Теория автоматического управления

Спектральная плотность выходного сигнала согласно (8.21)

оо

и представить образованное выражение с тремя интегралами как произведение интеграла вида (8.21) и двух интегралов вида (8.44)

Соотношение (8.55) показывает, что

спектральная плотность выходного сигнала равна спектральной плотности входного сигнала, умноженной на квадрат ампли­ тудной частотной характеристики звена (системы).

Формулу (8.55) можно получить также, исходя из чисто физи­ ческих представлений: а. ч. х. | W (/со) | при каждом значении аргу­ мента со определяет отношение амплитуд гармоник входного и вы­ ходного сигнала, а спектральные плотности S x (со) и S y (со) при фиксированном значении со равны квадратам относительных ам­ плитуд гармоник.

Если равенство (8.55) объединить с формулой (8.20), записан­ ной для сигнала у (t), то получим еще одну важную для практиче­ ских расчетов формулу:

по которой вычисляют дисперсию сигналов на выходе систем управ­

зывают динамическое звено, которое преобразует входной сигнал в виде белого шума в выходной сигнал с заданными статистическими

характеристиками.

Пусть на входе формирующего фильтра ФФ (рис. 8.6, в) дейст­

Следовательно, для получения на выходе ФФ случайного сиг­ нала с желаемой функцией S x (со) необходимо частотную функцию фильтра выбрать в соответствии с равенством (8.57), т. е.

квадрат а. ч. х. ФФ должен быть равен спектральной плотности сигнала, формируемого из белого шума.

Для нахождения функции (/ю) заданную спектральную плотность представляют в виде произведения двух комплексно-со­ пряженных сомножителей W$ (/со) и W$ (— /со). Из них выбирают тот, который имеет нули и полюса в верхней полуплоскости со, т. е. тот, который соответствует устойчивому, физически реализуемому звену. Например, для получения на выходе ФФ случайного сигнала

Формирующий фильтр (8.59) представляет собой инерционное

Последовательное соединение ФФ и исследуемого звена ИЗ

Метод формирующего фильтра заключается в том, что при ста­ тистическом анализе систем управления перед исследуемым звеном (или системой) включают ФФ с а. ф. х., соответствующей спек­ тральным свойствам реального входного сигнала х (t), а характе­ ристики выходного сигнала у (t) определяют при подаче на вход эквивалентного звена (или системы) белого шума. Такой переход от исследования реального звена к исследованию эквивалентного в ряде случаев упрощает математические выкладки и задачу ана­ лиза. Например, для определения дисперсии выходного сигнала исследуемого звена достаточно получить (аналитически или экс­

Эту же дисперсию можно получить интегрированием в частот­

Приравнивая правые части формул (8.62) и~(8.63), можно по­ лучить частный случай равенства Парсеваля (2.36).

Пример. Вычислим дисперсию на выходе инерционного звена первого порядка с передаточной функцией W (р) = k/(Tp + 1) при действии на его входе белого шума с интенсивностью Sxo и шириной спектра шп > сос = 1IT Решим задачу интегрированием в частотной области — при помощи

формулы (8.56). Дисперсия выходного сигнала у

Применим формулы, приведенные в 8.3, для расчета точности замкнутой системы управления, обобщенная алгоритмическая схема которой показана на рис. 8.7, а.

Будем считать, что передаточная функция W (р), равная произ­ ведению передаточных функций объекта и управляющего устрой­ ства, известна. Не заданы могут быть лишь некоторые параметры управляющего устройства.

На систему действуют случайные возмущения хп и хв с извест­ ными спектральными плотностями Sn (со) и S B(со). Задающее воз­ действие х3 также является случайным сигналом со спектральной плотностью S 3 (со). Пусть все три воздействия — центрированные сигналы. Тогда и сигнал ошибки е будет центрированным.

Если указанные внешние воздействия не коррелированы между собой, то сигнал ошибки е, возникающий в системе, может рассмат­ риваться как сумма трех независимых составляющих (рис. 8.7, б):

Составляющая е3 обусловлена неточным воспроизведением за­ дающего воздействия, а составляющие еп и ев — неполным подав­ лением возмущений хп и хъ.

Соответственно и дисперсия сигнала ошибки может быть пред­

Каждая из этих дисперсий может быть вычислена по формуле (8.56) независимо друг от друга:

Рис. 8.9. График зависимости дисперсии сигнала ошибки от пе­ редаточного коэффициента разом­ кнутого контура

в широкой полосе частот (рис. 8.8, в). С увеличением передаточ­ ного коэффициента k разомкнутого контура а. ч. х. |Ф ез(/(о)|

и I Ф8п (/со) | по каналам х3 —е и хи—е смещаются в область более высоких частот, а резонансный пик становится выше (см. рис. 8.8, а, ву пунктирные кривые).

Так как спектральные плотности Sg3 (со) и SEn (со) равны про­

вается (рис. 8.9). Очевидно, что суммарная дисперсия De при не­ котором значении k = konT будет иметь минимум.

Пример. Определим оптимальное значение передаточного коэффициента для системы с передаточной функцией

На входе системы (см. рис. 8.7, а) действуют задающее воздействие х3 со спектральной плотностью

Сравнивая выражение (8.76) с типовой формой записи полиномов (6 75)

Оптимальное значение коэффициента зависит только от параметров внешних воздействий. Чем больше а3 .(уже спектр задающего воздействия), тем меньше должен быть k (меньше полоса пропускания системы). Чем больше D3, тем шире полоса пропускания. Чем больше интенсивность по­ мехи 5 По. тем меньше должен быть k и, следовательно, уже полоса пропуска­ ния (соср = k).

8.5. Определение оптимальной передаточной функции системы управления

Назначение любой системы управления изменять выходную ве­ личину х (/) по определенному закону и устранять влияние возму­ щений на эту величину. В общем случае автоматическая система должна воспроизводить на своем выходе не само воздействие х3 (0* а некоторый требуемый сигнал хн (t), связанный с сигналом х3 (/), заданным соотношением

где Фи (р) — заданный оператор идеального преобразования вход­ ного сигнала.

б

Рис. 8.10. Алгоритмические схемы к задаче Винера

Вид оператора Фи (р) зависит от назначения системы. В систе­ мах воспроизведения, к которым относятся следящие и стабили­ зирующие системы, Фи (р) = 1. Если обратная связь в системе воспроизведения неединичная с коэффициентом k0. с, то оператор Фи (р) равен постоянному числу l/k0. с.

Из-за того, что на входе системы кроме полезного сигнала х3 (/) действует помеха хг„ идеальное преобразование согласно задан­

личается от идеального выходного сигнала на величину сигнала ошибки е (t) = хИ(/) — х (t). В связи с этим возникает задача син­ теза такой структуры системы, которая обеспечивала бы наилуч­ шее, в том или ином смысле, приближение к идеальному преобра­ зованию Фи (р).

Критерием точности приближения реальной структуры к иде­ альной может служить условие минимума дисперсии сигнала ошибки е.

Задача синтеза структуры линейной системы, оптимальной по критерию (8.3) при стационарных случайных воздействиях, была впервые сформулирована и решена Н. Винером, поэтому она на­ зывается задачей Винера.

Рассмотрим упрощенное решение задачи Винера применительно к расчетной схеме (рис. 8.10,6), которая эквивалентна исходной (см. рис. 8.10, а). Будем полагать, что входные воздействия х3 (0 и х„ (/) не коррелированы между собой. Следовательно, и состав­ ляющие е3 и еп сигнала ошибки будут независимы друг от друга.

Дисперсия сигнала ошибки равна интегралу спектральной плот­ ности (8.84):

De = —— $ {S3 (со) | Фи (/со)— Ф (/со) |2+ S n (ю) | Ф (/a*) |2| d со. —ос

(8.85)

Задача Винера заключается в определении такой частотной пе­ редаточной функции Ф (/со) замкнутой системы, которая обеспечи­ вает минимум дисперсии De. Для решения этой задачи формулу (8.85) необходимо преобразовать: представить в форме, при которой искомая функция Ф (усо) входит только в одно слагаемое подынтег­ рального выражения (выкладки здесь не приводятся):

Оптимальная передаточная функция зависит от вида заданного оператора идеального преобразования Фи (/со) и соотношения спек­ тральных плотностей задающего воздействия и помехи.

Если помеха представляет собой белый шум и ее интенсивность Sn0 намного больше уровня полезного сигнала [Sno > S3 (со) ], то оптимальная частотная характеристика системы воспроизведе­ ния (Ф„ (/со) = 1)

т. е. повторяет форму кривой спектральной плотности задания. Частотные функции, определяемые выражением (8.88), оказы­

ваются, как правило, физически нереализуемыми: им соответст­ вуют весовые функции w0m (t), отличные от нуля при t < 0.

Оптимальную частотную функцию, удовлетворяющую условию физической реализуемости (w (t) = 0 при / < 0), можно опреде­ лить по формуле Колмогорова-Винера, которая вытекает из (8.88):

где WBX(/со) — частотная функция формирующего фильтра, со­ ответствующего спектральной плотности SBX(со), т. е.

Квадратные скобки со знаком «+» означают, что второй сомно­ житель — функция, имеющая нули и полюсы только в верхней полуплоскости со (или в левой полуплоскости р). Для того, чтобы найти этот сомножитель, необходимо разложить выражение в скоб­ ках на сумму простых дробей и отбросить все дроби, имеющие нули и полюса в нижней полуплоскости со.

Если синтезируемая система должна включать в себя какуюлибо неизменяемую часть, например, объект W0 (/со), то оптималь­ ную функцию изменяемой части, например, регулятора, можно найти по общей функции Фопт. р (/со). Так, оптимальная частотная функция регулятора типовой системы (см. рис. 4.7)

часто оказывается больше степени знаменателя. Это создает труд­ ности технической реализации получаемых функций, особенно в тех

случаях, когда объект содержит запаздывание е—рТ°. Как видно из формулы (8.93), регулятор при этом должен содержать идеаль­

ный упредитель с передаточной функцией е"*’рТ°. Такую функцию можно реализовать только приближенно.

Минимальная дисперсия De, которая теоретически достижима при оптимальной передаточной функции, равна интегралу от пер­ вого слагаемого в выражении (8.86):

Из (8.94) следует, что

предельно достижимая точность системы, тем выше, чем меньше перекрываются спектры задающего воздействия и помехи.