647
.pdfКу {1) = - с/—^ 1 = - a 2Dxe~ai dT
Для любого Т корреляционная функция имеет вид
ЛГ (т) = |
= - а 2£) е_а|т|. |
'ch2
Задачи для самостоятельного решения |
|
Задача 3.3. Случайный процесс задан выражением у , ч |
dX(t) Оп- |
( ~ |
dt |
ределить математическое ожидание этого процесса и корреляционную функцию, если заданы mx(t) = sin wt + l; Kx{tb t2) =Dxe a{,x+,l)\ Dx=const.
Задача 3.4. Случайный процесс задан следующим выражением: Корреляционная функция определена следующим образом:
dt
Кх(х) = Dxe ^ h4l)2 Определить корреляционную функцию заданного слу чайного процесса Y(t).
Задача |
3.5. Случайный процесс задан следующим выражением: |
Y ^ = ^ dX(t) |
Корреляционная функция определена следующим образом: |
dt
Kx(x) =Dxe~aЧ Определить корреляционную функцию заданного случай ного процесса Y(t).
Задача 3.6. Случайный процесс задац следующим выражением:
=ь Корреляционная функция определена следующим обра-
К) |
dt |
зом: g |
(т) _ D е"а1т1 Определить корреляционную функцию заданного слу |
чайного процесса Y(t).
Задача 3.7. Определить корреляционную функцию производной слу чайного процесса ДО, если * х(т) = £>хе_а|т|(1 + а|т|).
Задача 3.8. Дана корреляционная функция К х{х) стационарной слу
чайной функции X(t)\ К х(т) = сгхе~а2т2 Найти корреляционную функ цию и дисперсию функции Y(t) вида
Y(t) = b c^ - ^ yb = const. w dt
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ ПО КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ
Теоретические сведения
Спектральная плотность и корреляционная функция связаны между собой следующими соотношениями:
= |
J |
(4Л) |
2п |
|
|
И |
-т |
|
|
|
|
из |
|
|
Кх(х) = f c i y v ^ d w , |
(4-2) |
|
-0 0
где S*x(w) - двусторонняя спектральная плотность случайного процесса
X(t); Кх(т) ~ корреляционная функция случайного процесса X(t);
T = t{ - t 2.
Решение типовых задач
Задача 4.1. Корреляционная функция случайного процесса X{t) зада
на в виде % (т) = Z) е~а^ >гДе 1т| = i Т’Х “ ^ Определить спектральную 11 [ - т ,т < 0
плотность соответствующего случайного процесса.
Решение. Спектральная плотность определяется по формуле (4.1):
S > ) = ~ 1 Kx(x)e~iwzdx = --- ]D xe ^ \ - ' ndx.
2Т1 -оо |
АТС-оо |
Исходя из условий задачи представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов:
|
S*x(w) = Р*-[ J |
eaz~iwxdx + Je~at~iwxdx]. |
|
|||
Вычислим |
2 я —оо |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
||
Sx(w) = Dr |
1 |
„ах -iwr IО |
Dr |
1 |
- е |
л (а 2 + w2) |
2л |
(а - iw) |
|
2п |
( - а - |
iw) |
|
Задачи для самостоятельного решения
Задача 4.2. Корреляционная функция задана в виде [£>Л.(1-|т|), если |т|<1
в д = [ 0, если |х| > 1
Построить график к х(%)>определить спектральную плотность S*x(w)-
Задача 4.3. Корреляционная функция задана в виде ^ ( х ) = а<?~“|т|-(1 + а|х|).
Определить спектральную плотность S*x(w).
Задача 4.4. Корреляционная функция задана в виде |т|
к /Тч _ ] ^ 0 - И ). если|х|<х0 О, если |т| > т0
Определить спектральную плотность sl(w)-
Задача 4.5. Корреляционная функция задана в виде
К х(т) = Dxe~a^ • cosw0x.
Определить спектральную плотность S*(w) •
Задача 4.6. Корреляционная функция задана в виде
К х(х) = Dxe~°^ • (1 - а|т|).
Определить спектральную плотность S *(w ) . Задача 4.7. Корреляционная функция задана в виде
[1-(1/5)|т|, если |т|<5
Кх(х) =
О, если|т|>5 Определить спектральную плотность S*x (w) •
Задача 4.8. Корреляционная функция задана в виде ^ .(т ) = ея-м
Определить спектральную плотность S*x(w) . Задача 4.9. Корреляционная функция задана в виде
Кх(х) = 100- е"°,1|т| • (1 + 0,1|х|). Определить спектральную плотность S*x (w ). Задача 4.10. Корреляционная функция задана в виде
Кх{х) = а2 -е~ЩА.
Определить спектральную плотность S*x (w ).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА НА ВЫХОДЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
|
Теоретические сведения |
|||||
Рассмотрим схему на рис.5.1. |
|
|
|
|||
х |
( О |
W ( |
j w |
) |
Y (О |
|
S'x {w ) |
D |
|||||
|
|
|
||||
|
|
Рис. 5.1 |
|
|
||
Здесь W(jw) - |
передаточная |
функция динамической системы; |
||||
^ ( w ) ~ спектральная плотность случайного процесса X(t); Dy - |
диспер |
сия случайного процесса Y(t). |
|
Дисперсия на выходе системы определяется по формуле |
|
D у = J S*y (w)dw |
(5-0 |
- СО |
|
где Sy(w) - спектральная плотность процесса Y(t), которая определяется
по формуле |
|
|
|
|
= |
|
(5.2) |
Чтобы вычислить интеграл (5.1), необходимо привести его к виду |
|||
стандартного интеграла: |
|
|
|
1 7 |
° п ( М |
—dw, |
(5.3) |
2п -« Hn(jw)Hn(-jw) |
|
||
где
Gn(jw) = g 0(jw)2n'2 + g x(jw )2n~4 +... + g n_x
(5.4)
H n(Jw) = h0(jw )n + hx(jw)"-' + ... + h„
Интеграл I n при n - 1,2,3 определяется соотношениями
J — ^ o • |
(5.5) |
1 “ 2h0h\ ’
|
2Л0А, |
|
|
К h\gj |
|
|
- h2So+ hg\ |
|
h = |
(5.7) |
|
2h0 (h0h3 Л|/?2) |
||
|
Математическое ожидание случайного процесса Y(t) вычисляется че рез математическое ожидание случайного процесса X{t) и передаточную функцию ЩО):
т - W { Q ) - m x. |
(5.8) |
Решение типовых задач
Задача 5.1. Дано
W(jw) = jw; Sx(w) = — ----- jTT'
(w + a )
Определить дисперсию Dy случайного процесса на выходе динамиче ской системы.
Решение. Имеем
|
|
л2 |
|
(5.9) |
|
\W(jw)\= W(jw)-W(-jw). |
|
||
Определим W ( - jw). Получим W ( - jw ) = - jw. |
|
|
||
Представим S x(w ) в виде |
|
|
||
|
S'x(w) = a2 ------- l----- =---------l------ =-. |
|
|
|
|
|
(Jw + a ) 2 ( - jw + a )2 |
|
|
Соотношение (5.1) с учетом (5.2), (5.9) примет вид |
|
|
||
D , = ^ |
l |
jw ■(-jw) |
-dw. |
(5.10) |
|
|
|||
2% |
-«[(yw)2 + 2a • (jw) + a z][(-yw)z + 2a ■(—jw) + a |
] |
|
|
Запишем полученное соотношение в виде |
|
|
||
|
|
Dv =2 па / 2, |
|
|
где |
|
|
|
|
1 |
гЛ |
8oUw)2 + &\ |
-dw. (5-П) |
|
|
I |
|||
2n-m[hv(jw) |
+h](jw) + h1)[hb(-jw) + hj - jw ) + h2] |
|
||
Соотношение (5.11) описывает стандартный интеграл порядка п ^ 2. Общее выражение для стандартного интеграла имеет вид соотношений (5.3), (5.4).
Сопоставляя (5.10) и (5.11), получим |
|
|
К =1; |
А, = 2 а ; h2 = а 2; | |
(5,12) |
^ о = - и |
8 \ = °- |
|
Подставим (5.12) в (5.6). Имеем
1
12 = 4а
Окончательно получим
т-ч _ 2
D v = 2тш
у
г а 2к
/-, = -----.
2а
Задача 5.2. Линейная система описывается уравнением вида |
|
||
/и, Y(t) + m0 |
Y(t) = n]X ( t) + n0X (t) . |
(5.13) |
|
Случайная функция X(t), действующая на входе системы, имеет спек |
|||
тральную плотность вида |
Dxа |
|
|
. |
1 |
|
|
^ 0 ) = |
— -------- 2------ У - |
|
|
пw + а
Определить дисперсию случайного процесса на выходе системы. Решение. Перейдем от уравнения (5.13) к передаточной функции ди
намической системы. Введем оператор дифференцирования |
/> = ^ Пе- |
||
репишем (5.13) в виде |
|
|
Л ' |
|
|
|
|
(mxP + т0 )Y (iГ) = (пхР + п0 ) Х (/) • |
(5.14) |
||
Из (5.14) имеем |
Y(t) |
_ пхР +п0 |
|
W(P) = |
|
||
X(t) |
тхР +т0 |
|
|
|
|
||
откуда
W(jw) = щ (jw) + п0 mx(jw) + m0
Определим Щ - jw). Получим
W ( - jw ) = "lC-M +Wp
т\ (~JW) + т0
Представим S X{\V^) в виде
|
|
|
. |
D a |
1 |
|
|
|
|
|
Sx(w) = - |
(jw + a)[( - jw ) + a] |
|
||
|
|
|
|
n |
|
||
|
Соотношение (5.1) с учетом (5.2), (5.9) примет вид |
|
|||||
|
„ „ |
ос |
n,(jw) + n0 |
ni( - » + "о |
1 |
|
|
|
2 D |
---------------- ----------------------*—— ------- •------ ------- dw = |
|||||
|
D =—г — I m](jw) +т0 |
m j - jw ) + m0 |
(jw + a) |
[(-y'w) + a] |
|||
|
271 |
|
|
|
|
|
|
|
2Dra j |
______ |
[«, (jw) + n0][«, (-jw) + «о] |
-dw |
|||
|
27i |
|
|
|
|
|
|
|
[mx(jw) + m0](jw + a)[/w, (-jw) + m0](-jw +a) |
||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
D |
271 |
|
|
|
|
|
(5.15) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-nl(jw)2 +nl |
|
-dw. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X J [mx(jw) + (m0 + m,a)(jw) + m0a][m, (-jw)2 + (m0 + mla)(-yn>) + m0a] |
|||||||
|
Запишем полученное соотношение в виде |
|
|
||||
|
|
|
|
Dy = 2Dxa ■12, |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
go(Jw) +8\ |
|
-dw. (5-16) |
|
h |
= 2n -oo [h0(jw)2 +Л,(jw) + h2][h0(- jw ) |
+A,(-jw) + h2] |
|||||
|
Сопоставляя (5.16) и (5.15), получим: |
|
|
||||
|
|
|
h0 = m];hi = m 0 + mla ; )% = w0a ;| |
(5.17) |
|||
|
|
|
|
g o = ~ ni > 8 \ = no- ' |
J |
|
|
Подставим (5.17) в (5.6). Имеем
тх «i2 + т0а-пп
2тх(т0 + тха)
Окончательное выражение для дисперсии Dy примет вид
т
п2 +
тпа
D = 2Dxa */ 2 = Dxа •
тх (т0 + тхос)
Задачи для самостоятельного решения
Задача 5.3. На вход апериодического звена, описываемого уравнени ем Г0У(/) + Y(t) = к • X (/), поступает стационарный сигнал Х{1) со спек тральной плотностью
о«/ ч Ага |
1 |
S A W) = — |
- ' — г-----2^2 |
п |
О + а ) |
Найти дисперсию случайного процесса на выходе апериодического |
|
звена. |
|
Задача 5.4. Линейная система описывается уравнением вида
Т2ц 0 + TxY(t) + T0Y(t) = m .Xit) +m0X(t).
Случайная функция X(t), действующая на входе системы, имеет спек
тральную плотность S*x (w) = С.
Найти дисперсию сигнала на выходе системы. Задача 5.5. Дано
|
|
1 |
TS + 1 |
|
2ч2 |
( V + с О |
||
Определить дисперсию Dy. |
|
|
Задача 5.6. Дано |
|
1 |
fV(S) = |
|
|
|
2\2 * |
|
T2S + Y |
|
|
|
|
|
Определить дисперсию Dy. |
|
|
Задача 5.7. Дано |
|
|
W(S) = -----+ 1----------- У |
(w) = |
jw +1 |
0,25S 2 +$S + 1 |
1 |
jw + 2 |
Определить дисперсию Dy.
Практическое занятие № 6
ФОРМИРУЮЩИЕ ФИЛЬТРЫ
Теоретические сведения
Спектральная плотность на входе S*(co) и на выходе 5*(ш) дина
мической системы связаны соотношением
s'y(со) НФО'ю}2• |
1) |
где ф(усо) - частотная характеристика динамической системы.
Имеем
!< М 2=ФО)•Ф (-»- |
(6.2) |
Подставим (6.2) в (6.1). Получим
^(со)=ф(/Ь))-(К-Усо)^(со). (6.3)
Если представить S*y(со) в виде (6.3), то ф(/’со) есть частотная харак
теристика формирующего фильтра. Передаточную функцию формирую щего фильтра получим следующим образом:
(64)
Введем в рассмотрение оператор дифференцирования D~ —
И А'
Из (6.4) имеем
(6.5)
Соотношение (6.5) используется для определения дифференциально го уравнения формирующего фильтра. Формирующий фильтр предназна чен для формирования случайного процесса с заданными вероятностными характеристиками.
Решение типовых задач
Задача 6.1. Дано:
. |
Д ,а |
|
|
|
|
sv(<*)=-- |
со |
2 |
+ а |
2 ' |
|
|
тс |
|
|
||
Определить: 1) ФО’со) = ?
2) £ > ) = ?
3) Уравнение формирующего фильтра.
Решение. Представим S*y (со) в виде
■ ?> )= — -------- 3 — |
Dyа |
||
Л |
|
||
усо+а -усо+а |
|
||
Сопоставляя (6.6) и (6.3), получим |
|
|
|
ФО'®)= - - - ; Ф( - » = — |
1 |
— |
|
|
|||
усо + а |
-усо+а |
||
Из (6.4) имеем |
|
|
|
<KS)= |
1 |
|
|
S |
4-ос |
|
|
Из (6.5) получим |
y(i) |
|
|
1 |
|
||
Ф О ) =р + а |
JC(0 |
|
|
( 6. 6)
\ Dya
5Л®);= и
(6.7)
Из (6.7) получим уравнение формирующего фильтра:
( Р + <*■)• А О = x(t)
или
т +a-y(t)=x(t). dt
Задача 6.2. Дано: |
|
2Руа? |
1 |
s > )= |
(со2 + а 2)2 |
п |
Определить: 1)ф(уш) = ?
2)5*(со) = ?
3)Уравнение формирующего фильтра.
Решение. Представим |
в виде |
|
|
|
s' (со) = |
1— |
1— - |
2Руа? |
|
Л |
||||
|
(усо+ а)2 |
(-усо + а)2 |
Сопоставляя (6.8) и (6.3), получим