519

(3.5.18) – целевая функция (минимум затрат на транспортировку и ввод мощностей);

(3.5.19) – ограничения по величине предложения вкаждом существующем пункте производства;

(3.5.20) – ограничения по величине предложения в каждом новом пункте производства;

(3.5.21) – ограничения по величине спроса в каждом пункте потребления;

(3.5.22) – условиянеотрицательностиобъемовперевозок. Помимо непрерывных переменных xij в модель включены булевы переменные zi. Задача (3.5.18)–(3.5.22) является задачей линейного программирования со смешанны-

ми переменными.

Все приведенные модели описывают транспортную задачу в виде задачи линейного программирования. В такой форме она может быть решена стандартными средствами линейного программирования, например симплексметодом.

Для решения транспортной задачи могут быть использованы также и менее трудоемкие (по объему вычислений) алгоритмы, например метод потенциалов.

111

Большинство специальных алгоритмов решения транспортной задачи используют исходную информацию в форме транспортной (табл. 3.5.1).

Таблица 3.5.1 Исходные данные для решения транспортной задачи

Примеры решения задач в Microsoft Excel Транспортная задача с закрытой моделью

Постановка задачи

Имеется три поставщика (а1, а2, а3) с запасами одного продукта в количествах: 30, 40, 20 единиц соответственно. Имеется четыре потребителя этого продукта (b1, b2, b3, b4) с заданными потребностями. Дана стоимость перевозки единиц груза по всем маршрутам (табл. 3.5.2). Суммарные запасы равны суммарным потребностям.

Необходимо определить план доставки грузов от поставщиков потребителям при условии минимальной суммарной стоимости всех перевозок.

112

Моделирование

Обозначим переменные величины:

хij – количество груза, перевозимого от i-го поставщика к j-му потребителю;

х11 – количество груза, перевозимого от поставщика

а1 к потребителю b1;

х12 – количество груза, перевозимого от поставщика

а1 к потребителю b2;

х13 – количество груза, перевозимого от поставщика

а1 к потребителю b3;

х14 – количество груза, перевозимого от поставщика а1 кАналогичнопотребителюдляb4.остальных поставщиков.

Тогда целевая функция

z = 2x11 + 3x12 + 5x13 + 4x14 + 3x21 + 2x22 +

+ 4x23 + 1x24 + + 4x31 + 3x32 + 2x33 + 6x34 → min.

Система ограничений:

хij ≥ 0.

113

Решение

На рабочий лист Excel введем исходные данные и таблицу с изменяемыми ячейками (рис. 3.5.1).

Рис. 3.5.1. Исходные данные и таблица с изменяемыми ячейками

Ячейки I4:L6 предназначены для значений переменных (это изменяемые в процессе поиска решения ячейки), в них появится искомое количество перевозимой продукции по завершении поиска решения.

N9 – целевая ячейка, в которой будет размещена формула целевой функции.

В таблице «План доставки» продублированы столбец «Запас ресурсов на складе» и строка «Потребность» (с помощью ссылок), добавлены:

–столбец «Использовано»;

–строка «Объем доставки».

Заполним таблицу «План доставки» формулами, необходимыми для создания ограничений:

–ограничения на запасы – в ячейку M4 столбца «Использовано» введем =СУММ(I4:L4), а затем растянем эту формулу в ячейки M5:M6;

–ограничения на потребности – в ячейку I7 строки Объем доставки введем =СУММ(I4:I6) и растянем ее

вячейки J7:L7.

114

Запишем общие суммы по столбцам и строкам:

–в ячейку N7 – по столбцу Запасы на складе

=CУMM(N4:N6);

–в ячейку M8 – по столбцу Потребность

=СУММ(I8:L8);

–в ячейку N8 введем логическую формулу для контроля общих сумм: =ЕСЛИ(M8=N7; Закрытая модель;

Открытая модель) (рис. 3.5.2).

Рис. 3.5.2. Диалоговое окно логической функции Если

В ячейку N9 запишем формулу для целевой функции

=СУММПРОИЗВ(B4:E6;I4:E6).

Для поиска оптимального набора значений параметров плана доставки, который соответствует минимальному значению целевой функции, следует воспользоваться надстройкой Поиск решения. Заполним диалоговое окно надстройки (рис. 3.5.3):

1.В поле Оптимизировать целевую ячейку введите адрес ЦФ N9.

2.Ниже выберем параметр Минимум.

115

Рис. 3.5.3. Диалоговое окно Поиск решения

3.В поле Изменяя ячейки переменных введите диапа-

зон ячеек с искомыми переменными I4:L6.

4.Установите флажок Сделать переменные без ограничений неотрицательными и выберите параметр Поиск решения линейных задач симплекс-методом.

5.Щелчком по кнопке Добавить вызовите окно Добавление ограничения. В этом окне введите ссылки на ячейки ограничений, а также выберите оператор ограничений. Для решения данной задачи нам необходимы следующие ограничения:

– I7:L7 = I8:L8 – условие полного удовлетворения потребностей;

– M4:M6 = N4:N6 – условие полного распределения ресурсов.

116

6. Нажав кнопку Найти решения, получим результаты решения.

В окне Результаты поиска решения выберите все три отчета и сохраните полученный результат как сценарий

(кнопка Сохранить сценарии) с именем Закрытая модель.

На рис. 3.5.4 приведен оптимальный план перевозок.

Рис. 3.5.4. Результаты выполнения поиска решения

Анализ отчетов

Теперь необходимо проанализировать отчеты, которые получили при решении задачи.

На рис. 3.5.5 представлен отчет о результатах.

Рис. 3.5.5. Фрагмент листа Excel с отчетом о результатах

117

Основные переменные не являются целочисленными. На рис. 3.5.6 представлен отчет об устойчивости.

Рис. 3.5.6. Фрагмент листа Excel с отчетом об устойчивости

Проанализировав данные отчета об устойчивости, получим следующие значения.

Приведенная стоимость – это значения дополнительных переменных двойственной задачи; они соответствуют основным переменным прямой задачи и оценивают тот или иной вариант плана.

118

нится целевая функция, если значение в данной изменяемой ячейке увеличится на единицу. Для транспортной задачи приведенная стоимость равна разности тарифа и косвенного тарифа для данной ячейки. Эта разность называется оценкой свободных (т.е. с нулевой перевозкой) ячеек. Косвенный тариф определяется как сумма потенциалов свободных ячеек. Если все оценки свободных ячеек ≥ 0, то такой план улучшить нельзя, поскольку увеличение значения в любой ячейке приведет к увеличению целевой функции. Наличие оценки < 0 в какой-то свободной ячейке укажет на неоптимальность плана, так как размещение в ней ненулевого значения перевозки уменьшит целевую функцию. Чем больше значение оценки, тем менее перспективна данная ячейка для включения ее в план перевозок. Приведенная стоимость показывает, до какого значения нужно уменьшить затраты на перевозку, чтобы невыгодные маршруты сталивыгодными.

Значения коэффициентов эффективности целевой

Это означает, что изменение коэффициентов целевой функции в данных пределах не повлияет на оптимальный план производства.

Значения основных переменных двойственной задачи

(теневая цена) – двойственная оценка единицы ресурса

119

для отправителей (а1, а2, а3) и для потребителей (b1, b2,

b3, b4).

a1 = 1, a2 = 0, a3 = –2, b1 = 1, b2 = 2, b3 = 4, b4 = 1.

Множитель Лагранжа (теневая цена) равен отношению прироста целевой функции к изменению ограничения на единицу. Иногда его называют «ценность ресурса», поскольку онуказывает на чувствительность целевой функции к изменению данного ресурса. Теневые цены запасов поставщиков показывают, как уменьшится целевая функция при увеличении дефицитных запасов поставщиков. Теневые цены потребностей потребителей указывают, как увеличитсяцелеваяфункция приувеличении потребностей.

Диапазонустойчивостидвойственных оценок ресурсов:

т.е. изменение количества потребности и предложения груза в данных пределах не повлияет на значения двойственных оценок, а следовательно, и на эффективность дополнительной единицы.

Анализ отчетов и выводы по анализу представлены в п. 2.6 и 2.7.

Транспортная задача с открытой моделью

В задачах с открытой моделью запасы поставщиков не равны суммарным потребностям.

Открытая модель 1. Запасы поставщиков больше потребностей.

Откроем лист Excel с закрытой моделью, удалим из плана доставки полученные результаты и изменим данные в столбце «Запасы сырья на складе» (рис. 3.5.7). Из-

120