Теория автоматического управления

мальности утверждает, что каждый участок оптимальной траекто­ рии от любой ее промежуточной точки x(t) до конечной точки х (/к)

381

также оптимален по рассматриваемому критерию. Так, если имеется единственная оптимальная траектория 1—2 (рис. 11.4, сплошная линия) и на ней рассматривается промежуточная точка х (/), то согласно принципу оптимальности оптимальной для «начального» состояния х (t) будет траектория 2 (независимо от того, по какой траектории система пришла в указанную точку). В справедливости этого утверждения нетрудно убедиться, рассуждая от противного. Действительно, если бы между точками х (t) и x ( t K) существовала какая-либо другая оптимальная траектория 2', то и для началь­

траектория 1—2 единственная оптимальная траектория.

Заметим, что начальный участок 1 оптимальной траектории сам по себе может и не быть оптимальным.

Вследствие отмеченного принципиального различия конечных и начальных участков оптимальной траектории при применении метода динамического программирования часто используют про­ цедуру поэтапной оптимизации траектории с попятным движением от конечного состояния к начальному: вначале оптимизируют са­ мый последний отрезок траектории, затем прилегающий к нему предпоследний и так далее все предшествующие отрезки до задан­ ного исходного состояния х (0). При этом на каждом шаге такой поэтапной оптимизации приходится делать серию предположений о возможных исходах управления на предыдущем шаге (еще не най­ денного!), для каждого из предположений находить оптимальное управление и значение функционала на рассматриваемом текущем шаге и выбирать из серии найденных управлений то, которое сов-

382

(11.65)

Отсюда с учетом уравнений объекта (11.61)

(11.66)

Уравнение (11.66) справедливо для любого допустимого управ­ ления у (t) £ У, не выводящего объект на границу области У, При оптимальном управлении у* (t) это уравнение с учетом выра­ жения (11.64) приобретает вид

тор-столбец, соответствующий градиенту grad S скалярной функ­ ции S векторного аргумента х; ( ) — обозначение скалярного произведения векторов.

Уравнение Веллмана представляет собой специфическое диффе­ ренциальное уравнение первого порядка в частных производных относительно одной переменной S. Специфичность уравнения за­ ключается в том, что оно содержит операцию минимизации по аргу­ менту у (t) и поэтому справедливо только для оптимального управ­ ления у* (t).

Уравнения (11.67) — (11.69) выражают необходимое условие оптимальности управления и определяют порядок решения задачи

384

оптимального управления методом динамического программирова­ ния. На первом этапе минимизируют выражение в правой части: для чего дифференцируют ее по управлению у (/) и приравнивают производную к нулю. В результате минимизации оптимальное уп­ равление у* (/) выражается через функции /0, / и не известные пока составляющие градиента 5:

При подстановке выражения (11.70) в уравнение (11.69) послед­ нее уже не будет содержать операцию минимизации и управление у* (/), и поэтому может быть разрешено относительно неизвестной S при граничном условии

по аргументу х , и подставив его в формулу (11.70), выражают оп­ тимальное управление через переменные состояния x(t).

В заключение отметим, что в случаях, когда функции / г и / 0 не зависят явно от времени t, функция S также не зависит от вре­ мени, и, следовательно, dS/dt = 0.

Пример 2. Определим для стационарного линейного объекта

(P) = (P)ly (P) = koIp (T0p + 1) (11.72)

оптимальное управляющее воздействие у* (/), стабилизирующее объект в по­

13 Зак. № 507

После подстановки выражения (11.77) в уравнение Веллмана приходим к нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных пер­

с неопределенными коэффициентами Сц, с12, с22, удовлетворяющей указан­ ному граничному условию.

Подставив функцию S и ее производные в уравнение (11.78) и прирав­

Коэффициент сп нет необходимости определять, так как управление у* зависит только от производной dSldx2, в которую этот коэффициент не вхо­

дит.

Теперь при найденных .значениях коэффициентов (11.80) можно вычис­ лить производную dSldx2 и записать окончательное выражение для опти­ мального управляющего воздействия

У* (0 =

X (2с12хг + 2с22х2) = — Ajqlr х± —

(11.81)

являющегося, очевидно, линейной функцией переменных состояния.

Связь метода динамического программирования с принципом максимума. Применим уравнение Веллмана (11.67) для случая,

когда функции и / 0 не зависят явно от времени, т. е. когда dSIdt = 0. Напомним, что к такому случаю можно свести и задачу с нестационарными объектом (11.61) и функционалом (11.62). Для этого необходимо лишь ввести дополнительную переменную состоя­ ния хп+ъ удовлетворяющую уравнению (11.35).

Расширим вектор-столбец градиента функции S в формуле ^11.69) на один элемент, равный единице, и обозначим его

с противоположным знаком максимуму совпадающей с ней по мо-

386

дулю отрицательной функции. Тогда вместо уравнения (11.67) можно записать

Сопоставляя полученное выражение с условием (11.46) прин­ ципа максимума, легко убедиться, что они идентичны, если век­ тор <р отождествить с вектором ф, т. е. если

Поясним смысл выбора оптимального управления в соответст­ вии с выражением (11.83). Для этого введем вспомогательную функ­ цию

точки в расширенном пространстве состояния х , и в этом простран­ стве существуют изоповерхности S = const равных значений функционала (11.63). Согласно выражениям (11.84), (11.85) вектор ф является взятым со знаком минус градиентом скаляра S в про­

бражающей точки X.

Таким образом, условие максимизации скалярного произведе­

ния векторов ф и / означает следующее: необходимо в каждый мо­ мент времени выбирать такое управление у , чтобы проекция век­

тора скорости х изображающей точки на вектор отрицательной нормали к изоповерхностям критерия оптимальности была макси­

мальной, т. е. чтобы составляющая вектора лгв направлении наи­ скорейшего убывания функционала Q была максимально большой. При этом проекция оказывается отрицательной, а ее максимальное значение равно нулю.

Рис. 11.5. Управляющее воздействие в системе, оптимальной по быстродействию

в изолированных точках. Если же эта функция обращается тож­ дественно в нуль на каком-либо конечном интервале времени, то задача управления относится к классу особых задач оптимального управления, для решения которых применяются специальные методы.

Как видно из выражения (11.96), для получения оптимальных управляющих воздействий в виде известных функций времени у* (t) необходимо найти вспомогательные функции ф* (/), которые

являются решениями системы уравнений (11.92). Вид этих решений зависит от начальных условий ф (0) и от собственных значений р*

того, сложность решения вспомогательной системы уравнений (11.92) определяется еще и тем, что начальные условия ф* (0) за­ ранее неизвестны и в общем случае их нельзя выразить в аналити­ ческой форме через граничные условия х„ и лгк основной системы уравнений (11.87). Поэтому условия фг (0) приходится подбирать методом последовательных приближений до тех пор, пока управ­ ления yj (/), получающиеся при выбираемых значениях ф*(0), не обеспечат выход вектора x(t) в заданное конечное состояние х к.

Однако во многих практических случаях задачу синтеза разомк­ нутой системы с максимальным быстродействием удается решить без отыскания функций ф* (/). При этом дополнительно к принципу максимума используют теорему об п интервалах.

Теорема об п интервалах, сформулированная и доказанная в 1953 г. советским ученым А. А. Фельдбаумом, утверждает сле­ дующее: если все корни характеристического уравнения линей­ ного объекта (11.88) (т. е. собственные значения ^ матрицы А) —

390