Прикладная механика композитов
..pdfДинамика композитов с трещинами |
191 |
Рис. 9. Зависимость коэффициента интенсивности напряжений от времени в случае нормального удара для дефекта, расположенного между волок нами.
Л О В И Я М И
{UQ)m = (UQ)f j
для всех г и 2 = ±Л . |
(30) |
(^0z)m = (T0z)fJ
Из рис. 8(b), где показан дифференциальный элемент, выде ленный вблизи дефекта, видим, что ненулевыми являются только две компоненты тензора напряжений (тго)m и (то*)™:
0 |
|
— ~^=~ Sin у 0 + |
|
(т02)т |
k3(t) |
cos —0 -f- |
|||||
(*г )т = |
|
л/2 |
г |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где &з (t) |
определяется формулой |
|
|
|
|
( 3 1 ) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
^3 (0 = |
4 |
яРз [(c2)m |
|
т, д/а. |
|
|
(32) |
||
В пределе при t-> - |
оо величина р з [ { с 2 ) m t / a ] |
стремится к еди |
|||||||||
нице, |
а |
уравнение |
(32) |
сводится |
к статическому |
решению |
|||||
k3(t) = |
3лт1л /atА. |
Временная |
зависимость |
|
нормированного |
||||||
коэффициента интенсивности |
напряжений &3(/) при |
рт = |
|||||||||
и Gf/Gm = 10,0 приведена на рис. |
10. При мгновенном закру |
||||||||||
чивании |
кривая & з (t) |
быстро достигает максимума, |
а затем, |
||||||||
192 |
Дж. Си |
Рис. 10. Зависимость коэффициента интенсивности напряжений от времени в случае мгновенного скручивания для дефекта, расположенного между разорванными волокнами.
снижаясь, выравнивается, что видно для трех значений от ношения a/h = 0,5; 1,0 и 2,0.
2.5. ВОЛОКНО С ТРЕЩИНОЙ
На рис. 11 изображено отдельное волокно со свойствами G/, Vf и pf, погруженное в матрицу со свойствами Gm, vm и рт\ предполагается, что pm ~ рf и vm « Vf = 0,29. Волокно радиуса b содержит дефект в виде круговой трещины радиуса а ^ Ь. Исследуется интенсивность динамических напряжений внутри волокна, вызванных нормальным и крутящим уда рами.
2.5.1.Волокно, нагруженное нормальным ударом. Дефект
вволокне испытывает внезапный нормальный удар амплиту дой сто. В системе координат х, у, z, показанной на рис. 11(a), должны соблюдаться следующие условия:
( f f 2 ) m = |
— GQH ( 0 , 1 |
г < |
a , |
z = 0; |
(33) |
|
{ * г г ) т = |
0» |
0 |
||||
J |
г ^ а , |
z = |
0 . |
(34) |
||
|
= = ( ^ r z ) m |
= = 0 , |
||||
(Uz^m |
|
|
|
|
|
|
Волокно имеет идеальное сцепление с матрицей по поверх ности г = bt т. е. выполняются условия непрерывности напря-
Динамика композитов с трещинами |
193 |
жений и перемещений:
(^ r)m |
= = |
{Цr)f> |
{Uz)m = = |
(^ z )f 1 |
для всех |
z и r = b. (35) |
|
(О rr ) m |
= |
( Or ) b |
( Xrz)m = |
(x rz)f) |
|||
|
|
Вблизи границы трещины локальные напряжения дифферен циального элемента (рис. 11(b)) сингулярны по г и опреде-
Расшжвние
(а) |
(Ь) |
Рис. 11. Разорванные волокна в материале, испытывающем мгновенное растяжение и кручение, (а) Разорванное волокно в матрице: (Ь) напряже ния на границе трещины.
ляются по формулам
(а,)* = к\Ю- cos — 0(l — sin — 0 sin —0) +
(ore),=^ / i ' 2Vf cosl |
0 + |
|
||||
(az)f = |
*’i ? -cos — 9 |
v |
-f- sin — 9 sin — 8") + |
|||
v |
zn |
4 2 ? |
2 |
2 |
2 / |
|
(T |
). = |
1 # |
cos — 0 sin — 0 cos —0 + |
|||
Vrz T |
V2r |
2 |
|
2 |
2 |
|
(x Qz)f = |
( W f = |
0 * |
|
|
|
|
В уравнениях (36) коэффициент интенсивности k\(t) одина ков для всех напряжений:
k {(/) = V2nq! [(с2)/ t/а] а0 л/а . |
(37) |
7 |
П р и к л а д н а я м е х а н и к а |
194 |
Дж. Си |
|
|
|
|
|
|
|
|
Как |
ожидалось, коэф |
||||
|
|
фициент интенсивности |
|||||
|
|
динамических |
напря |
||||
|
|
жений |
увеличивается с |
||||
|
|
ростом |
отношения |
а/Ь. |
|||
|
|
График |
изменения |
||||
|
|
< ] i [ ( c 2) f t / a ] |
в |
зависи |
|||
|
|
мости |
|
от |
(c 2) f t / a |
при |
|
|
|
Gf/Gm= 10,0 и |
а/Ь = |
||||
|
|
=0,2; |
|
0,4; |
...; |
0,8 |
по |
|
|
казан на рис. 12. Вид |
|||||
|
|
но, что k [ { t ) растет тем |
|||||
|
|
быстрее, |
чем |
ближе |
|||
|
|
а/Ь к единице, т. е. по |
|||||
|
|
мере |
|
увеличения |
раз |
||
Рис. 12. Зависимость коэффициента интен |
мера дефекта. |
|
|
||||
сивности напряжений от времени в случае |
2.5.2. |
|
|
|
|||
нормального |
удара для частично повре |
скручиваю |
|||||
|
жденного волокна. |
груженное |
|||||
|
|
щим |
ударом. Мгновен |
||||
но приложенный крутящий момент соответствует сдвигу, из меняющемуся линейно с радиальным расстоянием г\, опре
деленным на рис. 11(a). На |
плоскости 2 = |
0 должны выпол |
||
няться граничные условия |
|
|
||
(T0*)f = |
— (-£-) |
0 < г < а , |
2 = 0; |
|
|
|
|
|
(38) |
(K0)f = |
0, |
г > а , |
2 = 0, |
|
а для всех г и г = |
Ь условия непрерывности |
|
||
|
(uQ)m = (uQ)f, |
(T 0z)m = (T 0z) f . |
(39) |
|
Уравнения (38) и (39) совместно с (9) и (11) приводят к сле дующему асимптотическому решению для динамических на пряжений:
— ' 7 i ' sin l 0 +
(40)
(Tte)f~ - 7 f - cos7 0 +
в котором kbit) имеет вид
h it) = 3/4л<з [(c2)f t/a] тj У а. |
(41) |
Зависимость для kbit), приведенная на рис. 13, аналогична уже обсужденной зависимости для k\ (/) (рис. 12).
Динамика композитов с трещинами |
Т95 |
Рис. 13. Зависимость коэффициента интенсивности напряжений от времени в случае мгновенного скручивания для частично поврежденного волокна.
3. Движение трещин в композитах
Когда сила, действующая на трещину, превышает неко торое пороговое значение, определяемое сопротивлением ма териала, трещина приходит в движение. Путь ее распростра нения, зависящий от характера неоднородности материала, типа нагружения, геометрии компонентов, может быть за мысловатым. Поскольку реальную локальную неоднородность
вкомпозите практически невозможно смоделировать, то чрез вычайно трудно определить количество энергии в материале, необходимое для образования свободных поверхностей тре щины, как функции времени. В данном разделе, как видно из рис. 14(a), математическая постановка упрощается в силу предположения о том, что трещина распространяется только
водной фазе композита — матрице, причем с постоянной ско ростью. Ускорение трещины в действительности столь велико, что во всех практических задачах им можно пренебречь.
3.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Для описания движения трещины вводится неподвижная система координат X, У, Z. Предполагается, что трещина за данной длины 2а движется с постоянной скоростью с. С тре щиной связана подвижная система координат х, у, г, при
7*
061
Волокна
Г)
с
Рис. 14. Растрескивание матрицы при растяжении и антиплоском сдвиге, (а) Растрескивание мат рицы с постоянной скоростью; (Ь) компоненты напряжений в подвижных координатах.
Динамика композитов с трещинами |
197 |
этом неподвижная и подвижная системы связаны преобразо ванием Галилея:
х = X — ct, У = Y, z = Z. |
(42) |
Поскольку рассматривается задача об установившемся со стоянии, временную переменную t можно исключить из по становки.
3.1.1 Движение трещины при растяжении. Если нагрузки действуют только в плоскости XY или ху, то поле перемеще ний является двумерным, причем в случае плоской деформа ции компоненту перемещения uz или иг можно приравнять нулю:
<3ф . |
d t|) |
d<p |
<?ib |
Л |
1ло. |
их — дХ ^ |
dY ' |
иУ ~ дУ |
дХ ’ |
U z ~ |
|
Соответствующие компоненты напряжений определяются с помощью уравнений, аналогичных (2), в которых вместо ко ординат х, у используются координаты X, Y. С помощью по тенциалов <р(Х, Y, t) и ф(Х, У, t) выводятся два волновых урав нения, которые, используя преобразование Галилея (42),мож но выразить в подвижных координатах
о 2 |
д 2Ф |
, |
<Э2Ф _ |
п |
12 |
д2Ф |
|
(44) |
Л 1 дх2 " Г |
ду2 ~ |
и* |
Л2 |
дХ2 |
|
|
||
определяются как |
Я-2 |
= [1 |
|
(45) |
||||
.1 |
= [1 |
- |
(с/с,)2]1'2. |
— (с/с2)2],/а- |
||||
Я |
|
|
|
|||||
Для разрешения уравнений (44) требуется задать соответ ствующие начальные и граничные условия.
3.1.2. Антиплоское сдвиговое движение трещины. При антиплоском сдвиге композит, показанный на рис. 14(a), на гружается таким образом, что все точки материала испы тывают перемещение только в направлении оси Z или z, т. е.
ux = uY = 0, |
uz = w {X, У, t). |
(46) |
Подстановка ненулевых компонент напряжений |
|
|
лЗ® |
dw |
/ .-ч |
XXY — Сг |
, T YZ — и-0у- |
(4 /) |
в уравнения движения позволяет получить волновое уравне ние в форме, задаваемой уравнением (11), в котором с по мощью преобразования Галилея (42) осуществляется замена независимых переменных {X,Y,t) на переменные (х,у):
12 d*w |
d2w |
0. |
(48) |
|
ду5 = |
где Я#2 определено вторым уравнением (45).
198 |
|
Дж. Си |
|
|
3.2. ТРЕЩИНА, РАСШИРЯЮЩАЯСЯ |
ПОД ДЕЙСТВИЕМ |
|||
|
РАСТЯГИВАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ |
|
||
Предположим, |
что в |
однонаправленном |
композите |
|
(рис. 14(a)) один |
из слоев |
матрицы |
со свойствами |
Gmi Vm И |
Pm содержит движущуюся трещину длиной 2а. Прилегающий
материал со свойствами GCt vc и рс |
нагружается |
растягиваю |
|
щим напряжением |
так, что имеют место следующие условия: |
||
|
|
|
(49) |
К )т = |
(тху)т = 0, I * | > |
а, У = 0. |
(50) |
Между рассматриваемым слоем матрицы и прилегающим материалом предполагается идеальное сцепление по грани цам раздела у = ±А, т. е. выполняются следующие условия непрерывности:
(Цх )т |
(^х)с> |
(&у)т == (°у)с»
Решение рассматриваемой задачи методом интегральных преобразований [12] позволило найти поле локальных на пряжений в полярной системе координат
Г= [{X — а)2+ у2]т, 0 = [arctg ( |
’ |
<52) |
определяемых согласно рис. 14(b). В случае плоской дефор мации выражения для локальных напряжений имеют вид
Ю т
Ю т |
(53) |
|
|
|
- [ 1 + < д а [ ( ы » ] } + |
X { « [ ( A i ) J - g l W ] +
(^jcz)m (^уг)т 0.
Динамика |
композитов с трещинами |
199 |
|
Функция H [(ki)m, (Я2)т] |
в уравнениях |
(53) задается |
сле |
дующим выражением: |
|
|
|
»[(*•.)«• ( « . ] =4(Л.,)т (Л.2)т - |
[1 + (* * ]* . |
,64) |
|
Угловое распределение динамических напряжений описывает ся двумя функциями:
Р № + g2 (Ц = sec 0(I + X‘ tg2 0)'-1'n,
P W - g2W = sec e (1 + Л2 tg2 ЭГ'.
Сингулярность динамических напряжений имеет такой же характер, как в статическом случае, а именно l/Vr* Угло-
Рис. 16. Зависимость нормированного коэффициента интенсивности напря жений в плоскости от отношения длины трещины к шагу между волок нами при различных скоростях трещины.
вое распределение напряжений через параметры М и К2 для матрицы зависит от скорости движения трещины v.
Численные значения коэффициента интенсивности дина мических напряжений
k y(c) = /?, [с/{с2)т]<хп д/а |
|
(56) |
||
получены в работе [12] с помощью функции |
[c/(c2)m]. |
|||
график которой для |
Gc/G m = |
10,0; vm = vc = |
0,25 и рт = Рг |
|
показан на рис. 15. |
Видно, |
что коэффициент |
интенсивности |
|
динамических напряжений k\ уменьшается с увеличением от ношения a/h. Максимальное значение &, = а0д/а соответ
200 |
Дж. Си |
ствует однородному случаю, когда толщина слоя матрицы 2h настолько велика, что свойства композита Gc, vc и рс не влияют на напряжения у вершины трещины. Таким образом, неоднородность материала уменьшает интенсивность локаль ных напряжений, зависящую от величины a/h и отношения скорости трещины к сдвиговой скорости волны с/(сг)т. Чем больше скорость трещины, тем меньше величина k\.
3.3. ДВИЖЕНИЕ ТРЕЩИНЫ ПРИ АНТИПЛОСКОМ СДВИГЕ
Допустим, что трещина, изображенная на рис. 14(a), при водится в движение нагрузкой антиплоского сдвига, так что
(V)m = — ть |
0 < |х |< а , |
|
у = 0; |
(57) |
|
wm = 0, |
\х\ > а , у = |
0. |
|
||
|
|
||||
Условия непрерывности |
перемещений |
и напряжений |
при |
||
у = ±Л определяются как |
|
|
|
|
|
U>m= Wc |
| |
для всех х |
и |
y = ± h . |
(58) |
|
|
||||
{^уг)т = (^ у г)с )
Определяя полярную систему координат г и 0, как указано на рис. 14(b),
<- = [ ( * - °)2 + M i У2]1'2, е = { arctg |
}. (59) |
можно вывести следующие асимптотические выражения для сдвиговых динамических напряжений:
(т~ )т — |
w |
sin i |
e + " - |
|
1 |
1 |
<60> |
(т^ = |
v |
r C0S7 |
e + |
Функциональные зависимости (т*2)т и (туг)т от угла 0 анало гичны статическому случаю, однако из определения угла 0 (уравнение (59)) видно, что угловые изменения напряжений при антиплоском сдвиге зависят от (А,2)т или с/(с2) ш. Коэф фициент интенсивности напряжений
= = /?з [с/(с2)т] *1 У я |
(51) |
также зависит от с/(с2)т . Зависимость нормированного коэф
фициента k j{x l 'y/a) от a/h при различных значениях с/(с2)т и Gc/G m = Ю, рс = pm, показанная на рис. 16, аналогична зависимости для k\ (рис. 15).