519

Оптимальное значение целевой функции

z(х)max = 57 143 руб.

Значения основных переменных:

x1 = 571, x2 = 0,1, x3 = 143, x4 = 286.

Отчет об устойчивости, полученный на компьютере, представлен на рис. 3.7.5.

Рис. 3.7.5. Фрагмент листа Excel с отчетом об устойчивости

Отчет о пределах, полученный на компьютере, представлен на рис. 3.7.6.

Рис. 3.7.6. Фрагмент листа Excel с отчетом о пределах

Анализ отчетов и выводы по анализу представлены в п. 2.6 и 2.7.

141

3.8.Планирование финансов

Вданном параграфе показаны возможности использования модели линейного программирования для решения некоторых задач планирования финансов. При определенных предположениях становится возможным выбрать такие способы вложения денег под проценты, совокупность которых позволяет минимизировать первоначальный вклад, необходимый для выплаты займа, или максимизировать доход. При решении задач финансового планирования можно учитывать риск и другие факторы, влияющие на выбор способов вложения денег.

Постановка задачи минимизации целевого фонда

Предположим, что в определенные моменты времени необходимо выплачивать известные суммы денег по взятому ранее займу. Чтобы накопить эти суммы, можно заранее создать целевой фонд, а средства из этого фонда использовать для срочных вкладов. Каждый срочный вклад характеризуется моментом времени вложения, сроком погашения и доходностью. Задача состоит в том, чтобы определить минимальный размер целевого фонда и выбрать те виды срочных вкладов, которые следует использовать, чтобы сделать выплату по займу.

Моделирование

Обозначения:

y – размер целевого фонда, создаваемого в нулевой момент времени;

t – текущий момент времени, t = 0, 1,.... Т;

dt – размер выплаты по займу, которую надо произвести в момент времени t (t = 1, ..., Т);

142

j – индекс срочного вклада, j = 1, ..., п;

vj – момент времени вложения по срочному вкладу j; wj – срок выплаты по срочному вкладу j;

rj – доходность срочного вклада j (процент по вкладу); хj – объем вложений по срочному вкладу j. Предполагается, что для любого срочного вклада j

момент времени вложения vj фиксирован. Если по срочному вкладу сделаны вложения в размере хj, то через wj единиц времени вкладчику выплачивается сумма (1 + rj)хj. Без ограничения общности можно считать, что для любого момента времени существует такой вклад, выплата по которому производится в следующий момент времени. При этом доходность такого вклада может быть нулевая. Использование вклада с нулевой доходностью означает, что деньги остаются на руках у владельца.

Пусть Gt – множество индексов j, таких, что t = vj, т.е. по вкладу j сделано вложение в момент времени t, Qt – множество индексов j, таких, что t = vj + wj, т.е. по вкладу j получена выплата в момент времени t.

Заметим, что для любого t множества Gt и Qt известны. Математическая модель задачи минимизации целево-

го фонда примет вид

(3.8.1) – целевая функция (минимальный размер целевого фонда);

(3.8.2) – условие, характеризующее распределение целевого фонда по вкладам в нулевой момент времени;

(3.8.3) – соотношения, устанавливающие баланс между выплатами и вложениями;

(3.8.4) – условие, обеспечивающее выплату по займу; (3.8.5) – условия неотрицательности переменных.

Постановка задачи максимизации дохода

Предположим теперь, что вкладчик собирается делать вклады для того, чтобы через определенный период времени получить максимальный доход. Задача состоит

втом, чтобы определить величину максимального дохода при фиксированном размере целевого фонда и выбрать те виды срочных вкладов, которые следует использовать.

Сохраним принятые ранееобозначения и введем новые: d – размер дохода, который может получить вкладчик

вмомент времени Т;

иt – размервкладавмомент времени t (t = 0, 1, ..., Т – 1). Математическая модель задачи максимизации дохода

примет вид

(3.8.6) – целевая функция (максимальная величина дохода);

(3.8.7) – условие, характеризующее распределение вклада в нулевой момент времени;

(3.8.8) – соотношения, устанавливающие баланс между выплатами и вложениями;

(3.8.9) – условие, определяющее величину дохода; (3.8.10) – условия неотрицательности переменных.

Пример решения задачи в Microsoft Excel

Постановка задачи

Инвестор принимает решение о вложении капитала в1 млнруб. Выбраныакциитрехпредприятий– А, ВиС. При принятиирешениятребуетсяучестьследующиеусловия:

–Доля наиболее надежных акций должна быть не менее трети суммарного объема капитала.

–Доля акций с наивысшим доходом должна быть по крайнеймеренеменеесуммы, вложеннойвостальныеакции.

–Доля, приходящаяся на каждый тип акций, не может

быть менее 1 тыс. руб. Данные по дивидендам акций (в %) и по надежности (в баллах) приведены в табл. 3.8.1.

Выясним, какую максимальную прибыль можно получить в первый год.

Моделирование

Обозначим переменные величины:

х1 – объем инвестиций, вложенных в акции № 1; х2 – объем инвестиций, вложенных в акции № 2; х3 – объем инвестиций, вложенных в акции № 3. Тогда целевая функция

z = ax1 + bx2 + cx3 → max,

где a, b и с – дивиденды по каждому типу акций (%). Система ограничений примет вид

Решение

На рабочий лист Excel введем исходные данные и таблицу с ограничениями (рис. 3.8.1).

Диапазон ячеек D3:D5 предназначен для значений переменных– объемоввложенийвакции(изменяемыеячейки).

D6 – целевая ячейка с расчетной формулой годовой прибыли =CУMMПРОИЗВ(B3:B5;D3:D5).

Диапазоны ячеек C8:C13 и E8:E13 содержат ограничения, учитывающие условия размещения капитала. В них использованы ссылки на ячейки, предназначенные для переменных, а также расчетные формулы.

146

Рис. 3.8.1. Исходные данные и таблица с ограничениями

Вячейку C8 запишем формулу =СУММ(D3:D5), а в ячейку E8 – =E3.

Вячейку C9 запишем формулу =D4, а в ячейку E9 – =E3/3.

Вячейку C10 запишем формулу =D3, а в ячейку E10 –

=СУММ(D4:D5).

Вячейки C11, C12, C13 запишем формулы =D3; =D4; =D5, а в ячейки E11, E12, E13 поставим значения 1000.

Для поиска оптимального набора значений параметров рациона, который соответствует минимальному значению целевой функции, воспользуемся надстройкой Поиск решения. Заполним диалоговое окно надстройки

(рис. 3.8.2):

1. В поле Оптимизировать целевую ячейку введите адрес ЦФ D6.

2. Ниже выберите параметр Максимум.

147

Рис. 3.8.2. Диалоговое окно Поиск решения

3.В поле Изменяя ячейки переменных введите диапа-

зон ячеек с искомыми переменными D3:D5.

4.Установите флажок Сделать переменные без ограничений неотрицательными и выберите параметр Поиск решения линейных задач симплекс-методом.

5.Щелчком по кнопке Добавить вызовите окно Добавление ограничения. В этом окне выполните ссылки на ячейки ограничений, а также выберите оператор ограничений. Для решения данной задачи нам необходимы следующие ограничения:

148

–C8 ≤ E8 – условие ограничения по суммарному объему вложений;

–С9 ≥ E9 – условие ограничения по надежности акций;

–С10 ≥Е10 – условиеограниченияподоходностиакций;

–С11:С13 ≥ Е11:Е13 – условие ограничения по вложениям во все акции.

6. Нажав кнопку Найти решения, получим результаты решения.

В окне Результаты поиска решения выберем отчет

исохраним полученный результат как сценарий (кнопка

Сохранить сценарии) с именем Акции.

На рис. 3.8.3 приведен оптимальный объем вложений

игодовой доход.

Рис. 3.8.3. Результаты выполнения поиска решения

Анализ отчетов

Значение целевой функции z(x)max = 86 632 руб.

Значения переменных:

х1 = 665 667 руб., х2 = 333 333 руб., х3 = 1000 руб.

Максимальный доход от вложения в акции составит 86 632 руб., при этом объем инвестирования будет следующим: в акции № 1 – 665 667 руб.; в акции № 2 – 333 333 руб. и в акции № 3 – 1000 руб.

149

3.9. Целочисленные задачи линейного программирования

Нередко приходится рассматривать задачи, в которых неизвестные величины могут принимать только целочисленные значения, например задачи, связанные с определением необходимого числа рабочих мест или количества дорогостоящих станков. При решении таких задач с целочисленными переменными методы линейного (выпуклого) программирования неприменимы.

Другая сфера применения целочисленных моделей – выбор вариантов. В соответствующих задачах все или некоторые переменные могут принимать только два значения: 0 или 1. Такие переменные носят название булевых.

Наиболее известные методы решения целочисленных задач – метод отсечения и метод ветвей и границ. Они были разработаны в начале 60-х годов XX века и затем неоднократно усовершенствовались и модифицировались. Решения примеров и задач, приводимых в этом параграфе, получены с помощьюметодаветвейигранициявляютсяточными.

Дискретные (целочисленные) задачи математического программирования могут возникать различными путями. Существуют задачи линейного программирования, которые формально к целочисленным не относятся (требование целочисленности переменных в них в явном виде не накладывается), но которые при целочисленных исходных данных всегда обладают целочисленным планом. Этим свойством обладают транспортная задача и различные ее варианты (задача о назначениях).

Первоначальным стимулом к изучению целочисленных идискретных задач явилось рассмотрение задач линейного программирования, в которых переменные представляли фи-

150