519

должен быть оптимальным с точки зрения выбранного критерия – максимума прибыли, минимума затрат на производство и т.д.

Имеется m видов ресурсов в количествах b1, b2, ..., bт, которые могут быть использованы при производстве n видов продукции. Известны нормы расхода i-го вида ресурса на производство единицы j-го вида продукции (aij). Эффективность выпуска единицы j-й продукции характеризуется коэффициентом cj. Определить план выпуска изделий (оптимальный ассортимент), при котором суммарный показатель эффективности принимает наибольшее (наименьшее) значение и расход ресурсов каждого вида не превышает имеющегося объема.

Моделирование

Обозначим оптимальный план выпуска каждого вида продукции соответственно через x1, x2, ..., xn. Тогда математическая модель задачи примет вид

(3.1.1) – целевая функция (максимум); (3.1.2) – система специальных ограничений на объем

фактически имеющихся ресурсов;

61

(3.1.3) – система общих ограничений (на неотрицательность переменных).

Задача (3.1.1)–(3.1.3) называется задачей линейного программирования в стандартной форме на максимум.

Вектор х = (x1, x2, ..., xn), компоненты хj которого удовлетворяют ограничениям (3.1.2) и (3.1.3), называется допустимым решением или планом ЗЛП.

Совокупность всех планов называется областью определения.

Допустимое решение ЗЛП, на котором целевая функция (3.1.1) достигает максимального (минимального) значения, называется оптимальным решением ЗЛП.

Численное значение переменных xj можно получить, используя симплексный метод.

Замечание: кроме указанных ограничений по ресурсам (3.1.2), в условие задачи, а следовательно, и в ее математическую модель могут вводиться дополнительные ограничения на планируемый выпуск продукции (ограничения по ассортименту, условия комплектности и т.д.).

Например, дополнительные условия, чтобы изделий третьего вида производилось не меньше k штук, а количество изделий первого и второго вида относилась как 1:2, запишутся в виде

С каждой ЗЛП связывают другую ЗЛП, которая записывается по определенным правилам и называется двойственной ЗЛП.

62

Изменим значение правой части bi одного основного ограничения исходной ЗЛП. Пусть bi′ – минимальное значение правой части основного ограничения, при котором решение у* двойственной задачи не изменится. Тогда величину bi′ называют нижней границей устойчивости по правой части ограничения. Пусть bi′′ – максимальное значение правой части основного ограничения, при котором решение y* двойственной задачи не изменится. Тогда величину bi′′ называют верхней границей устойчивости по правой части ограничения.

Изменим значение одного коэффициента сj целевой функции исходной ЗЛП.

Пусть сj′ – минимальное значение коэффициента целевой функции, при котором оптимальное решение x* исходной задачи не изменится. Тогда величину сj′ называют нижней границей устойчивости по коэффициенту целевой функции. Пусть сj′′ – максимальное значение коэффициента целевой функции, при котором оптимальное решение х* исходной задачи не изменится. Тогда величину сj′′ называют верхней границей устойчивости по коэффициенту целевой функции.

Пример решения задачи в Microsoft Excel

Постановка задачи

Запланировать производство четырех видов деталей № 1, № 2, № 3, № 4 на участке, располагающем пятью группами металлорежущего оборудования.

Исходные данные задачи представлены в табл. 3.1.1.

64

Определить оптимальный ассортимент по критерию:

1.Максимум товарной продукции.

2.Максимум товарной продукции, если деталей № 2

в2 раза больше, чем деталей № 3.

3.Минимум суммарной себестоимости, если объем производства всех деталей 2000 руб.

4.Максимум товарной продукции, если дополнительно заданы затраты рабочего времени в часах на единицу каждого изделия: 5; 6; 7; 4 ч, а фонд рабочего времени составляет 900 ч.

Дать сравнительный анализ результатов решения по первым четырем задачам.

5.Определить в первой задаче, как повлияет на объем товарной продукции увеличение каждого из видов ресурсов на единицу. По первому критерию определить максимальное увеличение дефицитного ресурса, при котором сохраняется устойчивость двойственной оценки. Оценить

65

изменение целевой функции при увеличении дефицитного ресурса, если двойственная оценка устойчива.

Модель 1

Обозначим переменные величины:

х1 – количество выпускаемых деталей № 1; х2 – количество выпускаемых деталей № 2; х3 – количество выпускаемых деталей № 3; х4 – количество выпускаемых деталей № 4. Тогда целевая функция

z = 80x1 + 90x2 + 100x3 + 70x4 → max.

Система ограничений:

x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

Решение

Найдем решение путем оптимизированного компьютерного моделирования в среде электронных таблиц

MS Excel.

На рабочий лист Excel введем исходные данные

(рис. 3.1.1).

Для нахождения целевой функции следует использовать функцию Excel СУММПРОИЗВ из категории математических: =СУММПРОИЗВ(В9:E9:B10:E10). Значение введенной целевой функции равно нулю, так как значения объема производства тоже пока нулевые (рис. 3.1.2).

66

Рис. 3.1.1. Исходные данные

Рис. 3.1.2. Диалоговое окно функции СУММПРОИЗВ для ввода целевой функции

При вводе формул ограничений по материалу следует вновь использовать формулу СУММПРОИЗВ. При этом формулу достаточно ввести один раз в ячейку G3 (=СУММПРОИЗВ($B$11:$E$11;B3:E3), сделав абсолют-

ные ссылки на диапазон ячеек, где хранятся значения пе-

67

ременных (рис. 3.1.3). Затем растянуть формулу для всех остальных ограничений в диапазоне G3:G7.

Рис. 3.1.3. Диалоговое окно функции СУММПРОИЗВ для ввода ограничений по материалу

Оптимизация рассматриваемой модели, т.е. поиск неизвестных, при которых достигается максимум целевой функции и удовлетворяются все введенные условия, выполняется встроенной процедурой автоматического поиска решения. На закладке Данные в группе Анализ необходимо вызвать диалоговое окно Поиск решения, в котором произвести следующие установки (рис. 3.1.4):

1.В поле Оптимизировать целевую ячейку введите адрес ЦФ G11.

2.Ниже выберите параметр Максимум.

3.В поле Изменяя ячейки переменных введите диапа-

зон ячеек с искомыми переменными B10:G10.

68

Рис. 3.1.4. Диалоговое окно Поиск решения

4.Установите флажок Сделать переменные без ограничений неотрицательными и выберите параметр Поиск решения линейных задач симплекс-методом.

5.Щелчком по кнопке Добавить вызовите окно Добавление ограничения. В этом окне выполните ссылки на ячейки ограничений, а также выберите оператор ограничений. Аналогично введите другие ограничения.

6.Введите ограничение по целостности переменных среди прочих операторов ограничений, если необходимо, чтобы значения были целыми числами.

69

7.Задав ограничения, из окна Поиск решения кнопкой Параметры вызовите окно Параметры, где установите необходимые настройки и нажмите ОК (для решения простых задач настройки можно оставить по умолчанию).

8.Кнопкой Найти решение запустите процедуру выполнения поиска решения.

Выполнение процедуры завершается выводом окна

Результаты поиска решения.

Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены. Устанавливаем флажок в положе-

нии Сохранить найденное решение. Для анализа резуль-

татов решения задачи сформируем отчет, для этого выделяем Отчеты (рис. 3.1.5). Отчет автоматически сформируется на отдельном листе Excel.

Рис. 3.1.5. Диалоговое окно Результаты поиска решения

Запускаем операцию Сохранить сценарий, в окне вводим имя сценария и нажимаем ОК (рис. 3.1.6).

70