхпр

Для п = 2 имеем S = 6 50 + 3 1,92 = 305,76. Для п = 3 получим 5 = 6 *3,32 + 3 • 9,92 = 49,68. Для « = 4 имеем S = 6 1,66 + 3 17,92 = 63,72. Следовательно, 5 достигает минимума при /7 = 3.

Таким образом, три кладовщика в данных условиях обеспечивают минимум потерь, связанных со случайным характером обслуживания ра­ бочих.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 12.2. Имеем СМО с ожиданием. Отсутствие ограничений на время пребывания заявки в системе и “бесконечное” число мест в очереди приводят к СМО без потерь. Число каналов СМО /7 = 2, интенсивность потока обслуживания одного канала ц = 20 с'1 Суммарный входящий поток заявок - пуассоновский с интенсивностью X = 30 с'1

Найти F Тож, Рк , k = 0,n + r, N0, to6, tc , К , \|/, Z , Е, если

ен= 10 ед/канал.

Задача 12.3. Рассмотрим вычислительную систему оперативной об­ работки с диалоговым режимом работы (см. рис. 12.2.). Число входящих в систему однотипных ЭВМ (каналов обслуживания) /7 = 2, быстродействие их процессоров В = 104опер/с, трудоемкость обработки запросов распре­ делена по экспоненциальному закону с математическим ожиданием О - 5-10s опер - Число пользователей М = 6 соответствует числу термина­

лов. Время, необходимое пользователю для формирования нового запроса и ввода его в систему, распределено по экспоненциальному закону с ма­ тематическим ожиданием Т = 100с. Значение штрафов еож = 1 усл.ед/с,

ен = 10 усл.ед/канал. Таким образом, мы имеем замкнутую многоканаль­ ную ^ СМО. Средняя длительность обслуживания Тоб = О/В = 5 105/ l 04 = 50 с. Интенсивность потока заявок от одного ис­

точника Х - \ / Т = 10 ~2 с~х Число мест в очереди г = М - п = 4. Приве­ денная интенсивность потока заявок р = А,/р, = А,тоб = 10~2 • 50 = 0,5 .

Определить Р., / = 0, п + г, ЛГ, Гож, lc

Задача 12.4. Ателье по ремонту различной радиоаппаратуры имеет п = 5 опытных мастеров. В среднем в течение рабочего дня от населения поступает в ремонт X, =10 радиоаппаратов. Общее число радиоаппара­ тов, находящихся в эксплуатации у населения, очень велико, и они неза­ висимо друг от друга в различное время выходят из строя. Поэтому есть все основания полагать, что поток заявок на ремонт аппаратуры является случайным, пуассоновским. В свою очередь, каждый аппарат в зависимо­ сти от характера неисправности также требует различного, случайного, времени на ремонт. Время на проведение ремонта зависит во многом от серьезности полученного повреждения, квалификации мастера и множе­ ства других причин. Пусть статистика показала, что в среднем в течение

Задача 12.5. Морской порт имеет п = 5 причалов для разгрузки сухо­ грузных судов. В среднем в течение месяца в порт прибывает с грузами около 20 судов большого тоннажа. Поступление судов в порт носит слу­ чайный характер, так как они выходят из различных портов и покрывают различные расстояния до пункта разгрузки. Кроме того, на скорость дви­ жения судов влияет погода. Проведенная статистика частоты прихода судов в порт показала, что поступающие на разгрузку суда образуют пу­ ассоновский поток. Время разгрузки каждого судна является также слу­ чайной величиной, которая зависит от тоннажа судов, особенности груза и многих других причин. В среднем в течение месяца разгружается 6 судов.

Найти г, т ож, Рк, к = 0, п + г, N 0, fo(5, t c, K ,\\i,Z, Е , если

ен= 15 усл.ед/канал.

Задача 12.6. На вход трехканальной системы с неограниченным вре­ менем ожидания поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью

ен = Ю усл.ед/канал.

Практическое занятие № 13

СТАТИСТИЧЕСКОЕ УПРЕЖДЕНИЕ (ПРОГНОЗИРОВАНИЕ)

Теоретические сведения

Назовем задачей статистического упреждения (прогнозирования) способ нахождения при отсутствии помех [л(0 = 0] передаточной функции Ф(/с») системы, дающей минимум среднего значения квадрата ошибки

s 2 = M | AW(/ + £0)-Z (£ )]2} между величиной Z(t) на выходе в момент

времени t и величиной m(t + /0) (/и(0 - полезный сигнал) на входе в неко­ торый будущий момент времени /0 (рис 13.1).

где 5,„(й)) - спектральная плотность сигнала m(t).

Формула для оптимальной передаточной функции упреждающей

Предположим, что нам задано аналитическое выражение для спек­ тральной плотности Sm(ca) входного сигнала m(t) в виде дробно­ рациональной функции от о :