Теория автоматического управления

Для использования изложенного приема применительно к аста­ тическим системам, которые содержат интегрирующее звено, и ам­ плитудно-фазовые характеристики которых начинаются в — оо на мнимой оси, характеристику W (/to) предварительно дополняют в четвертом квадранте дугой окружности бесконечно большого радиуса. ^

Для суждения об устойчивости систем, имеющих а. ф. х. слож­ ной конфигурации, когда кривая а. ф. х. пересекает действительную ось левее точки (— 1; /0) несколько раз, можно также использовать п р а в и л о п е р е х о д о в , сформулированное советским уче­ ным Я. 3. Цыпкиным: а. ф. х. не охватывает точку (— 1; /0), т. е. система устойчива, если при возрастании to разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) пере­ ходов а. ф. х. через ось абсцисс слева от точки (— 1; /0) равна нулю.

Если а. ф. х. начинается или заканчивается на отрезке (— оо;

—1), то считают, что характеристика совершает полперехода. Частота, при которой амплитудная характеристика A (to) [мо­

дуль функции W (jin) ] принимает значение 1, называется частотой

Пользуясь введенными обозначениями, можно записать условие

Частота, с которой система колеблется на границе устойчивости, называется критической и обозначается toKp.

Дадим ф и з и ч е с к у ю т р а к т о в к у основной формули­ ровки к р и т е р и я Н а й к в и с т а . Предположим, что на входе

ции W (р) разомкнутого контура и анализируют данное характе­ ристическое уравнение.

Во многих практических случаях устойчивость разомкнутого контура может быть оценена без каких-либо вычислений непосредст­ венно по виду входящих в контур звеньев.

Пример 1. Определим с помощью критерия Найквиста максимально до­ пустимое значение общего передаточного коэффициента системы, состоящей из трех инерционных звеньев первого порядка с одинаковыми постоянными

редаточного коэффициента не зависит от абсолютного значения постоянных времени Т.

Критерий Найквиста удобно использовать для а н а л и з а у с т о й ч и в о с т и с и с т е м , с о д е р ж а щ и х з в е н о з а ­ п а з д ы в а н и я . Если звено запаздывания включено последо­ вательно с остальными звеньями (рис. 5.4, а), то амплитудно-фа­ зовая функция разомкнутого контура может быть представлена как произведение

тальных звеньев.

Характеристику W (/со) строят следующим образом. Вначале строят кривую W' (jсо), а затем каждый вектор, соответствующий частоте со* поворачивают на угол оуг (рис. 5.4, б).

Звенья запаздывания, как правило, ухудшают устойчивость систем.

Рис. 5.6. Пример расчета устойчивости по логари­ фмическим частотным характеристикам

В соответствии с этими значениями построены приближенная л. а. ч. х. L (о)) (рис. 5.6, а) и фазовая характеристика <р (©) (рис. 5.6, б) разомкнутого контура, которая получена согласно выражению

По графику видим, что при ф (©) = — 180° функция L (©) > 0, следо­ вательно, система неустойчива.

5.5. Построение областей устойчивости

Понятия и метод построения областей. При помощи критериев устойчивости (см. 5.2—5.4) можно установить факт устойчивости или неустойчивости системы, все параметры которой заданы. Од­ нако часто при проектировании и наладке систем возникает более общая задача анализа устойчивости — определение допустимых (по условию устойчивости) пределов изменения некоторых параметров системы. В качестве таких варьируемых параметров обычно рас­ сматривают коэффициенты и постоянные времени управляющего устройства, которые можно целенаправленно изменять при на­ стройке системы. Иногда допустимые пределы изменения опреде­ ляют и для параметров объекта (если последние изменяются при

а

к Область

неустойчивости

Плосность параметров Плоскость корней

Рис. 5.7. Области устойчивости в плоскостях коэффициентов (а) и корней

(б) характеристического уравнения

работе системы). Варьируемыми параметрами могут служить так же коэффициенты характеристического уравнения, которые, как из­ вестно, однозначно связаны с передаточными коэффициентами и по­ стоянными времени элементов системы.

Допустимые пределы варьирования параметров системы можно определить путем построения областей устойчивости. Областью устойчивости называют область в пространстве варьируемых па­ раметров, каждой точке которой соответствуют только левые корни характеристического уравнения. Область устойчивости выделяет из всех возможных значений варьируемых параметров лишь те значения, при которых система устойчива. Поверхность, ограни­ чивающая область устойчивости, называется границей области устойчивости.

На рис. 5.7, а показана область устойчивости, построенная в про­ странстве двух коэффициентов характеристического уравнения ас и ak. Каждой точке, находящейся ниже заштрихованной кривой, например, точке А \ соответствуют только левые корни, например, точки р\ и р2 (рис. 5.7, б). Любой точке, находящейся выше кривой (точке А '") обязательно соответствуют хотя бы один действитель­ ный корень или пара комплексных корней, расположенных справа на плоскости корней (точки р{" и р2"). Границей области устойчи­ вости в данном примере является заштрихованная кривая. Каждой точке этой кривой, например, точке Л ", соответствует пара чисто мнимых корней (точки р\ и /?г).

Граница области устойчивости в принципе может быть найдена путем многократного применения одного из критериев устойчиво­ сти, при различных значениях варьируемых параметров. Но та­

кой путь связан с большим объемом вычислений. Эффективным спо­ собом отыскания границ областей устойчивости является метод D-разбиения, разработанный советскими учеными А. А. Соколовым и Ю . И. Неймарком.

Сущность метода D -разбиения заключается в следующем. Пусть анализируемая система описывается характеристическим уравне­ нием п-го порядка

на комплексной плоскости а—/р зависит от значений коэффициен­ тов а0, аг, , ап. В общем случае в пространстве варьируемых коэффициентов, например, а{ и ак (см. рис. 5.7), существуют такие значения коэффициентов, при которых / корней расположены справа, а (л—/) корней — слева от мнимой оси /р . Совокупность всех таких значений образует в пространстве коэффициентов об­ ласть, которую можно обозначить D (л—/; /). Очевидно, что могут

ляется областью устойчивости.

Процесс построения в пространстве параметров (или коэффи­ циентов) областей с различным распределением корней называется D-разбиением. Линии, разграничивающие эти области, называются

кривыми D -разбиения.

Шереход из одной области в другую область пространства ко­ эффициентов соответствует переходу одного действительного или пары комплексных корней через мнимую ось /р . Следовательно, каждой точке, лежащей на границе между двумя областями, со­ ответствуют либо нулевой корень р = 0, либо пара чисто мнимых корней р = ± /р . Поэтому кривую D -разбиения можно рассматри­ вать как отображение мнимой оси плоскости корней. Указанная особенность кривых D -разбиения используется при отыскании их уравнений. Для этого в уравнение (5.65) подставляют р = / Р или р = /со и разрешают уравнение относительно варьируемых пара­ метров. Совокупность значений варьируемых параметров, соот­ ветствующих всем возможным значениям © (от — оо до + оо), дает все точки кривой D -разбиения. Выделение области D (п; 0) среди остальных областей производят при помощи специальной процедуры — штриховки кривых D -разбиения.

Построение области устойчивости по одному параметру■ При­

меним метод D -разбиения для построения области устойчивости в плоскости одного параметра. Предположим, что варьируемый параметр k входит в характеристическое уравнение линейно:

где А (р) и В (р) — степенные полиномы от р.