647
.pdfПрактическое занятие № 11
СТОХАСТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ОПТИМАЛЬНОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
ПО ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Теоретические сведения
Рассмотрим систему |
|
*(0 = Ax(t) + Bu(t) + Wi(t), t > t 0 |
(11Л) |
х Оо) = х0>
где х0 - стохастический вектор со средним значением х0 и матрицей дис персий Q0. Наблюдаемая переменная описывается выражением
y(t) = Cx(t) + w2(t), t > t 0. |
(11.2) |
||
Совместный случайный процесс w(t) ± [w, (г) |
и^2(ОГ является бе- |
||
лым шумом с интенсивностью |
|
|
|
К |
О |
/> 0. |
(11.3) |
О |
V,2. |
|
|
|
|
||
Тогда задача стохастического линейного оптимального регулирова ния с обратной связью по выходной переменной является задачей нахож
дения такого функционала |
|
|
|
(11.4) |
«(О = / [ К т)>1о ^ |
««ч. |
*-4. О I A |
I A г-* |
|
при котором критерий |
|
|
|
|
|
гГ(0Л2г/(Г)^Д |
(11.5) |
||
|
|
|||
достигает минимума. Здесь /?ь Я2 - |
симметрические |
весовые матрицы, |
||
причем Я\ > О, Я2 > 0; t0 < t < t r |
|
|
|
|
Запишем решение задачи стохастического линейного регулирования с обратной связью по выходной переменной. Для входной переменной имеем
|
( 11.6) |
где |
(11.7) |
F0 =R?BTP |
|
Здесь Р —решение уравнения Риккати |
|
0 = Я, -РВЯ;'ВТР + А ТР + РА. |
(11.8) |
Оценка x(t) получается как решение уравнения |
|
т = А*(0 + Bu(t) + K°\y[t) - Cx(Ol |
|
*('о) = *о> |
|
где |
( 11.10) |
K° =QCTV{ 1 |
|
Матрица дисперсий Q является решением уравнения Риккати |
(11.11) |
О= -QCTV-'CQ + AQ + QAT + У, |
Решение типовых задач
Задача 11.1. Система управления положением описывается диффе
ренциальным уравнением вида |
|
|
|
|
'0 |
1 " |
'0 ' |
'0 ' |
( 11.12) |
т = 0 - а КО + _х_К 0 + _у. |
|
|||
где x(0 = [^](0 x2( tj f |
;x d{t) - |
белый |
шум с постоянной |
скалярной |
интенсивностью Vd. Предположим, что наблюдаемая переменная опреде ляется выражением
|
|
|
л(/) = [1 |
0]x(0 + vm( 0 ’ |
|
|
(11ЛЗ) |
||||||
где vm(0 |
- |
белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vm. |
|||||||||||
Критерий оптимальности имеет вид |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
(11.14) |
|
|
о = М \ \ x r {t) |
|
0 |
*(0 + р р 2(0 |
dl\ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
l'»L |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить u(t), К0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. В обозначениях (11.1) -(11.11) имеем |
|
|
|||||||||||
0 |
1 |
В = |
|
|
|
|
|
|
1 |
о |
|
|
|
А = |
- а |
; КО = КО; Л |
= |
о |
о |
R2 = P; |
|
||||||
0 |
|
|
(11.15) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АО = КО; |
c = [i о} |
К ( 0 |
= |
|
*Л0; |
» r2(0 = v 1B(0; |
|
||||||
|
|
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уг = ут\ |
У,= |
2т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L0 |
г у л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя (11.15) в (11.8), получим |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
0 |
-10 |
х]р+ |
0 |
о |
|
0 |
1 |
(11.16) |
||
|
|
0 = |
- р |
1 |
- а |
Р + Р |
- а |
|
|||||
|
|
о |
о |
LXJ Р |
|
|
|
|
0 |
|
|||
Пусть Ру, i j |
- 1 ,2 |
обозначают элементы матрицы Р. Тогда, учитывая |
|||||||||||
Р 12 = |
ПОЛУЧИМ ИЗ (1 1.16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 = |
1 |
0 |
Л. |
о |
о |
Ml |
М2 |
|
о |
о |
' 22 J |
о |
х7 р |
Р\2 |
Р22 |
0 |
|
о |
|
|
|
"0 |
1 |
1 |
|
- а |
42 J22J |
|
' 22 J |
0 |
- а |
Из (11.17) получим следующие алгебраические уравнения:
0 = |
— |
|
р |
|
у 2 |
О= |
Р ^12^22 + Р\ 1“ а ^12 '> |
|
,2 |
2L
0 = -±-Р*2+2Р12-2аР22.
р
Из (10.18) определим Рп, Рп, Р22• Имеем
= Р_ . ^ Л ; Р п= Ъ21
X
Р - — - а + / а 2 + 7* |
||
22 " „2 |
|
4 р |
|
S |
|
Рц = |
а 2 + 2* ' |
|
x v |
7р |
|
Определим матрицу 7^ из соотношения (11.7). Имеем
Рп |
р\ |
^ = - [ 0 х]- |
12 |
= \ k PU XP2 ll |
рLPn 122. р
Соотношение (11.22) с учетом (11.19), (11.20) примет вид
|
_1_ |
Iа 2 + ~ |
^0 = |
- а + |
|
S |
S |
(11.17)
(11.18)
(11.19)
(11.20)
(11.21)
( 11.22)
(11.23)
Таким образом |
|
u{t) = - F 0 ■x(t) ■ |
(П.24) |
Используя (11.11), определим Q. Пусть q,j, i,j = 1, 2 обозначают эле менты матрицы Q. Тогда, учитывая qn = qj\, получим из (11.11)
0= |
'о 1 1 |
Го 1 о Го |
1о |
гп 1 г 1 |
|
[0 |
Q+Q , |
+ п |
2т/ |
п v~^ |
|
|
- a j [1 |
- a j (_0 |
у Vd\ |
|_°JVm |
|
или
'0 |
1 |
г - |
Чп |
+~Я\\ |
Ям I» |
0 " |
0 |
- a |
Ь п |
922. |
Ям |
Я22V |
- a |
0 |
0 |
~Я\\ |
Ч\ *т'у к , |
0" ~Яп |
Ям' |
|
о |
(N |
Ям |
Я22Л 0 |
0 .Ям |
Я22. |
|
|
|
|||||
Из (11.25) получим следующие алгебраические уравнения:
О= ^Ям
® = #22 ~ а #12 “ T T " # i 2 # i i ’ у
*ш
®= ~^а Чгг +У % ~ ~ Я м - Vт J
Из (11.26) определим аи, qn, Чгг
Яп = ( - a + a V a 2 +2p)-Fm;
Яп = (a 2 + p - a J a 2 + 2p)-F ;
Я22 = (- a 3 - 2аР + (а2 + p ) ja 2 +2pj- Vm,
где
Определим матрицу К0 из (11.10). Имеем
К ° = Яп |
Ям 1 |
Яи |
_Я\2 |
Я22JL^J К, |
Ям |
Соотношение (11.31) с учетом (11.27), (11.28) примет вид
К 0 = |
~ ос + 7 ^ 7 ^ |
|
a 2 + p - a 7 a 2 + 2Р 1^2 |
||
|
||
Из (11.9) имеем |
|
(11.25)
(11.26)
(11.27)
(11.28)
(11.29)
(11.30)
(11.31)
(11.32)
Jc(0 = ( ^ - 7 i : 0C - 5 |
F 0) ;c(0 + A :0 |
д о |
(11.33) |
|
определим матрицу D вида |
|
|
|
(11.34) |
D = A ~ K °C -B F 0. |
|
|
||
Имеем |
|
|
|
|
К°С = |
0]= |
o |
' . |
|
о |
> |
|
||
|
v22 |
|
|
|
|
|
BF0 |
[X^I2 |
X^22]' |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
A - K ° C |
'0 |
1 |
’ *11 |
O' |
*11 |
1 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
о |
- a |
.*22 |
0_ |
- *22 |
- a |
D = |
k\\ |
1 |
|
0 |
0 |
|
-*! |
1 |
- k.22 |
- a |
x lp |
i L p |
- * 22" — ^.2 |
|
|||
|
P |
Г \2 |
r 22 |
22 |
||||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
Примем следующие численные значения параметров: Х = 0,787рад/В-с2,
a = 4,6 с-1,
р = 0,00002 рад2/В 2, у = 0,1 кг-1 -м '2,
Vd = 10Н2 м2 с,
V* =Ю' 7 рад2/с. Имеем
*„ = 40,36; £22 = 814,34; Рп = 0,00568; Р22 = 0,00047
D = -40,36 |
1 |
-990,24 |
-19,155 |
Характеристический полином матрицы D можно найти в виде |
|
*5 + 40,36 |
-1 |
det(*57 - D) =det |
*5 + 19,155 |
990,24 |
|
= (S + 40,36)(5 +19,155) + 990,24 = S 2 +59,5S +1763,3. Характеристическое уравнение имеет вид
5 2 + 59,5S + 1763,3 = 0-
Найдем корни характеристического уравнения. Имеем
|
- 59,5±7 ^ 4 - 1 7 6 3 ,3 |
= -5 9 ,5 t7 Л Щ 95 . . 29<75±15%2Т |
1,2 |
2 |
2 |
Таким образом, система, описываемая уравнением (11.33), устойчива.
Задача 11.2. Система описывается дифференциальным уравнением
вида |
О |
1 х(0 + |
|
|
т = |
и(0 + |
* j(ty |
||
|
о |
о |
|
|
где x(t) = [JCJ(/) х2(0 ]Г |
|
Trf(r) - |
белый шум |
с постоянной скалярной |
интенсивностью Vd. Предположим, что наблюдаемая переменная опреде ляется выражением
t|(0 = [l O]x(0 + v„(0>
где v/w(0 - белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vm.
Критерий оптимальности имеет вид
ст = Мj J * 4 0 |
"1 |
0“ |
дг(/) + р -ц2(0 dt |
|
О |
0 |
|||
|
|
Параметры имеют следующие значения: р = 0,787; р = 0,002; у=0,1;
V,/ = 10; V„,= 10'4
Определить матрицы Fo, К0; проверить на устойчивость систему
М.0 = (^ - К°С - BF0)x(t) + К°у(0 •
Задача 11.3. Система описывается дифференциальным уравнением
вида |
0 |
о |
|
|
т = |
*(0 + |
ц(0 + ХЛ0> |
||
|
1 |
о |
|
|
где x(t) = [*,(0 ^г(0 ]Г |
xd(0 ~ белый шум с постоянной скалярной |
|||
интенсивностью Vj. Предположим, что наблюдаемая переменная опреде ляется выражением
л (0 = [о 1]*(0 + у и (0 »
где v/w(f) - белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vm.
Критерий оптимальности имеет вид
а = М | * 4 0 |
"0 |
0" |
*(0 + р р 2(0 dt |
|
0 |
1 |
|||
|
|
Параметры имеют следующие значения: р =0,787; р =0,002; у=0,1; 10; Vm= 10^
Определить матрицы Fo, *°; проверить на устойчивость систему
кО = { Л - К* С - BF0)x(t) + K °y(t) .
Задача 11.4. Система описывается дифференциальным уравнением
вида
т - |
- а |
О |
Т„(0’ |
1 |
x(t) + u(t) - |
||
|
О |
|
|
где x(t) = [*,(/) x 2{t)Y |
(/) ~ белый шум с постоянной скалярной |
||
интенсивностью Vj. Наблюдаемая переменная определяется выражением
ч(0 = [о |
Ф (0 +vm(/), |
||
где v m(t) - белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vm. |
|||
Критерий оптимальности имеет вид |
|||
|
О О |
*(0 + р-и2(0 dt |
|
xT(t) |
1 |
||
|
О |
|
|
Параметры имеют |
следующие значения: ъ = 0,787; а = 4,6;• |
||
р = 0,00002; у = 0,1; К/= Ю; |
|
г\-7 |
|
Vm= КГ |
|
||
Определить матрицы F0y К0; проверить на устойчивость систему |
|||
i(0 = {а - К ° С - BF0) с(0 + К °у (0 ■ |
|||
Задача 11.5. Система описывается дифференциальным уравнением |
|||
вида |
|
|
|
x (t) = - а |
• x(t) 4- b • u{t) + у • тd (/), |
||
где хd{t) ~ белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vd.
Наблюдаемая переменная определяется выражением X 0 = l x(t) + v m(t),
где vm( /) - белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vm.
Критерий оптимальности имеет вид
а = A/||[xr (/)-l*jr(/) +p-w2(/)}//|*
Параметры имеют следующие значения: ^ _ о,787; а = 4 6; р = 0,002; у = 0,1; vd= Ю; Vm=W*
Определить матрицы F0, К°\ проверить на устойчивость систему
Х(0 = ( л - К ° С - BF0)с(0 + K°y(t) •
Практическое занятие № 12
СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЖИДАНИЕМ
Теоретические сведения
Система массового обслуживания (СМО) называется системой с ожиданием, если заявка, заставшая все каналы обслуживания занятыми, становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-нибудь канал.
Рассмотрим /7-канальную СМО. Поток заявок пуассоновский с интен сивностью X . X представляет собой среднее число заявок, приходящихся на единицу времени. Поток обслуживания заявок одним каналом пуассо новский с интенсивностью ц. р, представляет собой среднее число об
служенных заявок, приходящееся на единицу времени. Два занятых кана ла имеют интенсивность обслуживания заявок, равную 2 |д. к занятых
каналов имеют интенсивность обслуживания заявок, равную к\х. Число
мест в очереди не ограничено.
Составим перечень состояний системы. Имеем: х0 - все каналы свободны; х { - занят один канал, остальные свободны;
х2 - занято два канала, остальные свободны;
хк- занято к каналов, остальные свободны;
хп - заняты все п каналов;
xn+i - заняты все п каналов, одна заявка стоит в очереди; хп+2 ~ заняты все п каналов, две заявки стоят в очереди;
х„+г - заняты все п каналов, г заявок стоят в очереди. Приведем граф состояния СМО (рис. 12.1).
Обозначим через Pk(t) (к - 0, 1, п+г, ...) вероятности состояний системы в момент времени Л Правило составления дифференциальных уравнений для вероятностей PQ(t), Р{(0, ..., Рп+Г(0> следующее:
1)производная вероятности данного состояния равна определенной сумме слагаемых;
2)число слагаемых равно числу стрелок, соединяющих данное состояние со всеми остальными состояниями;
3)слагаемое берется со знаком “+”, если стрелка направлена к данному
состоянию, и со знаком если стрелка направлена от данного состояния; 4) каждое слагаемое равно произведению вероятности того состояния, из которого выходит стрелка, на интенсивность пуассоновского потока по
этой стрелке.
Пользуясь правилом построения дифференциальных уравнений на основе графа состояний, получим систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний вида
^ at = |
/U O + ц РЛО; |
|
|
= -(А. + ц) • Р, (О + X • P0(t) + 2ц • P2(t); |
|
||
at |
|
|
|
= -(*• + 2ц) P2(t) + X-pt(0 + Зц Рз(0; |
( 12. 1) |
||
|
|
||
<&Л0 |
-(А. + к ц ) - р к( 0 + я,-/»к_| (0 + (* + 1)|х |
Д +.(О; |
|
dt |
|||
|
|
||
= -О - + «и) • р п(О + * • Л_, (О + лц Л*. (О; |
|||
dt |
~{Х + иц) • Pn+r(t) + X • Ря+Г_ ,(0 + «И |
Л+г+ЛО- |
|
|
|
||
Так как СМО может находиться только в одном из состояний, то справедливо соотношение
£ л (о = 1 |
( 12.2) |
к=О |
|
В установившемся режиме имеем
Pk(f) = Pk =consfi |
(12.3) |
||
а д =0. |
Г |
|
|
dt |
|
|
|
результате получим из (12.1) систему алгебраических уравнений |
|||
вида |
|
|
|
О = -А, • Р0 + (I • Рх; |
|
|
|
О = —(A# + ц) • Р\ + А.• JPQ + 2]1• Р2\ |
|
||
О —- (А, + 2ц) • Р2 + А, • Р[ + Зц • Рз \ |
(12.4) |
||
|
|
||
0 = -(X + k\i)-Pk + Х-Рк_{ +(А: + 1)ц-Рк+1; > |
|
||
0 = - (^ + «ц)--Р„ |
+n\i-Pn+ |
|
|
О = - (к + иц) • Pn+r + X ■Рп+гЧ + лц • Рп+г+]. |
|
||
Из 1-го уравнения системы (12.4) имеем |
(12.5) |
||
Pi=-Po=p |
Po ’ |
||
|
|||
где
|
|
X |
|
Р = — ' |
|
||
|
|
Р |
|
Из 2-го уравнения системы (12.4) получим |
|
||
- Х Р 1+ 2цР2 =0; |
Р2 = 1 ^ = ^ - Р 0 |
||
|
|
2 ц |
2 |
Из 3-го уравнения системы (12.4) имеем |
|
||
3[iP3 |
|
р1 = \ ^ р2 = ^ г ° |
|
-ХРХР2 +З^Рг =0- |
|||
Для любого к < п получим |
|
|
|
Для к = п имеем |
II |
агГ°, о** |
|
|
|
|
|
п |
и |
Г » |
|
|
п\■ и |
|
|
(12.6)
(12.7)
( 12.8)