647
.pdf— 7 |
1 |
. |
2£> а 3 |
|
2 5л.(со) = — *— |
||
Ф0®)=(/со) +2а-усо+а' |
% |
||
Из (6.4) имеем |
|
|
|
|
|
1 |
|
Ф(S) = S 2 +2aS + a 2 ' |
|||
Из (6.5) получим |
|
|
|
ф(/>)=■ |
|
1 |
ко |
|
+ 2ар + а 2 |
х(0 |
|
Из (6.9) определим уравнение формирующего фильтра:
(р2 + 2ар + a 2 )y(t) = х(/)
или
y(l) + 2а у+ a 2 y(t) = x(t).
Задачи для самостоятельного решения
Задача 6.3. Дано:
1+Зсо2/а 2
S 'M = D y
2ло(1+со2/а 2)2 ’
Определить: 1)фО'ш) = ?
2)5» = ?
3) Уравнение формирующего фильтра.
Задача 6.4. Дано:
п (ш2 + а 2)4
Определить:
оФО'©) = ?
2)5* (со) = ?
3) Уравнение формирующего фильтра.
Задача 6.5. Дано:
2(Г,+Г2)Д,
(1 + щ27;2)(13 + (а2Г22)'
Определить: 1)ф(усо) = ?
2)5 * (со) = ?
3)Уравнение формирующего фильтра.
Задача 6.6. Дано:
1+ЬС0
Sl(a) = aDx
м2 *
ll + а- усо + b • (усо)2
Определить: 1)ф(ую) = ?
2)£ (© ) = ?
3)Уравнение формирующего фильтра.
Задача 6.7. Дано:
5>(ю) =
2Дх«2 CD2
71 (со2 + а 2)2
Определить: 1)Ф(У©) = ?
2)S'x(a>) = 7
3) Уравнение формирующего фильтра.
Задача 6.8. Дано:
2ра2
• ? > ) =
Определить: 1)Ф(/С0) = ?
2 ) 5;(со) = ?
3) Уравнение формирующего фильтра.
Практическое занятие № 7 ЦЕПИ МАРКОВА
Теоретические сведения
Основной задачей исследования цепи Маркова является нахождение безусловных вероятностей состояния системы S на любом (к-м) шаге в
состоянии S/i обозначим эту вероятность />,-(А): |
|
Р, (*) = P{S(k ) = 5,.} (i = 1,2,...,и;к = 0,1,...), |
(7-1) |
где п - число дискретных состояний системы S. |
|
Для нахождения вероятностей Pf(k) необходимо знать условные веро ятности перехода системы S на к-м шаге в состояние Sj, если известно, что
на предыдущем (к - 1)-м шаге она была в состоянии *S',. |
|
Обозначим эту вероятность |
|
T^.(£) = P{S(A:) = ^ S ( £ - 1 ) = S(.} ( U = 1,2,..., л). |
(7.2) |
Вероятности Пу(к) называются вероятностями перехода цепи Мар
кова на к-м шаге.
Вероятности перехода можно записать в виде матрицы перехода 71
размерности п х п : |
|
|
|
|
п и (к) |
|
|
|
|
n 2i(k) |
п 22(к) |
я 2„(*) (* = 0,1,2,...)- |
(73) |
|
п(к) = |
|
|||
|
* я2(*) |
|
(к) не зависят от но |
|
Цепь Маркова называется однородной, если |
||||
мера шага к: Пу(к) = и... Соотношение (7.3) примет вид
71 =
1 |
T t |
CN |
а to |
" а to to |
|
LП п \ П п2
я НГ |
______ i |
‘ ' ' П 2 п |
|
^ п п |
J |
(7.4)
Матрица безусловных вероятностей состояний на шаге к определяет
ся соотношением |
|
Рк= [Pi(k) Р М ......./>„(*)] (* = 0,1,2,...). |
(7.5) |
Для Рк справедливо соотношение |
|
Рк =Ры п, к = 1,2,... |
(7-6) |
Ру = Р0п
Р2 = Рхп |
|
(7.7) |
|
|
|
||
Р3= Р2п |
|
|
|
Матрица финальных вероятностей Т вида |
|
||
'Ру |
Рг |
(7.8) |
|
т= lim 7l(w)= lim 71/7= Ру |
Р2 |
||
|
|||
/? |
р2 |
|
|
может быть определена путем решения системы алгебраических уравнений:
Pj = TPknkJ; j = 1,2,...,л-1 |
(7.9) |
||
|
A:=l |
|
|
|
1= Е Л - |
|
|
|
y=i |
|
|
Здесь />. = П т Р |
-(k),j = \9п ~ |
финальные вероятности. |
|
J А:—>оо |
J |
|
|
Решение типовых задач
Задача 7.1. Система представляет собой техническое устройство, со стоящее из тп узлов (/7? = 3), и время от времени (в моменты tu /2,... ^) подвергается профилактическому осмотру и ремонту. После каждого ша га (момент осмотра и ремонта) система может оказаться в одном из сле дующих состоянии: *t - все узлы исправны; х2- один узел заменен новым, остальные исправны; х3- два узла заменены новыми, остальные исправ ны; х4 - все три узла заменены новыми. Рассматривая состояния системы как цепь Маркова, вычислить вероятности состояний после трех шагов, т.е. Pj{3) = ?,у = 1, 2, 3, 4. В начальный момент времени все узлы исправ ны. Матрица перехода ТС имеет вид
71,, |
П\2 |
7С,3 |
л 1з" |
'од |
0,3 |
0,3 |
о,з' |
П21 |
Я22 |
7123 |
Л24 |
0 |
0,4 |
0,4 |
0,2 |
*3. |
^32- |
лзз |
Л34 |
0 |
0 |
0,5 |
0,5 |
_Л4> |
*42 |
Л43 |
Л44. |
0 |
0 |
0 |
1 |
Таким образом: Р3= [Р,(3) Р2(3) Р3(3) РА(3)] = ? |
|||||||
Решение. Определим матрицу Р0: Р0= [Р\(0) |
Р2(0) Р3(0) Р4(0)]. |
||||||
Так как в начальный момент времени система находится в состоянии
X], то Р0 = [1 0 0 0]. |
|
|
|
|
|
Из (7.7) имеем |
|
|
0,3 |
0,3] |
|
= /»<,* = [0,1 0,3 |
|
||||
|
|
"0,1 |
0,3 |
0,3 |
0,3 |
0,3 |
0,3 |
0 |
0,4 |
0,4 |
0,2 |
0,3] |
0 |
0,5 |
0,5 |
||
|
|
0 |
|||
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
Р2 = [Р,(2) |
Р2(2) |
Р3(2) Р4(2)]; |
||
Р2 = [0,01 |
0,15 0,30 |
0,54]; |
||
Р3 = Р 2л = [Р,(3) |
Р2(3) |
Р3(3) Р4(3)] |
||
Р3 = [0,001 |
0,063 |
0,213 |
0,723] |
|
Задача 7.2. Задана матрица перехода п вида |
||||
|
'0,1 |
0,5 |
0,4' |
|
|
7t= |
0,2 |
0,3 |
0,5 |
|
|
0 |
0,4 |
0,6 |
Найти матрицу финальных вероятностей Т вида |
|
|||
|
|
Рх |
Р2 |
г 3 |
Т = lim 7i(m) = |
lim n m = Рх |
Р2 |
Р3 |
|
m—►со |
|
/71—>co |
Рг |
Рг. |
|
|
А |
||
Решение. Из (7.9) имеем для |
п = 3 |
|
|
|
^ = Р 1п и + Р 2п 21+ Р 3п 31\ |
|
|
||
Рг ~ |
|
+ ^ 27t22 + РъПЪ7>' |
|
|
1 = Р\ + Р2 + Р3 |
|
|
||
ИЛИ |
|
|
|
|
Рх= ОД - ^ + 0 ,2 Р 2; |
|
(7.10) |
||
Р2 =0,5•/] +0,3 • Р2 + 0,4Р 3; |
|
|||
|
|
|||
1 = /| |
+ Р2 + / 3. |
|
|
|
Из (7.10) имеем |
|
|
|
|
0,9 • Р[ - |
0,2 • Р2 = 0; |
|
(7.11) |
|
- 0,5 • Р, +0,7 |
Р2 - 0,4 • Р3 = 0; |
|
||
|
|
|||
Рх= \ - Р г - Р у
Из (7.11) имеем
0,9(1 - Р 2- /5з)-0,2Л 2 = 0;
0,5( 1- Р 2- Рг) + 0,7Рг - |
0,4/»3 = О |
или |
|
UP2 +0,9/»3=0,9;l |
(7.12) |
1,2Р2 +0,1^3 = 0,5.} |
|
Решим систему уравнений (7.12), используя правило Крамера. Имеем
Д = 1,1 0,9 = 0,11-1,08 = -0,97.
1,2 0,1
0,9 0,9 ^2 _ 0,5 0,1 = 0,09 - 0,45 = -0,36.
1.10,9
Д3 — |
= 0,55-1,08 = -0,53. |
1.2 |
0,5 |
Рг = ^7 |
= 0,37. Р3 = - ± = 0,546. Р2 + Рг = 0,916. |
2 д |
3 д |
Рх = 1 - ( / >2 + Р3) = 0,084.
Таким образом:
Рг Рг '0,084 0,37 0,546'
т= Р\ Рг Рг = 0,084 0,37 0,546 /у Рг Рг. 0,084 0,37 0,546_
Задачи для самостоятельного решения
Задача 7.3. Рассматривается следующий процесс: система представ ляет собой техническое устройство (ТУ), которое осматривается в опре деленные моменты времени (скажем, через сутки), и его состояние реги стрируется в отчетной ведомости. Каждый осмотр с регистрацией пред ставляет собой “шаг” процесса. Возможные следующие состояния ТУ: xi - ТУ полностью исправно; х2 - ТУ частично неисправно, требует на ладки; JC3 - обнаружена серьезная неисправность, ТУ требует ремонта; х4 - ТУ признано непригодным, списано. Матрица перехода:
0,7 0,1 0,1 0,1
0,2 0,6 0 0,2
0,2 0 0,5 0,3
0 0 0 1
В начальный момент (/0 = 0) ТУ находится в состоянии х { (исправно). Найти распределение вероятностей состояний для первых трех шагов ( * = 1, 2, 3).
Задача 7.4. Задана матрица перехода % вида
0,5 0,25 0,25
те = 0,5 |
0 |
0,5 |
0,25 0,25 0,5
Найти матрицу финальных вероятностей Т вида
|
|
A |
P i |
Pi |
Т = lim n(m) = lim nm |
^ |
Pi |
Pi |
|
m—>oo |
in—> со |
|
|
|
|
|
A |
Pi |
Pi |
Задача 7.5. ЭВМ в процессе эксплуатации может рассматриваться как физическая система, которая в результате проверки может оказаться в одном из следующих состояний: х\ - ЭВМ полностью исправна; х2- ЭВМ имеет незначительные неисправности в ОП, но может решать задачи; х3 - ЭВМ имеет существенные неисправности, может решать ограничен ный класс задач; х4 - ЭВМ полностью вышла из строя. В начальный мо мент ЭВМ полностью исправна. Проверка ЭВМ производится в фиксиро ванные моменты времени /ь /2, t3. Процесс, протекающий в системе, мож но рассматривать как цепь Маркова с тремя шагами (1-я, 2-я, 3-я проверки ЭВМ). Матрица перехода:
[0,3 0,4 0,1 0,2"
0 |
0,2 |
0,5 |
0,3 |
71 “ 0 |
0 |
0,4 |
0,6 ’ |
0 |
0 |
0 |
I |
Определить вероятности состояний посЛе трех проверок, т.е.
/>3=171(3) 7 ( 3 ) 7 ( 3 ) 7 (3 )]= ?
Задача 7.6. Задана матрица перехода 71 вида "0,3 0,3 0,4"
п = 0,4 0,4 0,2
0,2 0,4 0,4
Найти матрицу финальных вероятностей Т вида
Pi Pi Pi
Т = lim 7t(m) = lim nm = Pi Pi A
m - t oo m —>oo
A Pi Pi
Практическое занятие № 8
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ М СРЕДНЕГО ВРЕМЕНИ ПЕРЕХОДА К НЕКОТОРОМУ СОСТОЯНИЮ ИЗ ДРУГИХ СОСТОЯНИЙ
Теоретические сведения |
|
Матрица М определяется соотношением |
|
М = ( I - Z + E Zdg) D, |
(8.1) |
где |
|
Z = [ / - ( 7i - r ) ] " ‘ |
(8.2) |
Здесь / - единичная матрица; п - матрица перехода; Т - матрица фи нальных вероятностей; Е - матрица, состоящая из единиц, т.е. все элемен ты матрицы Е равны единице; Zjs - матрица, получающаяся из матрицы Z обнулением внедиагональных элементов; D - диагональная матрица с элементами, равными обратным значениям элементов диагонали матрицы финальных вероятностей Т.
Решение типовых задач
Задача 8.1. Система может находиться в одном из трех состояний: 5i = 1; = 2; 53 = 3. Процесс в системе описывается цепью Маркова. Мат рица перехода имеет вид
0,33 0,34 0,33
(8.3)
п = 0,42 0,32 0,26
0,19 0,43 0,38
Определить матрицу М.
Решение. Найдем первоначально матрицу финальных вероятностей Т
вида
|
|
|
h |
h |
h |
Т = |
lim n(m) = Urn nm |
't |
h |
(8.4) |
|
h |
|||||
|
/п->«з |
m ->oо |
h |
|
t3 |
Из (7.9) имеем для |
/7 = 3 |
|
12 |
||
|
|
|
|
||
|
= ^l7lll + ^2^21 “^3^31» |
|
|
|
|
t2 =^1^12 +^2^22 |
|
* |
|
||
|
1 = t\ |
+ t2 + ^3 • |
|
|
|
или
|
|
/j = 0,3 3 • /j + 0,42 • ^2 + 0,19 • /3j |
|
||||||||
|
|
t2 = 0,34 • /j + 0,32 • t2 |
0,43 • /3* |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 = |
+ /2 + /3. |
|
|
|||
Решая систему алгебраических уравнений (8.5), получим t{ |
|||||||||||
h = 0,36; h = 0,32. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из (8.4) имеем |
|
|
"0,32 |
0,36 |
|
0,32' |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Т= |
0,32 |
0,36 |
|
0,32 |
|
|
||
|
|
|
|
|
0,32 |
0,36 |
|
0,32 |
|
|
|
Определим п — Т |
Имеем |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Г 0,01 |
-0,02 |
|
0,01 |
|
|||
|
|
я - Т |
= |
|
0,10 |
-0,04 |
|
-0,06 |
|
||
|
|
|
|
- 0,13 |
0,07 |
|
0,06 |
|
|||
Определим матрицу /. Получим |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = 0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
Найдем матрицу Z |
1= / - (п - |
Т). Имеем |
|
||||||||
|
|
|
|
|
0,99 |
0,02 |
|
- 0,01 |
|
||
|
|
Z "1= |
- 0,10 |
1,04 |
|
0,06 |
|
||||
|
|
|
|
|
0,13 |
-0,07 |
0,94 |
|
|||
Определим матрицу Z. Получим |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
А}1 А21 |
Аз\ |
|
|
|||
|
|
2' |
|
|
1 |
|
|
Л32 |
> |
|
|
|
|
|
\ 7 |
- \ I А]2 |
А22 |
|
|
||||
|
|
|
|
Г |
_А]з |
А23 |
|
|
|
|
|
гДе |Z“‘| “ определитель матрицы Z |
|
1 |
Здесь |
|
|||||||
|
1,04 |
0,06 |
|
|
|
|
|
0,99 |
- 0,01 |
|
|
Аи = -0,07 |
0,94 |
= 0,9818; |
Лц = |
0,13 |
= 0,9319; |
|
|||||
0,94 |
|
||||||||||
|
0,99 |
0,02 |
|
|
|
|
|
- 0,1 |
0,06 |
ит.д. |
|
4 3 = |
- 0,1 |
1,04 |
= 1,0316; |
Аг=~ 0,13 |
0,94 ‘ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(8.5)
0,32;
Матрица Z имеет вид |
- 0,01 |
0,01 |
1,01 |
||
0,1 |
0,96 |
0,06 |
-0,13 |
-0,07 |
0,97 |
Определим матрицы |
I — Z, E Zdg. Имеем |
||
|
- 0,01 |
0,01 |
- 0,01 |
I - Z |
-0,1 |
0,04 |
-0,06 |
|
0,13 |
0,07 |
0,03 |
"1 i г
E = 1 i i
1 i i
N |
II |
■S’ |
1,01 |
0 |
О |
О |
0,96 |
0 ; |
О |
0 |
0,97 |
|
'1,01 |
0,96 |
0,97' |
E - Z dg = |
1,01 |
0,96 |
0,97; |
|
1,01 |
0,96 |
0,97 |
|
1 |
0,97 |
0,96' |
Z + E- Zdg = |
0,91 |
1 |
0,9 |
|
1,14 |
1,03 |
1 |
Определим матрицу D. Получим
'\!tx |
0 |
0 |
" |
'3,126 |
0 |
0 |
D = 0 |
\/ t2 |
0 |
= |
0 |
2,778 |
0 |
0 |
0 |
m 3_ |
0 |
0 |
3,126 |
|
Определим матрицу М. Имеем |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3,126 |
2,695 |
3,001 |
M =( I - Z +E- Zdg) ■D = |
2,845 |
2,778 |
2,885 |
|||
|
|
|
|
3,564 |
2,861 |
3,126 |
Каждый элемент полученной матрицы М характеризует среднее вре мя перехода из одного в другое соответствующее состояние. Так, время перехода из первого в первое состояние в среднем равно 3,126 шага, из первого во второе - 2,695 шага, из первого в третье - 3,001 шага и т.д.