519

2.В любой оптимальной задаче должны быть ограничения. В реальной экономике существует множество ограничений. Необходимо выбрать наиболее существенные ограничивающие условия. Это ресурсы, спрос на продукцию.

3.Должна быть свобода выбора, т.е. множество вариантов решения поставленной задачи.

4.Критерий оптимальности (цель) и ограничения должны быть записаны в линейной форме. Ограничения на ресурсы будут иметь линейную форму, если затраты прямо пропорциональны объему производства. Это довольно жесткое условие.

1.2. История экономико-математического моделирования

Многие современные понятия экономики имеют большую историю. Например, попытки построить функцию полезности на основе наблюдений за реакцией индивидуумов на вероятностные ситуации восходят к статье Д. Бернулли (1738) о Санкт-Петербургском парадоксе. В этой работе был обоснован принцип снижающейся предельной полезности.

Считается, что математические методы в экономике, такие как метод анализа макроэкономических процессов, начали использоваться еще в XVIII веке. Опубликовав работу «Экономические таблицы», французский экономист, лейб-медик короля Людовика XV доктор Франсуа Кене впервые попытался формализовать процесс общественного воспроизводства. В этой работе была сделана первая попытка количественно описать национальную экономику.

11

Одно из первых логически последовательных изложений математической модели экономики было выполнено О. Курно в книге «Исследование математических принципов теории богатства», опубликованной во Франции в 1838 году. В этой работе количественные методы были использованы для анализа конкуренции на рынке товара при различных рыночных ситуациях. В частности, была построена и исследована динамическая модель дуополии.

Впоследующие годы происходила интенсивная математизация экономической теории. Например, в книге У. Джевонса «Краткое описание общей математической теории политической экономии» (1862) понятие полезности было использовано для формализованного описания поведения потребителя.

Вконце XIX века были разработаны и начали использоваться статистические методы, которые составили предпосылки к возникновению новой науки – эконометрики, представляющей собой одно из ответвлений экономикоматематических методов по изучению количественной стороны экономических явлений и процессов средствами математического анализа и математической статистики. Возникают такие направления математико-статистическо-

го исследования, как статистические методы парной и множественной регрессии, теории корреляции, проверки гипотез, теории ошибок, выборочного исследования (английские ученые Ф. Гальтон, Р. Гамильтон, К. Пирсон, американский исследователь Р. Фишер и др.).

В начале XX века трудами английского статистика Гукера с помощью методов корреляционно-регрессионно- го анализа, разработанных школой К. Пирсона, начали изучаться взаимозависимости между экономическими по-

12

казателями. В этот период появляются работы по развитию методов математической статистики и применению этих методов в экономическом анализе (исследование Мура, работы И. Кобба и П. Дугласа о производственной функции как одной из первых эконометрических моделей и др.). Именно эти труды стали основой современной эконометрики.

К началу XX века усилиями Л. Вальраса, В. Парето, Ф. Эджворта и др. классическая экономическая наука была переведена на достаточно строгий математический язык, поэтому начало XX века можно считать периодом, когда математическое моделирование окончательно утвердилось в экономике как науке.

Существенное усложнение организационных, экономических и производственных процессов, характерное для послевоенного периода (50-е годы XX века), привело к потребности использования в соответствующих расчетах мощных математических и вычислительных средств, что стало возможным, в частности, с появлением ЭВМ.

На стыке математики и экономики возникло и постепенно стало развиваться современное научное направление «математическая экономика»: профессиональные экономисты в своих исследованиях активно используют математические методы, а математики обращаются к экономическим задачам, чтобы применить новые теории на практике. Основателем и активным разработчиком математической экономики считается В.В. Леонтьев.

Еще в середине 20-х годов XX века, работая в России, В.В. Леонтьев определил проблему межотраслевого баланса (МОБ), сначала на уровне отдельного государства, а впоследствии на уровнях региональной и мировой эко-

13

номики. Он указал на важность учета межотраслевых взаимосвязей, которые и определяют общий результат экономической деятельности. Это был новый подход к исследованию сложно организованных объектов или процессов, который значительно позже назвали системным. Для решения проблемы МОБ, которой он занимался всю свою жизнь уже как гражданин США, В.В. Леонтьев использовал классический аппарат линейной алгебры и матричного анализа для развязывания систем линейных уравнений достаточно большого размера, хотя для выполнения табличных расчетов на то время применялись лишь механические арифмометры.

В 1938 году 26-летний профессор-математик Л.В. Канторович (1912–1986), работая научным консультантом фанерной фабрики, впервые сформулировал задачу оптимального (т.е. наилучшего из всех возможных вариантов при определенных ограничениях) использования ограниченных производственных ресурсов и предложил соответствующий математическийметодеерешения.

Этот принципиально важный результат, полученный Канторовичем в процессе серьезных математических исследований в условиях плановой экономики и опубликованный в 1939 году в виде скромной брошюры, долгое время сохранялся в спецхранах и оставался неизвестным передовой научной, инженерно-технической и экономической общественности.

Судьбы обоих научных работников, как видим, во многом похожи: высокообразованные и талантливые молодые выпускники Ленинградского университета экономист В. Леонтьев и математик Л. Канторович работали на новую экономику. Результаты этих исследований лишь

14

через много лет были оценены должным образом – Нобелевскими премиями по экономике.

Американский математик Дж. Данциг, занимаясь планированием в оборонной сфере, где разрабатывал программы совершенствования военно-воздушных сил США, в 1947 году повторно и независимо сформулировал эту самую задачу оптимизации, разработал соответствующий математический аппарат, который назвал «линейное программирование», и предложил для машинного решения задачи эффективный симплекс-метод. В 1950-е годы в США с появлением первых ЭВМ этим методом сразу же воспользовались и запрограммировали его. После этого начался бурный процесс применения линейного программирования в самых разнообразных сферах: военной, промышленной, деловой и др.

Линейное программирование дало толчок развитию новых математических моделей оптимизации: оно стало ядром более общего научного направления в прикладной математике – математического программирования.

Научное направление «исследование операций» возникло перед Второй мировой войной – в 1938 году. Тогда так достаточно обобщенно и невыразительно назвали многообразные организационные научно обоснованные действия, направленные на повышение обороноспособности Англии в борьбе с подводными лодками и авиацией немецких фашистов. Эти процедуры, которые предлагались и выполнялись силами штабных офицеров и научных работников разных направлений, оказались достаточно производительными благодаря эффективному использованию многообразных научно-технических ресурсов.

15

Именно тогда выдающийся американский математик

истатистик Норберт Винер занимался проблемами противовоздушной обороны. Он положил начало новой математически обоснованной науке управления объектами разной природы, которую называл кибернетикой, и издал книгу с таким же названием в 1948 году.

Почти сразу после войны методы исследования операций стали использовать в менеджменте для планирования и управления экономическими процессами.

Исследование операций основывается на разработке

ииспользовании математических методов, которые дают возможность определить тенденции развития определенных реальных процессов путем постановки конкретной математической задачи. Ее решение дает возможность оценить ожидаемую эффективность соответствующих действий в числовом эквиваленте. Этот научный подход организации исследований получил впоследствии название «математическое моделирование». Он оказался достаточно универсальным и мощным, стимулировал активное развитие как математики в целом, так и аналоговой и цифровой вычислительной техники для машинной реализации достаточно сложных математических моделей.

Интересно, что активное развитие математических методов стимулировало разработку теории универсальных вычислительных машин, которые по определенной программе давали возможность получить соответствующий результат.

Выдающиеся математики, такие как Дж. фон Нейман (США), В.М. Глушков (СССР), как никто понимали необходимость иметь мощные вычислительные средства.

16

Они и стали известны в мире как основатели математической теории автоматов и руководители проектов по разработке компьютеров, активные проводники внедрения методов математического моделирования в экономическую практику.

Следовательно, методы и технологии операционного управления сложными системами были перенесены на задачи управления промышленными предприятиями, экономикой и процессами бизнеса и образовали отдельное направление научного управления производством, экономикой и бизнесом под названием «наука управления»

(Management Science).

В настоящее время наблюдается внедрение в отечественную практику экономико-математических методов и моделей с использованием программных комплексов. Растет роль экономико-математического моделирования как одного из средств совершенствования экономики с научно обоснованными путями последующего развития

ипрогнозами на будущее в рыночных условиях.

1.3.Постановка задачи линейного программирования

Вобщем виде задача линейного программирования (ЗЛП) может быть сформулирована как задача нахожде-

ния набора n переменных (х1, х2, х3,…, хn), максимизирующего линейную форму этих переменных:

и удовлетворяющего системе ограничений

17

где m < n.

Следует заметить, что выбор типа искомого экстремума (максимума или минимума) носит относительный характер. Так, задача поиска максимума функции

j 1

эквивалентна задаче поиска минимума функции

Если все ограничения в задаче линейного программирования являются уравнениями и на все переменные xj наложены условия неотрицательности, то она называется задачей линейного программирования в канонической форме, иликанонической задачей линейного программирования.

Условимся относительно терминологии, которая используется в дальнейшем и является общепринятой для решения множества экономических задач:

z (x) – целевая функция на максимум; bi – объем ресурсов, bi 0;

хj – количествопроизведеннойпродукцииразныхвидов; сi – коэффициенты эффективности (цена, прибыль от

единицы продукции);

18

аij – норма расхода i-го ресурса на единицу j-й продукции.

Набор переменных (х1, х2, …, хn), удовлетворяющий условиям (1.3.2)–(1.3.3), является планом. Таких планов множество, так как число уравнений меньше, чем число переменных. Множество всех планов составляет область определения (D). Область определения выпуклая. План является опорным, если онсоответствуетграницеобластиопределения.

Оптимальным планом х* называется такой опорный план, при котором целевая функция достигает оптимального (в нашем случае – максимального) значения.

Оптимальный план достигается на границе области определения.

Величина z* = z(x*) называется оптимальным значением целевой функции.

Решением задачи называется пара (х*, z*), состоящая из оптимального плана и оптимального значения целевой функции, а процесс решения заключается в отыскании такого опорного плана, который дает максимум (минимум) целевой функции.

Подавляющее большинство известных методов решения задач линейного программирования предназначено для канонических задач, поэтому начальный этап решения всякой общей задачи линейного программирования обычно связан с приведением ее к некоторой эквивалентной канонической задаче.

Общая задача линейного программирования может быть приведена к каноническому виду при помощи следующих утверждений:

19

– Неравенствоa1x1 ... an xn b равносильно равенству a1x1 ... an xn xn 1 b ипростейшемунеравенству xn 1 0.

– Неравенство a1x1 ... an xn b равносильно равенству a1x1 ... an xn xn 1 b ипростейшемунеравенству xn 1 0.

– Переменные, на которые не наложено условие неотрицательности, представляются в виде разности двух новых неотрицательных переменных.

Переменные, вносимые в задачу при помощи этих утверждений, называются дополнительными. Они вносятся в целевую функцию с коэффициентом, равным нулю.

1.4.Графический метод решения задач линейного программирования.

Геометрическая интерпретация

Рассмотрим задачу линейного программирования с двумя переменными. Пусть дана задача максимизации линейной целевой функции

Такая задача может быть решена графически ввиду того, что ее можно отобразить на плоскость. Область оп-

20