519

Пример решения задачи в Microsoft Excel

Постановка задачи

При изготовлении трех видов изделий А, В, С, могут быть использованы три вида взаимозаменяемого сырья (S1, S2, S3). В табл. 3.2.1 даны нормы расхода каждого вида сырья на единицу изделия (кг), количества сырья (кг), прибыль от единицы изделия (руб.).

Составить оптимальную программу использования сырья с целью получения максимальной прибыли. Необходимо построить модель, найти оптимальное решение, проанализировать результаты.

Таблица 3.2.1

Исходные данные

Моделирование

Обозначим переменные величины:

х11 – количество изделий А из первого сырья; х12 – количество изделий В из первого сырья; х13 – количество изделий С из первого сырья; х21 – количество изделий А из второго сырья; х22 – количество изделий В из второго сырья; х23 – количество изделий С из второго сырья; х31 – количество изделий А из третьего сырья; х32 – количество изделий В из третьего сырья;

81

х33 – количество изделий С из третьего сырья. Тогда целевая функция

z = 4x11 + x21 + 5x31 + 3x12 + 3x22 + 2x32 + 2x13 + 4x23 + 3x33 →

→max – максимумприбыли. Система ограничений примет вид

xij ≥ 0; i = 1,3; j = 1,3.

Решение

На рабочий лист Excel введем исходные данные и таблицу с изменяемыми ячейками (рис. 3.2.1).

Рис. 3.2.1. Исходные данные и таблица с изменяемыми ячейками

ЯчейкиК3:М5 предназначеныдлязначенийпеременных. О7 – целевая ячейка, в которой будет размещена фор-

мула целевой функции.

Ограничения на количество сырья – введем формулу =СУММПРОИЗВ(В3:D5;K3:M5) в ячейку N3 и растянем на ячейки N3:N5.

Введем формулу =СУММПРОИЗВ(F3:H5;K3:M5)

вячейку O7 – целевая функция.

Вячейку К6 введем формулу суммы для всех изделий =СУММ (К3:К5) и растянем в ячейки К6:М6.

82

Рис. 3.2.2. Диалоговое окно Поиск решения

Для поиска оптимального плана производства изделий, который соответствует максимальному значению целевой функции, воспользуемся надстройкой Поиск решения. Заполним диалоговое окно надстройки Поиск реше-

ния (рис. 3.2.2):

1.В поле Оптимизировать целевую ячейку введите адрес ЦФ О7.

2.Ниже выберите параметр Максимум.

3.В поле Изменяя ячейки переменных введите диапа-

зон ячеек с искомыми переменными К3:М5.

83

4.Установите флажок Сделать переменные без ограничений неотрицательными и выберите параметр Поиск решения линейных задач симплекс-методом.

5.Щелчком по кнопке Добавить вызовите окно Добавление ограничения. В этом окне выполните ссылки на ячейки ограничений, а также выберите оператор ограничений. Для решения данной задачи нам необходимо ограничение на количество сырья N3:N5 ≤ O3:O5.

6.Нажав кнопку Найти решения, получим результаты решения.

В окне Результаты поиска решения выберем отчет и сохраним полученный результат как сценарий (кнопка

Сохранить сценарии) с именем Ресурсы.

На рис. 3.2.3 приведен оптимальный план производства изделий.

Рис. 3.2.3. Результаты выполнения поиска решения

Анализ отчетов

Отчет о результатах, полученный на компьютере, представлен на рис. 3.2.4.

84

Рис. 3.2.4. Фрагмент листа Excel с отчетом о результатах

Отчет об устойчивости, полученный на компьютере, представлен на рис. 3.2.5.

Рис. 3.2.5. Фрагмент листа Excel с отчетом об устойчивости

Отчет о пределах, полученный на компьютере, представлен на рис. 3.2.6.

85

Рис. 3.2.6. Фрагмент листа Excel с отчетом о пределах

Анализ отчетов и выводы по анализу представлены в п. 2.6 и 2.7.

3.3.Задача о назначении

Впроцессе управления производством зачастую возникают задачи назначения исполнителей на различные виды работ, например: подбор кадров и назначение кандидатов на вакантные должности, распределение источников капитальных вложений между различными проектами научно-технического развития, распределение экипажей самолетов между авиалиниями.

Задача о назначении – частный случай транспортной задачи. Это класс так называемых распределительных задач. Они могут быть решены в рамках теории линейного программирования, если распределяется однородный ресурс. Например, в задаче о назначении все работники могут выполнять любую из предложенных работ, все экипажи самолетов направляться на любую авиалинию.

86

Название задачи о назначении непосредственно исходит от практической кадровой ситуации, когда претендентов нужноназначитьнавакантныедолжностинаилучшимобразом.

Критерий максимизации общего эффекта используется тогда, когда известны заданные оценки способности каждого претендента исполнять определенные функции (чем выше, тем лучше); минимизации – когда известна, заданная величина затрат на подготовку каждого претендента для определенной деятельности (чем выше, тем хуже).

Особенность задачи о назначении в том, что наличие высокой оценки еще не гарантирует успех, поскольку целью оптимизации является максимальный общий эффект. Вторая особенность в том, что переменные являются булевымипеременными, т.е. принимаютзначения «0» либо «1».

Постановка задачи

Задачу о назначениях можно сформулировать следующим образом. Необходимо выполнить M различных работ. Для их выполнения можно привлечь N рабочих. Каждый рабочий за определенную плату готов выполнить любую работу. Выполнение любой работы следует поручить одному рабочему, и каждый рабочий может выполнять только один вид работы. Требуется так распределить работы между рабочими, чтобы общие затраты на выполнение всех работ были минимальными.

Закрытая модель задачи о назначении

Предполагается, что количество рабочих равно количеству работ и равно m.

Математическаямодельзадачионазначенииприметвид

при следующих условиях:

87

где сij – показатель эффективности назначения i-го рабочего на j-й работе, например производительность выполнения i-м рабочим j-й работы;

xij – переменная модели (хij = 1, если i-й рабочий используется на j-й работе, и xij = 0 в противном случае).

(3.3.1) – целевая функция (минимум издержек на выполнение всех работ);

(3.3.2), (3.3.3) – система ограничений, отражающая следующие условия:

а) каждаяработадолжнабытьвыполненаоднимрабочим; б) каждыйрабочийможетбытьпривлеченкоднойработе; (3.3.4) – условия неотрицательности переменных.

При решении задачи о назначениях исходной информацией является таблица задачи о назначениях с = {сij}, элементами которой служат показатели эффективности назначений. Для задачи о назначениях, записанной в закрытой форме, количество строк этой таблицы совпадает с количеством столбцов (табл. 3.3.1).

Таблица 3.3.1 Исходные данные задачи о назначении

Результатом решения задачи о назначениях (3.3.1)– (3.3.4) является вектор x* xij* , компоненты которого

целые числа.

Оптимальный план задачи о назначениях (3.3.1)–(3.3.4) можно представить в виде квадратной матрицы назначений, в каждой строке и в каждом столбце которой находится ровно одна единица. Такую матрицу иногда называют матрицей перестановок. Значение целевой функции (3.3.1), соответствующее оптимальному плану, называют эффективностью назначений.

Открытая модель задачи о назначении

Задача о назначениях в открытой форме возникает тогда, когда количество рабочих не равно количеству работ. В этих случаях задача может быть преобразована в закрытую модель.

Пусть, например, количество рабочих п превышает количество работ m.

Введем дополнительные фиктивные работы с индексами j = m + 1, m + 2, ..., п. Коэффициенты таблицы назначений сij , i = 1, ..., п; j = m + 1, ..., п положим равными нулю. В этом случае получаем задачу, сформулированную в закрытой форме. Если в оптимальном плане этой задачи xij* = 1 при j = т + 1, ..., п, то исполнитель i назначается на выполнение фиктивной работы, т.е. остается без работы. Заметим, что оптимальное значение целевой функции исходной задачи совпадает с оптимальным значением задачи, приведенной к закрытой форме. Поэтому эффективность назначений в результате такого преобразования не меняется.

89

Пример решения задачи в Microsoft Excel

Постановка задачи

Предприятие объявило набор работников для нового цеха – указало названия трех должностей. Кадровая служба собрала четырех претендентов на эти должности, провела тестирование и определила эффект от выполнения работы каждым претендентом.

Нужно назначить на вакантные должности претендентов таким образом, чтобы общая эффективность выполняемых ими работ была максимальной.

Исходныеданныедлярешенияпредставленывтабл. 3.3.2.

Моделирование

Обозначим переменные величины: хij – искомые переменные;

х11 – назначение работника № 1 на должность а1; х12 – назначение работника № 1 на должность а2; х13 – назначение работника № 1 на должность а3;

х14 – назначение работника № 1 на должность а4 (фиктивная работа).

Аналогично для остальных претендентов. Тогда целевая функция

90