Теория автоматического управления

Рис. 8.3. Алгоритмические схемы вычисления ординат корреляционной функции (а) и спектральной плотности (б)

Для получения достаточно достоверной информации о свойст­ вах случайного сигнала длину реализации Т и интервал дискрет­ ности At необходимо выбирать из условий:

Спектральная плотность. Определим теперь спектральную ха-

о

рактеристику стационарного случайного сигнала х (t). Так как

О

функция х (t) не является периодической, она не может быть раз-

о

ложена в ряд Фурье (2.23). С другой стороны, функция х (t) из-за неограниченной длительности неинтегрируема, и поэтому не мо­ жет быть представлена интегралом Фурье (2.28). Однако, если рассматривать случайный сигнал на конечном интервале 7, то функция х г (t) становится интегрируемой, и для нее существует прямое преобразование Фурье:

Изображение по Фурье X (/со) непериодического сигнала х (t) характеризует распределение относительных амплитуд сигнала вдоль оси частот и называется спектральной плотностью амплитуд, а функция | X (/со) |2 характеризует распределение э н е р г и и сигнала среди его гармоник (см. 2.2). Очевидно, что если разделить функцию | Х Т (/со) |2 на длительность Т случайного сигнала, то она будет определять распределение м о щ н о с т и конечного сигнала

х т(t) среди его гармоник. Если теперь устремить Т к бесконечно­

который называется спектральной плотностью мощности случайного сигнала. В дальнейшем функцию S x (со) будем называть со­ кращенно — спектральная плотность.

Наряду с математическим определением (8.18) спектральной плотности можно дать более простое — физическое толкование: спектральная плотность случайного сигнала х (() характеризует распределение квадратов относительных амплитуд гармоник сиг­

S x («О-

Отдельные пики на графике спектральной плотности свиде­ тельствуют о наличии периодических составляющих случайного сигнала.

Найдем связь спектральной плотности с дисперсией сигнала. Запишем равенство Парсеваля (2.36) для конечной реализации

При Т —>■оо левая часть равенства (8.19) стремится к дисперсии сигнала Dx 1см. (8.10)], а подынтегральное выражение в правой части — к спектральной плотности S x (со), т. е. вместо (8.19) по­ лучим одну из главных формул статистической динамики:

= S,((0)d«>. (8.20)

Поскольку левая часть равенства (8.20) представляет собой пол­ ную дисперсию сигнала, то каждую элементарную составляющую S x (со) dco под знаком интеграла можно рассматривать как диспер­ сию или квадрат амплитуды гармоники с частотой со.

Формула (8.20) имеет большое практическое значение, так как позволяет по известной спектральной плотности сигнала вычис­ лять его дисперсию, которая во многих задачах расчета автомати­ ческих систем служит важной количественной характеристикой качества.

Спектральную плотность S x (со) можно найти по экспериментальной реализации сигнала при помощи спектрального анализатора (рис. 8.3, б), состоящего из полосового фильтра ПФ с узкой полосой пропускания Дсо, квадратора Кв и интегратора И. Для определения нескольких ординат S x (со*) полосовой фильтр пооче­ редно настраивают на различные частоты пропускания со*.

Взаимосвязь между функциональными характеристиками случайного сигнала. Н. Винером и А. Я. Хинчиным было впервые по-

казано, что функциональные характеристики Rx (т) и S x (со) ста­ ционарного случайного сигнала связаны друг с другом преобразо­ ванием Фурье: спектральная плотность является изображением кор­ реляционной функции т. е.

—с »

акорреляционная функция, соответственно, является оригиналом этого изображения, т. е.

Если разложить множители е±/шт с помощью формулы Эйлера (2.21) и учесть, что R x (т), S x (со) и cos сот — четные функции, а sin сот — нечетная функция, то выражения (8.21) и (8.22) можно преобразовать к следующему виду, более удобному для практиче­ ских расчетов:

Подставляя в выражение (8.24) значение т = 0, получим фор­ мулу (8.20) для вычисления дисперсии.

Соотношения, связывающие корреляционную функцию и спек­ тральную плотность, обладают всеми присущими преобразованию Фурье свойствами. В частности: чем шире график функции Rx (т), тем уже график функции S x (со), и наоборот, чем быстрее убывает функция Rx (т), тем медленнее уменьшается функция S x (со) (рис. 8.4). Кривые 1 на обоих рисунках соответствуют медленно меняющемуся случайному сигналу х ± (t) (см. рис. 8.1, б), в спектре которого преобладают низкочастотные гармоники. Кривые 2 со­ ответствуют быстро меняющемуся сигналу х 2 (0 (см. рис. 8.1, б), в спектре которого преобладают высокочастотные гармоники.

Если случайный сигнал изменяется во времени очень резко, и между его предыдущими и последующими значениями корреля-

S/co),.

CO

Puc. 8.4. Взаимосвязь между корреляционной функцией (а) и спектральной плотностью (б)

ция полностью отсутствует, то функция R x (т) имеет вид дельта­ функции (см. рис. 8.4, а, прямая 3). График спектральной плотно­

мая 3). Это указывает на то, что амплитуды гармоник во всем диа­ пазоне частот одинаковы. Такой сигнал называется идеальным бе­ лым шумом (по аналогии с белым светом, у которого, как известно, интенсивность всех компонент одинакова).

Отметим, что понятие «белый шум» является математической абстракцией. Физические сигналы в виде белого шума неосущест­ вимы, так как бесконечно широкому спектру согласно формуле (8.20) соответствует бесконечно большая дисперсия, а следова­ тельно, и бесконечно большая мощность, что невозможно. Тем не менее, реальные сигналы с конечным спектром часто можно при­ ближенно рассматривать как белый шум. Это упрощение право­ мерно в тех случаях, когда спектр сигнала значительно шире по­ лосы пропускания системы, на которую действует сигнал.

Для всех случайных сигналов, действующих в реальных физи­ ческих системах, существует корреляция между предыдущими и по­ следующими значениями. Это означает, что корреляционные функ­ ции реальных сигналов отличаются от дельта-функции и имеют конечную, не равную нулю длительность спада. Соответственно и спектральные плотности реальных сигналов всегда имеют конеч­ ную ширину.

Характеристики связи двух случайных сигналов. Для описания вероятностной связи, проявляющейся между двумя случайными сигналами, используют взаимную корреляционную функцию и вза­ имную спектральную плотность.

Взаимная корреляционная функция стационарных случайных сигналов х 1 (t) и х 2 (t) определяется выражением

щими друг от друга на величину т. Если сигналы статистически не связаны (не коррелированы) между собой, то при всех значени­ ях т функция Rx,x, (т) = 0.

Для взаимной корреляционной функции справедливо следующее

и х 2 (/) определяется как изображение по Фурье взаимной корре­ ляционной функции:

оо

Спектральная плотность суммы (разности) случайных сигналов

Соотношения (8.31), а также (8.11), означают, что

статистические характеристики R x (т), S x (со) и Dx совокупности нескольких некоррелированных друг с другом случайных сигналов всегда равны сумме соответствующих характеристик этих сиг­ налов (независимо от того, с каким знаком сигналы суммируются в эту совокупность).

Типовые случайные воздействия. Реальные случайные воздейст­ вия, влияющие на промышленные объекты управления, весьма раз­ нообразны по своим свойствам. Но прибегая при математическом описании воздействий к некоторой идеализации, можно выделить ог­ раниченное число типичных или типовых случайных воздействий. Корреляционные функции и спектральные плотности типовых воздействий представляют собой достаточно простые функции ар­ гументов т и со. Параметры этих функций, как правило,

Рис. 8.5. Спектральные плотности и корреляционные функции типовых случайных сигналов

можно легко определить по экспериментальным реализациям си­ гналов.

Простейшим типовым воздействием является белый шум с огра­ ниченной шириной спектра. Спектральная плотность этого воздейст­ вия (рис. 8.5, а) описывается функцией