519

Таблица 3.6.5 Оптимальный план (Итерация III)

Таблица 3.6.6 Оптимальный план (Итерация IV)

На четвертой итерации коэффициенты равны либо 0, либо 1, получено оптимальное целочисленное решение поставленной задачи.

132

Таким образом, можно сделать вывод, что в пункте а1 необходимо расширить производство и выбрать вариант модернизации с мощностью 25 т.

Впункте а2 необходимо ликвидировать предприятие, так как в силу затрат на производство и транспортировку продукция этого предприятии не выгодна для реальных потребителей и вся уходит фиктивному потребителю.

Впункте а3 необходимо строить новое предприятие

смощностью 15 т.

Кроме того, решение задачи дает оптимальный вариант закрепления поставщиков и потребителей. Предприятие а1 должно поставлять продукцию потребителям b1, b2, b3, а вновь созданное предприятие а3 – потребителю b1.

Оптимальное решение задачи развития и размещения производства носит рекомендательный характер, дает необходимую информацию для окончательных решений.

3.7.Оптимальные смеси

Вданном параграфе показаны возможности использования модели линейного программирования для решения задач оптимального смешения. Модели оптимального смешения имеют много общего с моделями оптимального планирования производства. В то же время существуют

инекоторые особенности.

Задачи о смесях – значимые прикладные оптимизационные задачи. Такие задачи возникают при выборе наилучшего способа смешения исходных ингредиентов для получения смеси с заданными свойствами. Смесь должна иметь требуемые свойства, которые определяются количеством компонентов, входящих в состав исходных ингредиентов. Как правило, известны стоимостные характе-

133

ристики ингредиентов, а искомую смесь требуется получить с наименьшими затратами. Для многопродуктовых задач, в которых требуется получить несколько смесей, характерным является критерий максимизации прибыли.

Задачи оптимального смешения встречаются во многих отраслях промышленности (металлургия, парфюмерия, пищевая промышленность, фармакология, сельское хозяйство). Примерамизадачосмесяхмогутслужитьопределениекормовогорационаскотанаживотноводческихфермах, составление рецептурышихтынаметаллургическомпроизводствеит.п.

Задача о рационе – это задача, в которой есть определенное количество компонентов, из которых в соответствующих пропорциях создается смесь. Например, определяется состав металлического сплава, бензина или краски, рацион для питанияопределеннойкатегориилюдейилиживотных.

Задача про смесь (рацион) появляется чаще всего в химической, нефтехимической отраслях, когда нужно создать соответствующие смеси, качество которых соответствует определенным требованиям; в сельском хозяйстве при кормлении скота и т.п.

Моделирование

Рассмотрим однопродуктовые модели оптимального смешения.

Введем обозначения:

п – количество исходных ингредиентов; т – количество компонентов в смеси;

хj – количество j-го ингредиента, входящего в смесь; аij – количество i-го компонента в единице j-го ингре-

диента;

сj – стоимость единицы j-го ингредиента; bi – количество i-го компонента в смеси.

134

(3.7.1) – целевая функция (минимум затрат на получение смеси);

(3.7.2) – группа ограничений, определяющих содержание компонентов в смеси;

(3.7.3) – ограничения на неотрицательность переменных.

В задаче могут присутствовать также ограничения на общий объем смеси и ограничения на количество используемых ингредиентов.

Введем дополнительные обозначения: п – количество исходных ингредиентов; т – количество компонентов в смеси;

w – количество условий, отражающих содержание j- го ингредиента в смеси;

хj – количество j-го ингредиента, входящего в смесь; аij – доля i-го компонента в j-м ингредиенте;

bi – минимальнодопустимаядоляi-гокомпонентавсмеси; сj – стоимость единицы j-го ингредиента;

drj – коэффициент, отражающий r-е условие на содержание j-го ингредиента в смеси.

j 1

при следующих условиях:

135

(3.7.4) – целевая функция (минимум затрат на получение смеси);

(3.7.5) – группа ограничений, определяющих содержание компонентов в смеси;

(3.7.6) – группа ограничений на содержание ингредиентов в смеси;

(3.7.7) – ограничение на количество смеси; (3.7.8) – ограничениянанеотрицательностьпеременных.

Ограничения (3.7.5) и (3.7.6) отличают задачу смешения от задачи оптимального планирования производства. Заметим, что значения правых частей этих ограничений

равны нулю. Вектор x* с компонентами, являющийся решением этой оптимизационной задачи, называют рецептом приготовления смеси, или рецептом смешения.

Пример решения задачи в Microsoft Excel

Постановка задачи

Предприятие производит бензин. В бензине А-76 октановое число должно быть не ниже 76, а содержание серы не более 0,3 %. Используются 4 компонента (1, 2, 3, 4). Данные об используемых компонентах представлены в табл. 3.7.1.

136

Таблица 3.7.1 Исходные данные для решения транспортной задачи

Требуется определить, сколько тонн каждого компонента требуется для получения 1000 т бензина А-76, чтобы при этом себестоимость бензина была минимальной.

Моделирование

Обозначим переменные величины: х1 – количество компонента 1; х2 – количество компонента 2; х3 – количество компонента 3; х4 – количество компонента 4. Целевая функция

z = 40х1 + 45х2 + 60х3 + 90х4 → min.

Система ограничений

68x1 72x2 80x3 90x4 76 1000;

0,35x1 0,35x2 0,3x3 0, 2x4 0,3 1000;

x1 x2 x3 x4 1000;

x1 700;x2 600;x3 500;x4 300;

x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

Решение

На рабочий лист Excel введем исходные данные и таблицу с изменяемыми ячейками (рис. 3.7.1).

137

Рис. 3.7.1. Исходные данные и таблица с изменяемыми ячейками

ЯчейкиB7:E7 предназначеныдлязначенийпеременных. G8 – целевая ячейка, в которой будет размещена фор-

мула целевой функции.

Вячейку G8 запишем формулу для целевой функции

=СУММПРОИЗВ(B6:E6;B7:E7).

Диапазоны ячеек F3:F7 и G3:G7 содержат ограничения, учитывающие условия состава бензина и объема производства.

Вячейки F3, F4, F7 запишем формулы

=СУММПРОИЗВ(B3:E3;B7:E7), =СУММПРОИЗВ(B4:E4; B7:E7), =СУММ(B7:E7) соответственно.

Для поиска оптимального набора значений параметров смеси бензина, который соответствует минимальному значению целевой функции, воспользуемся надстройкой Поиск решения. Заполним диалоговоеокно надстройки (рис. 3.7.2):

1. В поле Оптимизировать целевую ячейку введите адрес ЦФ G8.

2. Ниже выберите параметр Минимум.

3. В поле Изменяя ячейки переменных введите диапа-

зон ячеек с искомыми переменными B7:E7.

4. Установите флажок Сделать переменные без ограничений неотрицательными и выберите параметр Поиск решения линейных задач симплекс-методом.

138

5. Щелчком по кнопке Добавить вызовите окно Добавление ограничения. В этом окне введите ссылки на ячейки ограничений, а также выберите оператор ограничений. Для решения данной задачи нам необходимы следующие ограничения:

–B7:E7 ≤ B5:E5 – условие ограничения по количеству ресурсов;

–F3 ≥ G3 – условие ограниченияпооктановому числу;

–F4 ≤ G4 – условие ограниченияпосодержанию серы;

–F7 = G7 – условиеограниченияпообъемупроизводства.

Рис. 3.7.2. Диалоговое окно Поиск решения

139

Нажав кнопку Найти решения, получим результаты решения.

Вокне Результаты поиска решения выберем отчет

исохраним полученный результат как сценарий (кнопка

Сохранить сценарии) с именем Смесь.

На рис. 3.7.3 приведен оптимальный набор компонентов, требуемый для производства 1000 т бензина.

Рис. 3.7.3. Результаты выполнения поиска решения

Анализ отчетов

Отчет о результатах, полученный на компьютере, представлен на рис. 3.7.4.

Рис. 3.7.4. Фрагмент листа Excel с отчетом о результатах

140