519

Рис. 3.1.6. Диалоговое окно Сохранить сценарий

Результатырешения задачи представленына рис. 3.1.7.

Рис. 3.1.7. Результаты поиска решения

В результате поиска решения получаем оптимальный ассортимент продукции: № 1 = 10 шт., № 2 = 0 шт., № 3 = = 30 шт., № 4 = 0 шт. А максимум выручки при этом составит 3800 руб.

Анализ отчетов

Необходимо проанализировать отчеты, которые получаем при решении задачи. На рис. 3.1.8 представлен отчет о результатах.

Проанализировав данные отчета о результатах, получим следующие значения.

Оптимальное значение целевой функции z(х)max = 3800 руб.

71

Рис. 3.1.8. Фрагмент листа Excel с отчетом о результатах

Значения основных переменных:

х1 = 10 шт., х2 = 0 шт., х3 = 30 шт., х4 = 0 шт.

Значения использованного фонда времени оборудования:

А – 100, Б – 100, В – 50, Г – 140, Д – 200.

Остатки фонда времени оборудования (значение дополнительных переменных оптимальной задачи):

S1 – 62,85, S2 – 0, S3 – 0, S4 – 12,86.

На рис. 3.1.9 представлен отчет об устойчивости.

Рис. 3.1.9. Фрагмент листа Excel с отчетом об устойчивости

72

Проанализировав данные отчета об устойчивости, получим следующие значения.

Приведенная стоимость:

Приведенная стоимость – это значения дополнительных переменных двойственной задачи; они соответствуют основным переменным прямой задачи и оценивают тот или иной вариант плана.

Детали № 1 соответствует приведенная стоимость, равная 0.

Детали № 2 соответствует приведенная стоимость, равная –14.

Детали № 3 соответствует приведенная стоимость, равная 0.

Детали № 4 соответствует приведенная стоимость, равная –68.

Детали № 1 и № 3 производить выгодно, они вошли в оптимальный план, так как приведенная стоимость равна нулю. Детали № 2 и № 4 производить невыгодно, так как приведенная стоимость меньше нуля.

Значения коэффициентов эффективности целевой функции и их диапазон:

Это означает, что изменение коэффициентов целевой функции в данных пределах не повлияет на оптимальный план производства (т.е. цены на детали № 1, № 2, № 3 и № 4 могут варьировать в этих пределах).

Значения основных переменных двойственной задачи (теневая цена) – двойственная оценка ресурсов:

А – 10, Б – 0, В – 0, Г – 0, Д – 14.

73

Наиболее дефицитными являются группы оборудования А и Д. Теневая цена этих групп оборудования составляет 10 и 14 соответственно, т.е. при изменении фонда времени соответствующих групп оборудования на единицу выручка увеличится на 10 + 14 = 28 руб.

Диапазонустойчивости двойственных оценокресурсов:

80 ≤ А ≤ 100, 100 ≤ Б ≤ ∞, 50 ≤ В ≤ ∞, 140 ≤ Г ≤ ∞, 167 ≤ Д ≤ 200.

Следовательно, изменение действительного фонда времени групп оборудования в данных пределах не повлияет на значения двойственных оценок, а значит, и на эффективность дополнительной единицы соответствующего ресурса.

На рис. 3.1.10 представлен отчет о пределах.

Рис. 3.1.10. Фрагмент листа Excel с отчетом о пределах

Проанализировав данные отчета о пределах, сделаем вывод, что при значении № 1 = 0 получим Z = 300; при значении № 2 = 0 или № 4 = 0 получим Z = 3800; а при значении № 3 = 0 Z = 800.

74

Выводы

Выпуск продукции: в данной задаче максимум товарной продукции составит 3800 руб. при производстве деталей № 1 = 10 шт., № 2 = 0 шт., № 3 = 30 шт., № 4 = = 0 шт.

Использование ресурсов: действительный фонд времени групп оборудования вида А, Г и Д использован полностью в объемах соответственно 100; 140; и 200 мин. Действительный фонд времени групп оборудования вида Б использован не полностью, останется 20 мин. Действительный фонд времени групп оборудования вида В использован не полностью, останется 100 мин.

Оценки ресурсов: для избыточных ресурсов вида Б и В двойственные оценки равны 0.

Полностью используемые ресурсы вида А и Д имеют двойственные оценки больше 0. Самым эффективным является ресурс вида Д, так как его двойственная оценка максимальна. Величина двойственной оценки (например, для Д) показывает, что на 14 руб. увеличится выручка фирмы; если при всех равных условиях увеличить объем ресурса Д на 1 мин, т.е. взять не 200, а 201 мин и оптимально решить задачу, то целевая функция будет равна 3800 + 14 = 3814 руб. Данное утверждение справедливо для всех оценок в пределах их устойчивости. Например, для Д можно увеличить объем на 40 мин и иметь увеличение выручки на величину 14 · 40 = 560 руб.

Оценки вариантов плана: продукцию вида № 1 и № 3 выгодно производить, так как соответствующие дополнительные переменные двойственной задачи равны нулю (см. приведенную стоимость). Эти изделия вошли в оптимальный план. Относительно продукции № 2 и № 4 мож-

75

но сказать, что более выгодно производить № 2, так как ее приведенная стоимость меньше.

Оценка коэффициентов эффективности: объем выручки не изменится, если цены на продукцию будут находиться в следующих пределах:

62,5 руб. ≤ Цена продукции № 1 ≤ 100 руб.

–∞ руб. ≤ Цена продукции № 2 ≤ 104 руб. 80 руб. ≤ Цена продукции № 3 ≤ 140 руб.

–∞ руб. ≤ Цена продукции № 4 ≤ 138 руб.

Модель 2

Целевая функция

z = 80x1 + 90x2 + 100x3 + 70x4 → max.

Система ограничений примет вид

x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

Решение

Решим данную задачу аналогично предыдущей, только добавив дополнительное ограничение. Найденный результат сохраним под другим именем.

Необходимо внести изменения в модель с учетом новых технологических условий и повторить поиск решения. Для этого надо выполнить следующие действия:

76

1.Открыть рабочий лист Excel, где было получено решение по сценарию Задача 1.

2.Изменитьисходныеданныесогласноновымусловиям.

3.Выполнить поиск решения в новых условиях.

4.Полученный результат сохранить в виде сценария с другим именем, просмотреть результаты сценария и проанализировать отчеты.

Подробный пример решения и оформления представ-

лен в п. 2.6, 2.7.

Модель 3

Целевая функция

z = 40x1 + 45x2 + 50x3 + 35x4 → min.

Система ограничений примет вид

x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

Решение

Решим данную задачу аналогично предыдущей. Найденный результат сохраним под другим именем.

Модель 4

Целевая функция

z = 80x1 + 90x2 + 100x3 + 70x4 → max.

77

Система ограничений примет вид

x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

Решение

Решим данную задачу аналогично предыдущей. Найденный результат сохраним под другим именем.

3.2. Оптимальное использование взаимозаменяемых ресурсов

Одним из условий применения оптимизационных методов в планировании является относительная свобода выбора. В задачах рассматриваемого типа такое условие осуществляется при выборе из групп взаимозаменяемого оборудования или взаимозаменяемого сырья наиболее эффективного варианта с точки зрения поставленной цели.

Постановка задачи

Разделим оборудование предприятия (цеха) на несколько качественных групп, не заменяющих друг друга, в пределах одной группы единицы оборудования взаимозаменяемы. Так возникает задача наилучшего распределения изготовляемой продукции в пределах одной груп-

78

пы, т.е. закрепление деталей за станками одной взаимозаменяемой группы.

Допустим, что предприятие может выпускать n видов изделий (обозначаем их индексом j = 1, 2, ..., n), используя оборудование одной из выделенных групп. В группе имеется m видов взаимозаменяемых единиц оборудования (обозначим их индексом i). Известны нормы времени обработки j-го изделия на i-м оборудовании (aij), общий фонд времени i-го оборудования на планируемый период (Ai), себестоимость обработки j-го изделия на i-м оборудовании (cij). Задана производственная программа по выпуску каждого вида изделий (Bj).

Требуется минимизировать суммарную себестоимость обработки всех изделий при условии выполнения производственной программы и соблюдении заданного фонда времени по видам оборудования.

Моделирование

Обозначим через xij количество изделий j-го вида, обрабатываемых на i-м оборудовании (переменные величины имеют два индекса для удобства построения модели). Тогда математическая модель задачи примет вид

(3.2.1) – целевая функция (минимум); (3.2.2) – система специальных ограничений на объем

фактически имеющихся ресурсов и выполнение заданной производственной программы;

(3.2.3) – все значения переменных положительные. Задача состоит в определении значений xij, минимизирующих функцию (3.2.1) и удовлетворяющих условиям

(3.2.2) и (3.2.3).

Полученная модель задачи может быть решена симплексным методом.

Замечание: в задачах такого типа в качестве цели (критерия эффективности) можно взять минимум суммарного времени обработки всех изделий. Возможны и другие критерии. Например, максимум прибыли. Кроме того, вместо производственной программы в условии задачи может быть дана только ее структура, а именно удельные веса каждого вида продукции в общем объеме (k1, k2, …, kn), т.е. набор продукции в одном комплекте.

Тогда вводится еще одна переменная w – количество комплектов. Математическая модель задачи примет вид