Теория автоматического управления

Компенсирующее устройство представляет собой динамическое звено, свойства которого зависят от соотношения инерционностей канала возмущения (Г 02) и канала управления (WyW0). Если инер­ ционность канала управления больше, чем инерционность канала возмущения, то компенсирующее устройство должно обладать свой­ ствами дифференцирующего звена. Причем, чем больше разница этих инерционностей, тем выше должен быть порядок дифферен­ цирующего звена. Как известно, дифференцирующие звенья вы­ сокого порядка трудно технически реализовать.

Если оба канала объекта обладают запаздываниями т0 и т02, и при этом т0 > т02, то компенсирующее устройство не может быть реализовано физически. Действительно, в этом случае компенси­ рующее воздействие должно опережать возмущение на время т = = т0— т02, что невозможно.

Для обеспечения инвариантности только^в статике компенси­ рующее устройство может быть реализовансГв^виде безынерцион­ ного звена с^передаточным^коэффициентом

В следящих'системах необходимо добиваться независимости сигнала ошибки от задающего воздействия. Для схемы, приведен­ ной на рис. 7.9, б, передаточная функция между задающим воз­ действием х3 (/) и сигналом ошибки е (/)

Отсюда требуемая передаточная функция компенсирующего уст­ ройства

Компенсирующее устройство в следящих системах так же, как и в стабилизирующих, должно обладать дифференцирующими свой­ ствами.

По виду передаточных функций (7.94) и (7.99) можно устано­ вить, что введение компенсирующих связей не изменяет характе­ ристический полином системы и, следовательно, не влияет на ее устойчивость. Очевидно также, что и в стабилизирующей, и в сле­ дящей системах инвариантность осуществима благодаря наличию двух параллельных каналов передачи сигналов от точки приложе­ ния воздействия до выходной величины (х или е). Этот структурный признак достижения инвариантности был впервые сформулирован акад. Б. Н. Петровым в виде принципа двухканальности. Но на­

личие двух каналов является лишь необходимым условием получе­ ния инвариантности. Достаточным условием служит условие фи­ зической реализуемости передаточной функции WK(р) в виде кон­ кретного технического устройства: максимальная степень поли­ нома числителя должна быть меньше или равна максимальной сте­ пени полинома знаменателя.

Если передаточная функция WK(р) удовлетворяет условию фи­ зической реализуемости, то в системе возможно достижение абсо­ лютной инвариантности. Если же передаточная функция WK(р)

не удовлетворяет этому условию и может быть реализована только приближенно, то в системе осуществима лишь частичная инвари­ антность. В системе с частичной инвариантностью независимость достигается только при медленных изменениях входных воздейст­ вий.

Пример. Определим передаточную функцию W к (р) компенсирующего устройства, обеспечивающего инвариантность температуры в сушильной установке (см. пример 2 в 7.4) по отношению к основному возмущению — количеству сушимого материала Q (кг/с).

Пусть передаточные функции объекта по основному каналу

=тог = 19 с.

Вкачестве основного управляющего устройства используется ПИ-ре- гулятор

Звено (7.106) может быть реализовано на стандартном дифференциаторе, изготавливаемом промышленностью, и обеспечивает полную инвариантность.

Если передаточные функции объекта (7.102) и (7.103) имеют различные структуру или параметры, то компенсирующее устройство получается бо­ лее сложным и трудно реализуемым, а инвариантность — лишь частичной.

Контрольные задания и вопросы

1.Какие функциональные элементы входят в неизменяемую и изменяе­ мую части синтезируемой системы управления?

2.Исходя из каких условий выбирают элементы неизменяемой и изме­ няемой частей функциональной структуры?

3.Что представляет собой, идеальная алгоритмическая структура замк­ нутой системы управления?

4.Как достигается полная и частичная компенсация инерционности объекта?

5.При помощи каких типовых динамических звеньев, включаемых по­ следовательно в контур системы, осуществляется параметрическая компен­ сация инерционности объекта?

6.Чем затрудняется техническая реализация идеальных регуляторов?

7.Как компенсируется в идеальном регуляторе чистое запаздывание объекта?

8.Как зависит передаточный коэффициент регулятора от передаточного коэффициента и времени запаздывания объекта?

9.Какую форму согласно критерию МО должна иметь а. ч. х. идеаль­ ной системы?

10. Как связана частота пропускания сопр = со0 идеальной системы

сдлительностью переходного процесса tn?

11.Как влияет общий передаточный коэффициент k разомкнутого кон­ тура на частоту пропускания со0 замкнутой системы?

12.Какие значения показателей качества а и t n обеспечивают критерии МО и СО?

13.Для каких систем регулирования лучше применять настройку по

критерию МО, а для каких — по критерию СО?

14. В каких пределах изменяются рекомендуемые при различных ус­

при увеличении допустимого перерегулирования а?

17.По каким каналам передачи воздействий необходимо добиваться инвариантности в стабилизирующих и следящих системах?

18.Сформулируйте принцип двухканальности как условие, необходи­

мое для достижения инвариантности.

19.Какими должны быть передаточные свойства естественного и ис­ кусственного каналов передачи воздействия от входа к выходу?

20.Какие типовые динамические звенья используются обычно для осу­

ществления компенсирующих связей? Почему?

21. Почему в реальных системах не удается, как правило, обеспечить полную инвариантность?

В теории управления используются, например, такие статистиче­ ские характеристики, как математическое ожидание (среднее зна­ чение), дисперсия (среднеквадратичное отклонение) и т. д.

Различают стационарные и нестационарные случайные сигналы. Статистические характеристики стационарного сигнала не изме­ няются во времени. Статистические свойства нестационарного сиг­ нала с течением времени меняются.

Сущность статистического подхода к анализу и синтезу систем управления состоит в том, что при проектировании системы и оценке ее качества ориентируются не на самые «тяжелые» (но мало­ вероятные) условия функционирования системы, а на некоторые средние, наиболее часто встречающиеся условия.

При действии случайных возмущений в системе никогда не на­ ступает установившийся режим — она непрерывно переходит из одного состояния в другое. Управляемая величина х (0 и сигнал ошибки е (t) также непрерывно изменяются и представляют собой случайные сигналы. Поэтому оценку точности системы можно про­ изводить только при помощи статистических характеристик — математического ожидания и дисперсии двух указанных сигналов.

В данной главе будут рассматриваться только такие случаи, когда входные и выходные сигналы являются стационарными слу­ чайными сигналами, которые можно представлять в виде суммы постоянного математического ожидания и переменной центрирован­ ной составляющей. Поэтому сигнал ошибки согласно принципу суперпозиции также можно рассматривать как сумму постоянной и переменной составляющих, т. е.

Постоянную составляющую те сигнала ошибки вычисляют при помощи методов, изложенных в гл. 4, а переменную составляющую

о

е (/) оценивают в среднем — по величине дисперсии D» , которая

равна дисперсии самого сигнала ошибки:

В качестве критерия оптимальностисистемьГприслучайных воздействиях принимают условие

Выбор критерия (8.3) целесообразенво всех случаях, когда по­ тери, возникающие из-за неточного поддержания управляемой ве­ личины на заданном уровне, пропорциональны квадрату сигнала ошибки. Критерий (8.3), получивший наибольшее распространение в инженерной практике, обладает рядом преимуществ: он связан сравнительно простыми соотношениями с характеристиками си­

стемы и внешних воздействий; при часто встречающемся нормаль­ ном законе распределения случайного сигнала критерий (8.3) при­ водит к тем же результатам, что и другие, более сложные критерии.

Преимуществом критерия (8.3) является также то обстоя­ тельство, что при нормальном законе распределения сигнала дис­ персию сигнала можно связать с некоторыми другими статистиче­ скими показателями точности — вероятностью превышения сиг­ налом е определенного уровня ед, средним числом таких выбросов, средней длительностью выбросов. Например, при заданной вероят­ ности превышения 0,003 и допустимом значении ед дисперсия сиг­ нала ошибки

Неравенства (8.4) выражают известное в теории вероятностей правило «трех сигма».

Среднее за единицу времени число выбросов, превосходящих

ния сигнала и равный среднему за единицу времени числу пересе­ чений сигналом линии среднего значения [см. (8.31) ].

Методы расчета систем, подверженных случайным воздейст­ виям, составляют в теории управления отдельную ветвь, называе­ мую статистической динамикой.

Теоретической основой статистической динамики явились ра­ боты советских математиков — академиков А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина и известного американского ученого Н. Винера. Большой вклад в использовании данной теории для решения задач управления внесли советские ученые — акад. В. С. Пугачев и проф. В. В. Солодовников.

В статистической динамике различают три задачи расчета авто­ матических систем:

определение статистических характеристик выходных сигналов

(управляемой величины и сигнала ошибки) при полностью задан­ ной структуре системы, заданных параметрах объекта и управляю­ щего устройства и известных характеристиках внешних воздейст­ вий;

определение оптимальных параметров управляющего устройства

при заданной структуре системы, заданных параметрах объекта и известных характеристиках воздействий;

определение оптимальной структуры всей системы или только управляющего устройства при известных характеристиках внешних воздействий.

потезе эргодичности будет равно математическому ожиданию тх сигнала:

В дальнейшем для краткости знак предела перед интегралами по времени будем опускать. При этом либо вместо знака = будем использовать знак а : , либо под вычисляемыми статистическими характеристиками будем подразумевать их оценки.

В практических расчетах, когда конечная реализация задана в виде N дискретных значений, отделенных друг от друга равными промежутками времени At = TIN (см. рис. 8.1), среднее значение вычисляют по приближенной формуле

^'Стационарный случайный сигнал можно рассматривать как сумму постоянной составляющей, равной среднему значению тх,

О

и переменной составляющей х (/), соответствующей отклонениям случайного сигнала от среднего:

Очевидно, что среднее значение центрированного сигнала всегда равно нулю.

Так как спектр сигнала х {t) совпадает со спектром соответст­

вующего центрированного сигнала х (t), то во многих (но не всех!)

задачах расчета автоматических систем можно вместо сигнала х (t)

о

рассматривать сигнал x(t).

Дисперсия Dx стационарного случайного сигнала равна сред­ нему значению квадрата отклонений сигнала от математического

Дисперсия Dx является мерой разброса мгновенных значений сигнала около математического ожидания. Чем больше пульсация переменной составляющей сигнала относительно его постоянной составляющей, тем больше дисперсия сигнала. Дисперсия имеет размерность величины х в квадрате.

Дисперсию можно рассматривать так же, как среднее значение мощности переменной составляющей сигнала.

Часто в качестве меры разброса случайного сигнала используют среднеквадратичное отклонение ох = У D* .

Для расчета автоматических систем имеет важное значение сле­ дующее свойство:

дисперсия суммы или разности независимых случайных сигналов

Математическое ожидание й дисперсия являются важными чис­ ловыми параметрами случайного сигнала, но они характеризуют его не полностью: по ним нельзя судить о скорости изменения сиг­ нала во времени. Так, например, для случайных сигналов х х (t) и х 2 (t) (рис. 8.1, б, в) математические ожидания и дисперсии оди­ наковые, но несмотря на это, сигналы явно отличаются друг от друга: сигнал х х (t) изменяется медленнее, чем сигнал х 2 (/).

Интенсивность изменения случайного сигнала во времени можно

где т — варьируемый сдвиг между мгновенными значениями сиг­ нала (см. рис. 8.1, а). Сдвиг т варьируют от .нуля до некоторого значения тм. Каждому фиксированному значению т соответствует определенное числовое значение функции R x (т).

Корреляционная функция (называемая также автокорреляцион­ ной) характеризует степень корреляции (тесноту связи) между пре­ дыдущими и последующими значениями сигнала.

уменьшаются.

Это основное свойство корреляционной функции можно объяс­ нить следующим образом. При малых сдвигах под знак интеграла (8.12) попадают произведения сомножителей, имеющих, как пра­ вило, одинаковые знаки, и поэтому большинство произведений буцут положительными, а значение интеграла большим. По мере уве­ личения сдвига под знак интеграла будет попадать все больше сомножителей, имеющих противоположные знаки, и значения ин­ теграла будут уменьшаться. При очень больших сдвигах (т оо)

Рис. 8.2. Корреляционная функция (а) и спектральная плотность (б) слу­ чайного сигнала

сомножители х (t) и х (i + т) практически независимы, и число положительных произведений равно числу отрицательных произ­ ведений, а значение интеграла стремится к нулю.

Из приведенных рассуждений следует также, что

корреляционная функция убывает тем быстрее, чем быстрее изменяется случайный сигнал во времени.

Из определения корреляционной функции следует, что она яв­

поэтому обычно рассматривают только положительные значения т. Начальное значение корреляционной функции центрированного

сигнала равно дисперсии сигнала, т. е.

Равенство (8.14) получается из выражения (8.12) при подста­ новке т = 0.

Корреляционную функцию конкретного сигнала определяют по экспериментально полученной реализации этого сигнала. Если реализация сигнала получена в виде непрерывной диаграммной за­ писи длиной Т, то корреляционную функцию определяют при по­ мощи специального вычислительного устройства — коррелятора (рис. 8.3, о), реализующего формулу (8.12). Коррелятор состоит из блока задержки БЗ, блока умножения БУ и интегратора И. Для определения нескольких ординат Rx (tft) блок запаздывания по­ очередно настраивают на различные сдвиги т*.

Если же реализация представляет собой совокупность дискрет­ ных значений сигнала, полученных через равные промежутки Дt

которую вычисляют при помощи ЦВМ.