647
.pdfПрименим формулу (13.2) для вычисления передаточной функции, обеспечивающей минимум среднего значения квадрата ошибки упрежде ния.
Прежде всего, необходимо найти нули и полюсы функции S„,(о,).
Имея в виду, что функция Sm((a) - |
четная, и предполагая для |
простоты |
выкладок, что все нули и полюсы простые, можем записать |
|
|
S (со) = С |
с (e> + Yi)---(e>+ yM) , |
(13.4) |
|
..(© + XJ |
|
Найдем функцию ^(усо), имея в виду, что она определяется форму
лой (13.1) и что все ее нули и полюсы должны быть расположены в верх ней полуплоскости.
Сравнивая (13.1) с (13.4), найдем
w /ал = с ( Ц - У |)( Ц - У 2 ) - :1(° ^ | |
03.5) |
Т(-/со) = С |
((0 + У-Хю + У2) - ( ^ + Уц) |
|||
|
т(со + |
+ А,2)...(со + A,v) |
||
Разложим выражение (13.5) для ^(усо) |
на простые дроби: |
|||
|
|
v |
di |
|
^(усо)= I — V -’ |
||||
|
|
/=1С0- Л / |
|
|
где |
|
|
|
|
4 = [ ( ® - М |
* Ы |
) и , |
||
Найдем функцию у (t) вида |
|
|
|
|
у(0 = — |
Тт(усо)е>ш'й(ш- |
|||
|
271 -«я |
|
|
|
Подставляя (13.7) в (13.9), получим |
|
|||
|
1 |
оо v |
d |
|
Y(0 = 3 - |
f |
|
|
|
|
271 - с о /=1 CO— А,- |
|
||
причем |
|
|
|
|
—- f |
|
= d,ejl'' ‘ |
||
2nj |
со -X/ |
|
|
|
Поэтому
(13.6)
(13.7)
(13.8)
(13.9)
y(t) = j i . d le fKl' |
(13.10) |
/=1 |
|
Введем в рассмотрение функцию |
|
m = y(t + to )= £ jd leJM,+l")’ t > °. W0 = 0, t< О ОЗ.П) |
|
/=1 |
|
и вычислим соответствующее ей преобразование Фурье |
|
B(J<o) = ?е”7Ш,Р(0Л = a\e-Ja,,{ i j d ieiXi('+,A d t |
= |
|
(13',2) |
|||||
о |
|
0 |
и=1 |
|
J |
/=1СО—A *j |
|
|
Итак, если все полюсы Sm( СО) - простые, то определим |
Ф(усо) по |
|||||||
формуле |
|
|
v. |
, |
|
|
|
|
|
|
|
cvVo |
|
|
|||
|
|
|
^ |
dj |
|
(13.13) |
||
|
ФО*со) = B(jri) /=i о - А^_____ |
|
||||||
|
|
|
||||||
|
|
4 ^ ( » |
/=ко - |
А., |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Предположим теперь, что некоторые из полюсов функции S„,( СО) яв |
||||||||
ляются кратными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда каждому полюсу кратности |
% в разложении функции ^(усо) |
|||||||
на простые дроби будет соответствовать выражение |
|
|
||||||
- + |
“ /2 |
4-... . |
а |
■ = £ |
^/ст |
(13.14) |
||
где |
- ^ , ) 2 |
( с о - ^ ) х |
ст=| (со — |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
" d° |
|
|
|
|
|
|
(с т -1)! |
^ ((ю -Х ^ 'Р О -ю )) |
|
|
||||
|
d a < |
|
|
|
со=А.у |
|
||
Соотношение для /?,(/ (О) имеет вид |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
В , ( М |
= I |
а юе А ^ °I |
-----1 |
(со — |
1 |
(13.15) |
||
|
с=1 |
' |
п=о(ст-1-г|)! |
)л+1 |
|
|||
Таким образом, каждый кратный полюс с кратностью |
^ дает член |
|||||||
вида (13.15) в числителе выражения для оптимальной передаточной функции.
Если, например, все полюсы - простые, за исключением одного крат
ного полюса А., с кратностью ^ , то |
|
Y a re7Vo - 1- + b tae*"« l ' |
_____?____ |
ф(уш) = — ______ m Xr °=1 |
ч=о (ст-1 —г))! ((0->L,)n+l . (13.16) |
Минимальное среднее значение квадрата ошибки упреждения (пока затель точности системы упреждения) определяется соотношением
^ |
10 |
л |
(13.17) |
|
^min = |
/У |
(0 dt |
||
|
О |
|
|
|
Для полюса \ кратности % определим у ,{t). Имеем |
|
|||
у |
7СТ/ СТ_1 |
(13.18) |
||
У/(0 = z / — — |
||||
|
||||
Решение типовых задач
Задача 13.1. Дано |
|
2р + (0 |
2Р -© |
S M = а 2+(ю + р)2 |
а 2+(ю -р)2_ |
Определить оптимальную передаточную функцию Ф(/СО) прогнози рующего фильтра.
Решение. Запишем Sm( СО) в виде
£*(«>) = |
2Р + со |
_____ 2р - со |
|
со2 + 2pco-f (а2 + р2) |
со2 - 2рсо + (а2 + р^}_ |
||
Отсюда имеем |
|
||
е / |
\ _ [^ 2 ~ 2Рш + (ос2 + Р2 )](2Р + Д>)+ [со2 + 2рсо + (сс2 + р2 ))(2р - со) |
||
w |
Ш |
[со2 + 2Р© + (а2 + р2 )]• [со2 -2рсо + (а2 +P2)J |
|
или
2-JfiyJa2+ р2 • г^Рл/а2 + Р2
[со2 + 2рю+ (а2 + р2 )]•[со2 - 2ра> + (а2 +Р2|
Определим корни 1-го сомножителя в знаменателе Sm(tt>). Имеем
|
|
со2 + 2рсо + (a2 + р2 j = 0 > |
откуда получим |
|
|
|
-2p±V4p2- 4 a 2-4p2 |
|
Ш1,2 |
“ ' |
= -P + ;a - |
|
||
Следовательно, |
cot = ~Р + уос; со2 = -р - j a . |
|
Определим корни 2-го сомножителя в знаменателе Щ ® ). Имеем
со2 -2Роэ + (а2 +Р2)= 0 ,
откуда получим |
|
|
|
|
|
©3.4 = |
2 p ± > p 2 - 4 a 2 - 4 p 2 |
0 j _ . |
|
||
-------------- j |
-------------- |
= Р±70С |
|
||
Следовательно, co3 = p + ya; |
co^ = p - |
ya • |
|
|
|
Введем обозначения |
|
|
|
(13.19) |
|
|
A, = - P + ya; A2 = P + y’a. |
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
со | —А,; |
со3 = A2 5 |
со2 — |
A2 ; |
со^ — |
A | |
Запишем S,„(CO) в виде
2у]$^а2 + p 2 ^ V p V ^ + p 2 |
|
(co - co, )(co - co3 )(co - co2 )(co - co4) |
|
или |
|
2^/рт/а2 + P2 |
2^/p-Ja2 + p 2 |
s m(®)= (© -^^(co-X j) |
(co+ X,)(© + X2) |
Отсюда с учетом (13.4), (13.5) получим
4
ТС/ю) = (со-Х,)(со-Х2)
где Л, =2Л/рЛ/а2 +р2
Ч^у©) содержит полюсы в верхней полуплоскости (рис. 13.2)
Представим ч'(уоо) в виде |
|
||
^ о © ) = —^ г - + - ^ - |
(d } + d 2)(£>+ (-d {k 2 -< j2X,) |
||
(co-X[)(co-X2) |
|||
со-А, |
со- А 2 |
||
(13.20)
(13.21)
Из (13.20), (13.21) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
d x + d 2 - 0 \ |
|
| |
|
|
|
|||
|
|
d\^2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим d\, d2по правилу Крамера. Имеем |
|
|
||||||||
A = л1 |
л11 |
— Я . ] — Х 2 = |
—2Р; |
|
А ] = |
0 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|||||||
Л*2 |
A j |
|
|
|
|
|
- |
4 |
Я, |
|
|
d = |
*L = _ 4 |
d |
|
d |
|
A . |
|
||
Из (13.13) получим |
A |
|
2р |
2 |
1 |
|
2р |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
е Д | ' о |
+ |
d 2 |
|
e J X 2l0 |
|
. . . . |
со -Я , |
|
|
со- |
|
|
|
|||
Ф(уоз) = -------L |
|
|
|
|
|
|||||
или |
|
|
|
со-А, |
|
со- А 2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А\ |
е Д I' O |
| |
d2 |
сАг‘о |
|
||
|
|
со —А/, |
|
|
03 - А,, |
|
|
|
||
ФО'оз) = ------ L |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
(оз —Л., )(03 —Л-2 ) |
|
|
||||
Перепишем Ф(/ СО) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ф ( » = - - |
[с/, (со - |
Я2 )еД|'° + d2(со- |
Я.,)еДг'°]• |
О3-22) |
||||||
В экспоненты |
|
, е |
^ 2‘° |
подставим Я,, и Я2. С учетом (13.19) |
||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e;Vo = е Л - № ) ‘о =e~a‘«(cos$t0 - j s m $ t Q)- |
|
|||||||||
еЯг‘о = е М+Юо - |
е~а<о(cos 3/0 + у sin р/0 ). |
|
||||||||
Подставим полученные выражения в формулу (13.22). Получим |
||||||||||
е~а1° г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ф(усо) = —-—[с/,(со - ^2)(cosP/0 -ysinp/0) + £/2(03-^l)(cosP/0 +ysinPf0)J |
||||||||||
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф(уа)) = —— X {[(У, -\-d2)ay-(dlX2+ rf2A,,)Jcosp/0+ [M j + d2)(a^(dl\2- |
)]уsinр/0). |
|||||||||
Ai
Подставим в полученную формулу d\,d2, к ь к 2. Имеем
|
Ф(у'©) = е ГГcosрг0 ч- —sin pf0а + ~sinpc0(y©)^ |
1 |
|
|
V |
Р У Р |
|
ИЛИ |
|
|
|
|
Ф(уш) = е |
а,° [а(усо) + б]> |
|
где |
a = isinp?0; |
|
|
|
сх |
|
|
|
Ъ- cospr0 + — sinpf0. |
|
|
Задачи для самостоятельного решения
Задача 13.2. Дано
2D„,CL
со2 +Х2
Определить оптимальную передаточную функцию Ф(/ СО) прогнози рующего фильтра.
Задача 13.3. Дано
1 1
_сс2+(со + Р)2 а 2 ч-(со—Р)2
Определить оптимальную передаточную функцию Ф(/ СО) прогнози рующего фильтра.
Задача 13.4. Дано |
|
|
|
|
S »<“ ) = |
со |
4 |
‘ |
2 . |
|
|
+ 2оо |
+4 |
Определить оптимальную передаточную функцию Ф(/(0 ) прогнози рующего фильтра.
Указание. Представить знаменатель S„,( СО ) в виде
©4 + 2©2 + 4 = (у©)4 - 2(у©)2 +4 =[(у©)2 + А ■(у©) + 2j(y©)2 - А ■(у©) + 2]=
= (У©)4 + (4 - А2)- (у©)2 + 4 Определить А:
4 - А2 = - 2; А2 = 6; А = 4б.
Найти корни полинома ( jсо)2 + Тб • (усо) + 2 •
О'со)2 + ч/б-(у©)+ 2 = 0;
О |
) 1,2 |
■л/з ± у |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||
|
|
V2 |
|
|
|
|
/ • |
ч |
—Тз + 7 |
/ • ч |
; |
—л/3 —у |
|
С/®),= |
— |
|
(уо>)2= |
|||
Отсюда |
|
л/2 |
|
|
V2 ‘ |
|
1+уЧ/з |
-1+у7з |
|||||
|
||||||
&>, = — |
— = Л,; |
|
|
^ — = ^2. |
||
л/2
Записать ^Р(усо).
Задача 13.5. Дано
1
©4 +1
Определить оптимальную передаточную функцию Ф(/СО) прогнози рующего фильтра.
Указание. Представить знаменатель Sm{со) в виде
со4 +1 = (у©)4 +1 = [о©)2 + А ■(у©) + фу©)2 - А • (у©) + 1]=
=(у©)4 + ( 2 - ^ 2)-0®)2 +1
Определить А\
2 - А2 =0; А2 = 2; A = J 2.
Найти корни полинома (у©)2 + 72 • О‘(о)!+1:
(у©)2 +ч/2 -(у®) + 1 = 0;
/ • ч - 1 ± У
Отсюда
1+у « |
—1+у |
« |
* |
-Л,,; со2 - |
^ |
- ^ 2 |
Записать ^ О '03)
s - ( e , - ( ? W
Определить оптимальную передаточную функцию Ф(/со) прогнози рующего фильтра.
Указание. Использовать формулы (13.14), (13.15) при а = 2.
Задача 13.7. Дано
s - w - < ? W
Определить оптимальную передаточную функцию Ф(/СО) прогнози рующего фильтра.
Указание. Использовать формулы (13.14), (13.15) при а =3.
Задача 13.8. Дано
_____2(а2 - Р 2)
5»(®) = [(а - Р)2 + © Д [(а + Р)2 + со2 ]
где X > Р
Определить оптимальную передаточную функцию Ф(/со) прогнози рующего фильтра.
Практическое занятие № 14
МЕТОДЫ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ
Теоретические сведения
Любое сообщение, с которым мы имеем дело в теории информации, представляет собой совокупность сведений о некоторой физической системе. Например, на вход автоматизированной системы управления производ ственным цехом может быть передано сообщение о нормальном или повы шенном проценте брака, о химическом составе сырья или температуре в печи.
Очевидно, если бы состояние физической системы было известно зара нее, не было бы смысла передавать сообщение.
В качестве объекта, о котором передается информация, мы будем рас сматривать некоторую физическую систему X , которая случайным образом может оказаться в том или ином состоянии, т.е. систему, которой заведомо присуща какая-то степень неопределенности. Очевидно, сведения, получен ные о системе, будут тем ценнее и содержательнее, чем больше была неопре деленность системы до получения этих сведений. Возникает вопрос: что зна чит “большая” или “меньшая” степень неопределенности и чем можно ее измерить.
Степень неопределенности физической системы определяется не только числом ее возможных состояний, но и вероятностями состояний.
Рассмотрим некоторую систему X, которая может принимать конечное
множество состояний: х г х2, ..., *п с вероятностями Pr Pv |
..., Рп, где |
|
Р - вероятность того, что система X примет состояние х.. |
|
|
Р = Р(Х=х) |
' |
(14.1) |
В качестве меры неопределенности системы в теории информации применяется специальная характеристика, называемая энтропией. Понятие об энтропии является в теории информации основным.
Энтропией системы называется сумма произведений вероятностей различных состояний системы на логарифм этих вероятностей, взятая с
обратным знаком: |
„ |
(14.2) |
|
H(X) = -'LPl \og2Pi. |
Энтропия Н(Х) обладает рядом свойств, оправдывающих ее выбор в качестве характеристики степени неопределенности. Во-первых, она обра щается в нуль, когда одно из состояний системы достоверно, а другие невозможны. Во-вторых, при заданном числе состояний она обращается в максимум, когда эти состояния равновероятны, а при увеличении числа состояний она увеличивается.
Измерим энтропию системы X , которая имеет п равновероятностных состояний:
X,- |
Х\ |
* 2 |
Х„ |
|
Pi |
1 |
1 |
1 |
|
п |
п |
п |
||
|
Имеем
Н { Х ) = - п • —• log2 —= - log2 1 + log2 п
пп
или
Н ( Х ) = log2 п, |
(14.3) |
т.е. энтропия системы с равновозможными состояниями равна логарифму числа состояний.
Вычисление энтропии по формуле (14.2) можно несколько упростить,
если ввести в рассмотрение специальную функцию: |
|
T\(P) = -P \og2P. |
(14.4) |
Формула (14.2) принимает вид |
|
Я (Х ) = Х 7^ ) - |
(14-5) |
1=1 |
|
Рассмотрим совместную энтропию статистически |
независимых ис |
точников сообщений. Пусть имеются два статистически независимых ис точника X и У, причем множество состояний jcb ..., х„ принадлежит источ
нику^, а у\, ...,у т- |
источнику Y. При этом |
|
|
|
ZP(x,.) = l; |
1 ? ( ^ . ) = 1. |
|
|
<=1 |
j=\ |
|
Если источники X и Y статистически не связаны между собой, то |
|||
Р {Х = x„ Y = У]) = P(Xi, y j ) = Р(х()Р (^ .). |
(14.6) |
||
Используя (14.2) и (14.3) для энтропии Н{Х, Y) системы с состояния |
|||
ми (х„ yj), получим выражение |
|
|
|
Z |
W y ) log2 Д w |
, ) = |
|
Я (*,У )= -Z/у Д |
|
|
|
= -Z Z Д х ,)Д ^ )[1о& Дх,) + log2 P{yj)} = |
|
||
/у |
|
|
|
= -Z Д*, )log2 Дх,) -Z Д у,)1о6 Р(у}.) =Н(Х) + Я(У). |
|
||
/ |
у |
|
|
Следовательно, совместная энтропия статистически независимых ис точников равна сумме энтропий этих источников. Этот вывод распро страняется и на большее число статистически независимых источников.