Прикладная механика композитов

a UQ = 0. Продольное направление композита выбрано вдоль оси 2 . Соответствующее напряженное состояние можно опре­ делить по формулам

Аналогично получаем основные волновые уравнения:

Величины ci и c2 определены уравнениями (4).

2.1.3. Сдвиг при кручении. Допустим, что цилиндрическое композитное тело динамически скручивается относительно оси 2 так, что имеется перемещение только в направлении оси 0:

Существуют две ненулевые компоненты тензора напряжений:

Это приводит к волновому уравнению

где c2 определено вторым из уравнений (4).

2.2. ПЛОСКАЯ ТРЕЩИНА, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ВОЛОКНАМ

Рассмотрим однонаправленный волокнистый композит, показанный на рис. 1. Дефект в форме плоской трещины ши­ риной 2а находится в матрице со свойствами Gm, vm и pm, тогда как волокно обладает свойствами Gf, Vf и pf, а компа-

Эта задача была решена в работе [9] с помощью метода интегрального преобразования, разработанного в [3]. Уста­ новлено, что поле динамических напряжений у вершины тре­ щины обладает сингулярностью типа единицы, деленной на квадратный корень из радиального расстояния г, отсчитывае­ мого от вершины трещины, а угловое распределение выра­ жается через угол 0. Выражения для напряжений имеют вид

Члены более высокого порядка по степеням г в уравнениях (15) незначительны, так как стремятся к нулю, когда г при­ ближается к вершине трещины (рис. 1(b)). Компонента на­

пряжения ( o z)m равна Vm[(Ox)m+ (Ог/)т].

Численные значения величины f\[{c2 )mt/a\ из уравнения (16) графически изображены при различных отношениях Gc/Gm и a/h на рис. 2 и 3. Неоднородности, являющиеся ре­ зультатом различия коэффициентов Пуассона и плотностей,

заны на рис. 2. Видно, что ординаты всех кривых сначала возрастают до максимума, а затем несколько уменьшаются.

к толщине слоя матрицы — показано для случая Gc/Gm — 10 на рис. 3. Видно, что коэффициент интенсивности динамиче­ ских напряжений k\ (t) уменьшается с увеличением длины трещины. Существует тенденция к стабилизации трещины с увеличением ее длины. Излом на кривой, соответствующей, параметру a/h = 2,0 в области малых значений t, характе­ ризует прибытие волн, отраженных от поверхности раздела. Эта особенность не наблюдается на кривой, соответствующей значению a/h = 0,5, так как поверхность раздела более уда-

Рис. 2. Зависимость коэффициента интенсивности напряжений от времени в случае нормального удара для различных отношений модулей сдвига.

лена от трещины и отраженные волны являются более слабыми.

2.2.2. Сдвиговый удар. Соответствующую задачу о сдвиго­ вом ударе с амплитудой то также можно решить методом, предложенным в работе [9]. Граничные условия для / > О определим в виде

Предположения о непрерывности перемещений и напряжений

ных напряжений через коэффициент интенсивности напряже­ ний £ г(0 :

Рис. 6. Зависимость коэффициента интенсивности напряжений от времен» в случае нормального удара для трещины, перпендикулярной волокнам-

Граничные условия для трещины по-прежнему определяются уравнениями (12).

у вершины трещины, нормальной к волокнам, может испыты­ вать значительно большие напряжения, чем у трещины, па­ раллельной волокнам. Это объясняется тем обстоятельством, что вершины нормально ориентированной трещины ближе к волокнам данного композита и испытывают более интен­ сивные отраженные волны.

2.3.2. Сдвиг. В работе [9] показано, что для трещины, изображенной на рис. 5, при выполнении условий (17) и (18) уравнение (19) для k2{t) принимает вид

Рисунок 7 снова свидетельствует о том, что локальное дина­ мическое напряжение осциллирует со временем и имеет мак­ симум, соответствующий моменту прихода волны, отражен-

J______________I______________I_____________ L _

W l *

Рис. 7. Зависимость коэффициента интенсивности напряжений от времени в случае сдвигового удара для трещины, перпендикулярной волокнам.

ной от вершины трещины и поверхности раздела. Результа­ ты, вытекающие из уравнения (23), аналогичны ранее полу­ ченным с помощью уравнения (22) и поэтому в интерпрета­ ции не нуждаются.

Используя суперпозицию решений, полученных в разд. 2.2 и 2.3, можно получить общее решение для трещины, наклоленной под произвольным углом к направлению волокон.

2.4. КРУГОВОЙ ДЕФЕКТ МЕЖДУ РАЗОРВАННЫМИ ВОЛОКНАМИ

Волновые уравнения (8) и (11) применяются в упруго­ динамических задачах, обладающих осевой симметрией или симметрией вращения. Это имеет место в случае волокон с круглым поперечным сечением, подверженных однородному растяжению или кручению. На рис. 8(a) показано место ве­ роятного начала разрушения, где концы двух разорванных круглых волокон образуют зазор толщиной 2h. В этом зазоре имеется круговой дефект радиуса а, связанный с системой прямоугольных декартовых координат х, у, z (рис. 8(a)).

2.4Л. Мгновенное растяжение. Круговой дефект мгновенно растягивается в направлении z так, что поле перемещений,

Рис. 8. Мгновенное растяжение и кручение, прилагаемые к трещине, рас­ положенной между разорванными волокнами, (а) Круговой дефект между разорванными волокнами; (Ь) компоненты напряжений в цилиндрической системе координат.

Предполагается непрерывность перемещений и напряже­ ний на поверхностях раздела, где матрица соприкасается с концами волокон, т. е.

С помощью метода интегральных преобразований в ра­ боте [9] определены следующие локальные напряжения в

Отметим, что для кругового дефекта зависимости динамиче­ ских напряжений от г и 0 имеют такой же вид, как и для

фициент интенсивности напряжений k\(t) зависит от времени:

а затем уменьшаются до величины ki = 2o0'\/a/n, соответ­ ствующей статическому решению. Когда размер дефекта ста­ новится больше величины зазора, пиковые значения k\{t) достигаются при меньших /, что объясняется более ранним приходом волн, отраженных от концов волокон.

2.4.2.Мгновенное скручивание. Допустим, что композит,

изображенный на рис. 8(a), внезапно скручивается так, чго и волокна, и матрица испытывают только угловое перемеще­ ние UQ (см. уравнение (9)). Волновое уравнение (11) следует решать при следующих граничных условиях:

где г\ — радиальное расстояние от плоскости х, у. Изменение сдвигового напряжения в уравнении (29) соответствует мгновенному приложению крутящего момента. Непрерывность сдвигового напряжения и углового перемещения задается ус-