Теория автоматического управления
..pdfпо критерию СО |
|
|
ф в(р) = - ^ М _ = |
-------------_______________ , |
(7.64) |
(Р) |
8гЗ,рз + в г ^ р 2 + 4Toip + l |
|
где Ф (р )— передаточные функции (7.51) и (7.60) замкнутой системы по основному каналу х3—х.
Сравнивая попарно функции (7.51) с (7.60) и (7.63) с (7.64), обратим внимание на следующие их особенности и различия. Все функции имеют знаменатели, соответствующие полиномам Баттерворта. Это означает, что собственные динамические свой ства систем, настроенных по МО и СО, можно приближенно описать инерционным звеном первого порядка
Ф (р)«№ з(р) = 1/(7э/>+1), |
(7.65) |
где 7’3=27’oi для системы, настроенной на МО, и 7’э=47'0 i для системы, настроенной на СО. В числителе передаточной функ ции (7.60) присутствует форсирующий сомножитель 4Г01р+1, из-за которого в системе, настроенной на СО, переходный про цесс по каналу х3—х обладает значительным перерегулирова нием (см. рис. 7.5, б). В передаточную функцию (7.63) в каче стве сомножителя входит реальное дифференцирующее звено с постоянной времени Т02, вследствие чего переходный процесс по каналу ув—х в системе, настроенной на МО, имеет большую длительность, чем в системе, настроенной на СО.
Моделирование на ЭВМ и анализ переходных процессов, происходящих в замкнутой системе по каналам х3—х и ув—х при различных настройках, позволяют сделать следующие в ы в о д ы о в л и я н и и к р и т е р и е в н а с т р о й к и и п а р а м е т р о в р е г у л я т о р а на п о к а з а т е л и п е р е х о д н о г о
п р о ц е с с а и |
преимуществах и недостатках самих критериев: |
1. Увеличение передаточного коэффициента kv приводит |
|
к уменьшению |
времени нарастания /„ и повышению перерегу |
лирования а. |
|
2.Увеличение постоянной интегрирования 7У приводит
кувеличению времени t„ и снижению перерегулирования а.
3.Критерий МО предпочтителен при оптимизации систем,
отрабатывающих в основном изменения задающего воздействия *а, т. е. следящих и программных систем.
4. Критерий СО целесообразно применять при настройке си стем, которые чаще реагируют на возмущающие воздействия у,„
т.е. стабилизирующих систем.
5.Оба критерия обеспечивают по каналу ув—х приблизитель
но одинаковые значения первого максимального отклонения *Шах:
xm3J y B« (0,85-f-1,45) ko/(T02/T0i), |
(7-66) |
где коэффициент 0,85 соответствует отношению |
Го 2/7,, i = 2, а |
1,45 — отношению T02IT0 i = 8. |
|
6. При настройке по критерию МО относительная длительность переходного процесса по каналу ув—х увеличивается с ростом от ношения Toi/Toi-
< n/T oi»5+ l,5(7W 7oi). |
|
(7.67) |
а по критерию СО — уменьшается: |
|
|
tJToi = (35 -г 65)/(Т02/Т01), |
|
(7.68) |
где tn соответствует моменту достижения |
регулируемой величиной |
|
значения х = 0,05 k0 (при ув = 1). |
|
|
7. При ТоJ Тог = 4 длительности переходного |
процесса по |
|
каналу ув—х для обоих критериев одинаковы. При |
7,02/7’01< 4 |
|
лучшее быстродействие создает критерий |
МО, а при |
7,02/7,0I > 4 |
—критерий СО.
Для снижения и устранения больших перерегулирований, ко
торые возникают в системе, настроенной по критерию СО, приме няют сглаживание ступенчатого задающего воздействия путем включения на входе системы специального фильтра — инерцион ного звена первого порядка
Г ф(р)=1/(7фР + 1), |
(7.69) |
где 7ф = 4Го1 — постоянная времени для |
астатических объектов |
(7.40) и (7.42) и статических объектов (7.41) и (7.43) с T0j T 0i > 20. При меньших отношениях постоянную времени 7ф можно умень шить. Естественно, что быстродействие системы при включении сглаживающего фильтра снижается.
Переходный процесс, соответствующий последовательному сое
динению звеньев |
(7.60) и (7.69), |
характеризуется показателями: |
|||||||||
| <т« 8,1 |
%; |
|
« 7,6Т01; |
|
« |
11,7Та1. |
(7.70) |
||||
Пример |
2. |
Пусть |
объект описывается передаточной функцией |
|
|||||||
|
(Р) = |
k0l(Tolp + 1) (Т 02р + 1) (Г03р + |
1), |
(7.71) |
|||||||
где k0 = 5; |
T0i = 0,1 |
с; Г02 = |
0,2 |
с; |
Т03 = |
0,5 с. Определим тип |
и пара |
||||
метры |
регулятора, |
обеспечивающие |
длительность переходного |
процесса |
|||||||
*п *£ 2 |
с и |
перерегулирование |
а < |
10 %. |
|
|
|||||
В соответствии с условиями табл. 7.2 применяем ПИД-регулятор с на |
|||||||||||
стройками по критерию СО: |
|
|
|
|
|
||||||
kp = T 03/2k0T 0l = |
0,5/2-5.0,1 = 0 ,5 ; |
|
(7.72) |
||||||||
Г ;= 4 7 ’о1 = 4 .0 ,1 = 0 ,4 с; |
Гд = Г о2 = |
0,2 с. |
|||||||||
|
|||||||||||
Для снижения перерегулирования, равного 43 % при СО, необходимо сигнал задающего воздействия х3 подавать через сглаживающее звено
Ц7ф(р )= |
1/(Гфр + |
1) |
|
|
(7.73) |
с постоянной |
времени |
Тф = 4 Т01 = 0,4 с. |
Тогда при |
выбранных |
настрой |
ках эквивалентная передаточная функция |
замкнутой |
системы по |
каналу |
||
Хз —X |
|
|
|
|
|
|
|
|
WP (P) W0 (p) |
|
|
ф (р) = |
(р) |
1 + Wp (p)W0 {p) - - ' / [ T i y + STl^l + T J T ^ x |
|||
X P2 4" 4^oi (1 |
+ |
271oi/To3) p -\- 1] = |
1/(0,OOlp3 -(- 0 ,096p'2 -|- |
||
+ 0 ,5 6 p + |
1). |
|
|
|
(7.74) |
Постоянная времени звена первого порядка, эквивалентного данной |
|||||
системе, Тэ = |
0,56 с. Ей |
соответствует |
длительность переходного процесса |
||
/л —* ЗТЭ — 3*0,56 ^ |
1,7 |
с. |
|
||
Последовательная оптимизация контуров подчиненного регули рования. Для управления сложными технологическими комплексами
и электроприводами промышленных установок применяют много контурные системы с несколькими внутренними обратными связями по промежуточным переменным х ъ х 2, , хп_х (рис. 7.6). Каждая t-я обратная связь (для простоты все связи на рисунке приняты
единичными) образует контур регулирования переменной |
При |
чем, (i + 1)-й контур охватывает t-й контур, а регулятор (t + |
1)-го |
контура вырабатывает задание х3 для t-ro контура. Принцип по строения многоконтурной системы с таким каскадным включением регуляторов называют принципом подчиненного регулирования.
В качестве примера рассмотрим принципиальную схему системы управления электроприводом (рис. 7.7), построенную по принципу
Рис. 7.6. Многоконтурная система подчиненного регулирования
Рис. 7.7. Трехконтурная система управления электроприводом рабочей ма шины
подчиненного регулирования. В этой часто применяемой типовой системе осуществлены три обратные связи: главная — по частоте вращения рабочей машины РМ и две внутренние — по току и на пряжению в якорной цепи двигателя М. Главный контур образован с помощью тахогенератора BR и регулятора частоты вращения РЧВ. Он вырабатывает задание Uj. э регулятору тока РТ, который в свою очередь формирует задание ия. 3 регулятору напряжения PH. Последний через тиристорный преобразователь KS воздейст вует на якорную цепь двигателя М.
Расчет настроечных параметров системы, построенной по прин ципу подчиненного регулирования, осуществляют путем последо
вательной оптимизации |
контуров, начиная с внутреннего (t = 1) |
|
с объектом Woi (р) (см. |
рис. 7.6). В каждом последующем оптими |
|
зируемом контуре (i = |
2; 3; |
; п) в качестве объекта регулиро |
вания рассматривают соединение собственного объекта данного контура W0i (р) и звена, эквивалентного замкнутому (t—1)-му контуру, т. е.
W0[9(p )^ W oi(p)Oi. 1(p) = |
^ P ( f - l ) (Р) ^ Q ( f - l) (Р) |
f„\ |
|
I + ^ PH-D WIPOH-D O») |
° |
|
|
(7.75) |
Замкнутый (t—1)-й контур, оптимизированный на предыду щем этапе расчета по критерию МО или СО и описываемый переда точной функцией (7.51) или (7.60), может быть приближенно пред ставлен (с учетом сглаживающего фильтра (7.69) для случая СО) инерционным звеном первого порядка (7.65) с постоянной времени Тэ = 27’oi или Тэ = 47’ох, гДе Тог — наименьшая (некомпенси рованная) постоянная времени объекта (i—1)-го контура. Поэтому условный объект (7.75) описывается также одной из передаточных функций (7.40) — (7.43), и выбор настроек очередного i-го контура можно осуществлять в соответствии с рекомендациями табл. 7.2.
Пример 3. Определим передаточные функции и настроечные параметры
регуляторов тока Р Т и частоты вращения Р Ч В |
двухконтурной |
системы уп |
равления электроприводом, алгоритмическая |
схема которой |
показана на |
рис. 7.8 . |
|
|
Пусть известны передаточные функции двигателя (без учета внутренней
обратной связи по ЭДС), тиристорного преобразователя и датчиков:
W„(p) = k„l(Tnp + i y , |
W„ (р) = |
1/г„ (Тяр -f-1); |
| |
(7 76) |
|||||
(Р) = |
k j p ; |
Wjjj(p) = kpj; |
|
И7дЧ (р) = £дт, } |
|
||||
где kp = 50 |
В/В; |
Т п = |
0,01 |
с; |
г я = |
0,1 Ом; |
Т я = 0,05 |
с; А„ = 0,02 |
|
(об/с)/(А ■с); Адх = |
0,01 В/А; |
Адч |
= |
0,5 |
В/(об/с). |
|
|
||
Для внутреннего контура — контура тока, в котором объектом является |
|||||||||
инерционное звено |
второго порядка |
|
|
|
|||||
Woi (Р) = |
W R1 (р) W n (р) W я (р) = |
— |
*д ^ |
Гя----------, |
(7.77) |
||||
("пР+ 1) (Тяр + 1)
Рис. 7.8. Алгоритмическая структура двухконтурной системы подчиненного регулирования электропривода
целесообразно применить ПИ-регулятор с настройкой по критерию МО, т. е. с полной компенсацией наибольшей постоянной времени Тит = Т02 = Т я = = 0,05 с и с передаточным коэффициентом (см. табл. 7.2)
крт = |
Т 02 |
|
?У я |
_ |
0,05-0,1 |
|
= Q g |
(7.78) |
||
2k0T ох |
|
гМ дтТ 'п |
2-50 0,01 0,01 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Эквивалентная передаточная функция замкнутого контура тока при |
||||||||||
выбранных |
настройках равна |
|
|
|
|
|
|
|||
ф . О» - |
ф , (Й |
= |
2Т2У |
';*ДТ------» _ ! * Д |
З |
_ . |
(7 .79) |
|||
|
|
|
+ 2Тпр + 1 |
2Твр + 1 |
|
|
||||
С учетом последнего упрощения объект регулирования в контуре ча |
||||||||||
стоты можно представить следующим образом: |
|
|
|
|
||||||
W02s(P) = ^l(P)Wu(p) Гдч (р) __ |
&ДЧ^м |
1) |
|
|
(7.80) |
|||||
|
|
|
|
|
bpjP (27’пР + |
|
|
|
||
Таким объектом можно управлять с помощью настроенного на МО П-ре- |
||||||||||
гулятора с коэффициентом |
|
|
|
|
|
|
|
|||
крц = |
1 |
_ |
& |
д т _______0,01 |
= |
25 В/В, |
(7.81) |
|||
2k0T 01 |
|
lk A4kuT n |
|
|
||||||
|
|
4-0,5*0,02 0,01 |
|
|
|
|||||
но при этом будет возникать существенная статическая |
ошибка по скорости |
|||||||||
Ап |
— ■Д1— = |
4£мТп = |
4-0,02-0,01 = 8-10~* |
(об/с)/А, |
(7.82) |
|||||
|
||||||||||
At'c |
/грц/гдч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зависящая только от динамических параметров двигателя и преобразова теля, и следовательно, принципиально неустранимая. Поэтому в контуре частоты целесообразно применять ПИ-регулятор, настроенный на СО, т. е. с частичной компенсацией инерционности:
Г ,ч — 4^oi — 87^ — 0,08 с; крц — * |
£дт _ 25 В/В. |
2k0Tох |
4/гдч^м^п |
|
(7.83) |
255
Для снижения больших перерегулирований, возникающих при ступен чатых изменениях сигнала «3. ч, необходимо его пропускать через сглажи вающий фильтр (7.69) с постоянной времени Гф = Тяч = 0,08 с. При этом длительность переходного процесса согласно (7.70): (п = 11,7 Toi =
=11,7-2 Гп » 0,23 с, а перерегулирование по частоте вращения о « 8 %.
7.4.Определение настроечных параметров типовых регуляторов технологических объектов с запаздыванием
Используем общие принципы построения идеальной системы (см. 7.2) для выбора структуры и параметров регулятора, гаранти рующих получение заданных показателей качества в системе уп равления с одним из следующих инерционных объектов первого и второго порядка с запаздыванием:
Wo(p) = k0e -px°/(Topl); |
|
(7.84) |
|
W0 (р) = k0 е~р%01(То1р + 1) (Т02р + |
1); |
(7.85) |
|
W0(p) = koe-px°l(Toip+ I)2, |
|
(7.86) |
|
где То = |
т0 —0,11 Т0, То = 0,64 Т0, |
Г0£ = 0,37 Т0, а |
параметры |
Т0 и т0 |
определяются экспериментально — проведением |
касатель |
|
ной к переходной характеристике объекта (3.8).
Подставив передаточную функцию объекта (7.84) в передаточ ную функцию регулятора (7.12), идеальную для объектов с запаз дыванием (при хп = 0 и Фопт (р) = 1), и произведя приближен ную замену (7.19), допустимую в области низких частот, т. е. при медленных воздействиях, получим
(7.87)
Очевидно, что для объекта с инерционной частью первого по рядка (7.84) регулятор Ресвика вырождается в ПИ-регулятор (4.63) с настроечными параметрами:
кр —То/&оТ0‘, Гн — Т 0. |
(7.88) |
Для объекта (7.85), имеющего инерционную часть второго по рядка, наилучшим будет ПИД-регулятор (4.65). Действительно, если подставить передаточную функцию (7.85) в общую формулу идеального регулятора (7.12) и учесть замену (7.19), то получим
■]р. (7-89)
Очевидно, что настроечные параметры полученного ПИД-регу- лятора будут следующими:
= {Тох To^/kotot T H— Toi~{~To2\ Тц = 7’OI7’O2/(7'O I То^)- (7.90)
Для наиболее рациональной аппроксимации объектов с s-об- разной переходной характеристикой — модели (7.86) с двумя оди
наковыми постоянными времени |
Т01 = Т02 = Т о£ |
= 0,37 Т0 па |
раметры ПИД-регулятора должны быть равны: |
|
|
\k p = 0 ,W J k oT'o, 7\, = 0,747V, |
Гд = 0,18Го. |
(7.91) |
На основании полученных общих соотношений между парамет |
||
рами объекта и регулятора можно сформулировать |
р е к о м е н |
|
д а ц и и п о в ы б о р у з а к о н о в р е г у л и р о в а н и я и и х н а с т р о е ч н ы х п а р а м е т р о в :
1. Для объектов с запаздыванием, инерционная часть которых действительно близка звену первого порядка (а не просто аппрок симирована таким звеном!), целесообразно применять ПИ-регу- лятор.
2. Для .объектов с запаздыванием, у которых инерционная часть имеет порядок п > 2, наилучшим регулятором является ПИД-регулятор.
3. Значения настроечных параметров ПИ- и ПИД-регуляторов связаны с параметрами объекта: передаточный коэффициент регу лятора kp обратно пропорционален коэффициенту объекта k0 и прямо пропорционален отношению постоянная времени интегрирования Тн и постоянная времени дифференцирования ТА пропорциональны постоянной времени объекта Т0. Коэффициенты пропорциональности между параметрами регулятора и объекта зависят от точки приложения и характера входных воздействий и требований, предъявляемых к переходному процессу в системе регулирования.
Заметим, что введение дифференциальной составляющей в ПИзакон регулирования, как правило, улучшает переходный про цесс — уменьшает первый выброс и длительность. Но при больших отношениях %JT0 или при действии в контуре системы случайных помех ПИД-регулятор следует применять с определенной осторож ностью, после дополнительных исследований системы. рр
Эмпирические формулы (табл. 7.3) обобщают результатьтэкспериментальных исследований по определению настроечных пара метров типовых регуляторов для объектов с запаздыванием. Па раметры определены путем моделирования систем на АВМ при сту пенчатых изменениях задающего х3 и управляющего ув воздейст вий. Обеспечиваемым показателем качества системы, .является пе^ ререгулирование сг (0 или 20 %) на выходе объекта.
Формулы для канала х3—х получены без учета ограничения на величину управляющего воздействия, необходимого для обеспе чения заданного показателя а. Если такое ограничение наложено,
Т а б л и ц а 7.3
Формулы для расчета настроечных параметров типовых регуляторов статических инерционных объектов с S-образной переходной характеристикой
(при x J T 0 = 0 + 1 )
Закон |
Обобщенный параметр |
По каналу |
x^—x |
По каналу УЕ—х |
|
|
|
|
|
||
регулирова |
контура |
a=0 |
<J=20 % |
<J=0 |
a=20 % |
ния |
|
||||
п |
kpk0x j T 0 = |
0,30 |
0,70 |
0,30 |
0,85 |
п и |
kphoTo/To = |
0,35 |
0,60 |
0,60 |
0,75 |
11x1 |
T J T Q= |
1,20 |
1,00 |
4,00 |
2,65 |
|
|||||
пид |
kpkoZolTQ = |
0,60 |
0,95 |
0,95 |
1,20 |
kpkoTQ/TQ = |
1,00 |
1,35 |
2,40 |
2,00 |
|
|
7д/т0 = |
0,50 |
0,47 |
0,42 |
0,42 |
то приходится уменьшать коэффициент регулятора (без изменения параметра Ти). Например, при максимально допустимом значении управляющего воздействия ум = 1,5 у (оо) передаточный коэффи циент ПИ-регулятора следует выбирать по формуле
М о » 1 J T J x 0 |
(7.92) |
рl + To/To
Пример. Определимнастроечные параметры ПИ-регулятора, стабили зирующего температуру в сушильной установке изменением подачи топлив ного газа. Переходная характеристика установки по указанному каналу
имеет s-образную форму (см. рис. 3.20) |
и |
следующие параметры: |
k0 = |
||
= 0,5 °С/% |
хода ИМ; |
Т0 = 100 с; т0 = |
30 |
с. |
20 % |
Пусть |
требуется |
обеспечить в системе |
перерегулирование а ^ |
||
при ступенчатом возмущении на входе объекта. Формулы |
для расчета га |
||||
рантирующих настроек (см. табл. 7.3) |
в данном случае имеют вид: |
|
|||
kpk0%0!T0 = 0,75; Т Я1Т0 = |
2,65. |
|
|
|
(7.93) |
Отсюда kp = 0,75-100/0,5-30 = |
5 % |
хода/°С; |
Т и = 2,65-100 = 265 |
с. |
|
Полученное произведение |
kpk0 = |
2,5 не |
удовлетворяет условию |
(7.92). |
|
Это о$ЙйЧает, что при ступенчатом воздействии х3 (t) = |
1 (t) управляющее |
||||
воздействие у (/) превысит во время переходного процесса свое установив шееся значение у (оо) более чем в 1,5 раза. Если такое превышение недопу стимо, то найденное значение kp следует уменьшить.
7.5.Осуществление инвариантности в стабилизирующих
иследящих системах
Одной из главных целей синтеза автоматической системы яв ляется обеспечение требуемой точности в установившихся и пере ходных режимах. Точность систем в установившихся режимах
258
можно улучшить, увеличивая порядок астатизма и коэффициент разомкнутого контура (см. гл. 4). Но при этом, как правило, умень шается запас устойчивости, увеличивается колебательность и, как следствие, ухудшается точность системы в переходных режимах. Эффективным средством устранения противоречия между усло виями точности в установившихся и переходных режимах служит компенсация внешних воздействий путем осуществления инвариант ности.
Термин «инвариантность» означает независимость одной фи зической величины от другой. В теории автоматического управле ния рассматривают независимость выходных величин (управляе мой величины или сигнала ошибки) от входных воздействий. В си стемах стабилизации стремятся получить независимость управляе мой величины от возмущающего воздействия, а в следящих систе мах — независимость сигнала ошибки от задающего воздействия. В многомерных системах с несколькими контурами управления добиваются независимости каждой управляемой величины от «чу жих» задающих воздействий. В этом случае говорят об обеспечении автономности отдельных контуров управления.
Инвариантность в автоматических системах достигается при помощи управления по возмущению: управляющее воздействие формируется в зависимости от изменений возмущающего воздейст вия (см. рис. 1.5, б). Очевидно, что этот принцип управления при меним, если возмущающее воздействие может быть измерено.
При помощи разомкнутых цепей воздействий, называемых ком пенсирующими связями, может быть полностью или частично устра нено влияние внешних возмущений на управляемую величину в пе реходных и установившихся режимах. Компенсирующие связи не образуют замкнутых контуров и поэтому не ухудшают устойчивость систем.
Математические условия компенсации внешних воздействий при помощи управления по возмущению изучает теория инвариантно сти, которая разработана советскими учеными: профессором Г В. Щипановым, академиками Н. Н. Лузиным, В. С. Кулебакиным, Б. Н. Петровым и др.
Обычно принцип управления по возмущению применяют в со четании с принципом управления по отклонению. Автоматическая система, в которой одновременно используются эти два принципа, называется комбинированной (см. гл. 1). Ниже рассматриваются условия достижения инвариантности именно в комбинированных системах управления.
Рассмотрим алгоритмическую схему комбинированной системы стабилизации с компенсирующей связью по возмущению z (рис. 7.9, а). Компенсирующая связь действует на выходную ве личину со знаком, который всегда противоположен знаку непо средственного влияния возмущения на выход. Передаточная функ ция системы по возмущению
9*
Рис. 7.9. Алгоритмические структуры комбинированных систем управления с компенсирующими связями:
а — по возмущению; 6 — по задающему воздействию
х(р) |
W02( p ) - W K(p)W y (p)W0 (р) |
(7.94) |
ф « ( р) |
l + Wy (p)W0 (p) |
|
г(р) |
|
|
где Wo ip) и Woz (р) — передаточные функции объекта |
соответст |
|
венно по управляющему и возмущающему воздействию; |
Wy (р) — |
|
передаточная функция управляющего устройства; WK(р) — пере |
||
даточная функция компенсирующего устройства. |
|
|
Управляемая |
величина х (/) не зависит от возмущения z (t), |
|
если передаточная функция (7.94) равна нулю: |
|
|
Ф ,/(Р) = 0, |
|
(7.95) |
а это возможно, если равен нулю ее числитель. Отсюда у с л о в и е и н в а р и а н т н о с т и с т а б и л и з и р у е м о й в е л и ч и н ы по отношению к возмущению
WOz( p ) - W K(p)Wy(p)Wo{p) = 0. |
(7.96) |
Условие (7.96) означает, что |
от возмущения |
для достижения независимости величины х (t) |
z (t) необходимо, чтобы динамические свойства двух параллель ных каналов, по которым возмущение z ( t) действует на вели чину х (t), были одинаковыми.
Именно благодаря идентичности каналов, сигнал, поступаю щий на выход через звенья WK(р), Wy (р) и W0{p), компенсирует сигнал, идущий на выход через звено W0z (р)-
Согласно условию инвариантности (7.96) передаточная функция
компенсирующего устройства |
|
)WK(р) = W0г (p)/Wy (р) Wo (р). |
(7.97) |