Теория автоматического управления
..pdfРис. 3.5. Инерционные звенья первого порядка
с шагом интегрирования At. Для обеспечения удовлетворительной точности моделирования отдельного инерционного звена шаг ин тегрирования должен быть
Af < (0,1 -т- 0,2) Т |
(3.32) |
Инерционными звеньями первого порядка являются конструк тивные элементы, которые могут накапливать и передавать энергию или вещество. В электрических элементах накопителем энергии электрического поля служит конденсатор, а магнитного поля — индуктивность. В механических элементах потенциальная энергия накапливается в пружинах и других упругих элементах, а кине тическая — в движущихся массах.
Простейшим примером такого элемента является электрический пассивный четырехполюсник (рис. 3.5, а), состоящий из резистора R с сопротивлением г (Ом) и конденсатора емкостью С (Ф). Выходная величина четырехполюсника (напряжение и 2) после подачи на его вход постоянного напряжения и г изменяется пропорционально величине накапливаемого в емкости заряда. В первые моменты вре мени заряд растет быстро (см. рис. 3.3, а), а затем, по мере прибли жения напряжения и 2 на обкладках конденсатора к входному на пряжению и 1у ток заряда становится все меньше, и скорость воз растания напряжения и 2 постепенно падает до нуля.
Параметры передаточной функции (3.18) применительно к рас сматриваемому четырехполюснику равны: k = 1; Т = гС (с).
Свойствами инерционного звена первого порядка обладают также электрические элементы с индуктивностью L (Гн), у которых выходной сигнал пропорционален току через индуктивность. Про стейшим примером такого элемента является цепь, изображенная на рис. 3.5, б. Передаточный коэффициент цепи k = 1, а постоян ная времени Т = U r (с).
Более сложным примером звена такого рода является широко применяемый в автоматических системах электрический генератор G постоянного тока (рис. 3.5, в), у которого в качестве входной пе ременной рассматривается напряжение возбуждения ив, а выход ной — ЭДС еГу наводимая в обмотке якоря генератора. Передаточ ный коэффициент генератора (В/В) по указанному каналу
kr= cenkHwB/rB} |
(3.33) |
где се — константа, зависящая от конструктивных параметров генератора, В-Вб_1 -(об/с)-1; п — частота вращения якоря, об/с; kH— коэффициент наклона линеаризованной характеристики намагничивания генератора, Вб/А; wB— число витков обмотки возбужде ния, приходящееся на один полюс; гв — сопротивление обмотки возбуждения, Ом. Постоянная времени генератора, с,
TT = LJrb, |
(3.34) |
где LB— индуктивность обмотки возбуждения, Гн.
3.4. Инерционные звенья второго порядка
Дифференциальному уравнению звена
т!\ d,/ j r - + 7,i - j f f - + y ( Q = f a (Q;? (з.з5)
соответствуют уравнение динамики в изображениях по Лапласу (или в операционной форме)
(Tlp2 + TlP+ 1) Y (p) = kX (р) |
(3.36) |
|
и передаточная функция |
|
|
I W{ p ) ~ Y (р)/Х (р) = kl{Tlp2+ TlP + 1 ). |
(3.37) |
|
Характеристическое уравнение звена |
|
|
71р2 + 7 > + 1 |
= 0 |
(3.38) |
имеет два корня |
|
|
Ри 2 = ( —7*1 ± |
V ? 1 -4 7 1 )/271. |
(3.39) |
Общее решение дифференциального уравнения, определяющее
свободное движение звена, |
согласно выражению (2 .79) имеет вид |
|
у (t) = Сх &'* + |
. |
(3.40) |
Характер переходного процесса звена зависит от вида корней (3.39), которые могут быть действительными или комплексными.
Если |
7 \ > 2 Т 2, то |
оба корня действительные. Обозначим их |
|||
Pi= |
1/Т8; |
Р%— ' |
\/Т 4, |
(3.41) |
|
где |
Т3 и |
Т4 — некоторые условные |
постоянные времени, причем |
||
^ |
^V |
|
|
|
|
При Т х > 2 Т2 переходная функция звена имеет монотонный, |
|||||
апериодический |
характер. Поэтому звено в данном случае называ |
||||
ется |
апериодическим звеном второго |
порядка. |
|||
в
Рис. 3.6. Алгоритмические схемы инерционных звеньев второго порядка
При 7 \ > 2 Т 2 знаменатель передаточной функции (3.37) можно разложить на два множителя и представить функцию в следующих двух эквивалентных формах:
W (р) — kl(T3p -\-1) (Т4р + 1); |
|
(3.42) |
||
W(p) = |
k |
k |
(3.43) |
|
т 3р + 1 |
т<р + 1 |
|||
|
|
|||
согласно которым инерционное звено второго порядка (рис. 3 .6, а) можно представить как последовательное (рис. 3.6, б) или парал
лельное |
(рис. |
3 .6, в) соединение двух инерционных звеньев |
пер |
вого порядка. |
2 Т г, то корни уравнения (3.38) комплексные |
|
|
Если |
Т г < |
|
|
Рх, 2= |
—а ± /Р, |
(3-44) |
|
где |
|
|
|
а = 7У271; |
р = д / 4Т \ — Т\ 12Т\. |
|
|
Решение (3.40) в этом случае содержит гармонические состав ляющие, и звено называют колебательным (рис. 3.6, г).
При T i = 0 оба корня будут мнимыми, а переходная функция будет представлять собой незатухающую синусоиду. Инерционное звено второго порядка с Т г = 0 называется идеальным колебатель ным или консервативным.
Наряду с общими признаками (статизм, инерционность) апе риодическое и колебательное звенья имеют и существенные разли чия. Рассмотрим в отдельности характеристики этих звеньев.
Переходная функция |
а п е р и о д и ч е с к о г о |
з в е н а |
в т о р о г о п о р я д к а |
может быть получена сложением общего |
|
юз
Рис. 3.7. Характеристики апериодического звена второго порядка
решения (3.40) с частным решением, соответствующим вынужден ной составляющей при х (t) = 1 (^). Переходная функция имеет вид
h (t) = Сх е-*/гз + С2е-'/г< + |
k 1 (t). |
(3.45) |
|
Подставляя |
начальные условия |
|
|
Л(0) = 0 и |
h'(0) = 0 |
|
(3.46) |
в выражение |
(3.45), находим |
|
|
сг = - k T 31 (0/(Г3- Т 4); |
с 2 = kT, 1 (<)/(Т8—Т4). |
(3.47) |
|
Тогда переходная функция |
|
||
h |
|
|
(3.48) |
Временные характеристики h (/) и w (/) апериодического звена показаны на рис. 3.7, а и б. В соответствии с представлением апе риодического звена второго порядка в виде последовательного сое динения двух инерционных звеньев первого порядка (см. рис. 3 .6, б) все его частотные характеристики (рис. 3 .7 , в—ё) могут быть по лучены по аналогичным характеристикам звеньев первого порядка, приведенным в 3.3, по правилам умножения комплексных (вектор ных) величин.
Апериодическое звено второго порядка так же, как и звено пер- вого порядка, хорошо пропускает сигналы низкой частоты и плохо — сигналы высокой частоты.
|
г - У |
|
+ ^ l T - ^ M - |
+ y(t) = kx(t), |
|
|
(3.49) |
|
где |
Т = Т 2 — постоянная |
времени, характеризующая инерцион |
||||||
ность звена; |
| = Т г12Т2 — относительный коэффициент |
демпфи |
||||||
рования, |
характеризующий |
колебательность |
звена (0 < |
| < 1). |
||||
|
Передаточная функция |
колебательного |
звена |
|
||||
|
W(p) = Y (р)/Х (р) = k / ( T Y + 2ЪТр + |
1), |
|
(3.50) |
||||
|
Корни соответствующего характеристического уравнения равны |
|||||||
|
Pi, 2= |
- а |
± /Р = - { Ц Т ) |
± / У r = F / r , |
|
(3.51) |
||
где |
а = |
|/Г — коэффициент |
затухания; |
р = |
л /1—£2/Т — круго |
|||
вая частота затухающих колебаний, рад/с.
Подставляя в общее решение (3.40) значения комплексных кор ней (3.51) и складывая его с частным решением k\ (/), получим
переходную функцию колебательного звена |
|
|
h (t) = Cj е<-“+/Р> <+ С2 |
<+ ft 1 (/). |
(3.52) |
С помощью формулы Эйлера (2.21) можно функцию (3.52) пре
образовать к виду |
|
|
|
|
h (0 = С е - “' sin (рt + ф) + |
k 1 (0- |
|
|
(3.53) |
Используя начальные условия h (0) = |
0 и |
h' (0) = 0, |
найдем |
|
С = — k 1 (0 У а 2+ р2/р = |
—k 1 (/)/У 1 |
= !* ; |
|
(3.54) |
ф = arctg (P/а) = arcsin рТ = arccos’£. |
|
|
(3.55) |
|
Окончательно переходная функция может быть записана в сле
дующей форме: |
|
h (t) = f c [ i _ - s i n (р/ +q>)] 1 (t). |
[(3.56) |
Свободная составляющая переходной функции (рис. 3.8, а) представляет собой синусоиду, амплитуда которой убывает по экспоненциальной огибающей (пунктирная линия). Период затухаю щих колебаний равен
Т з= 2л/р = 2я77 |
(3.57) |
Чем больше коэффициент £ и меньше постоянная Т, тем быстрее затухают колебания.
Если коэффициент демпфирования £ = 0 (что соответствует Т г = 0), то на выходе звена после подачи единичного ступенчатого воздействия возникают незатухающие колебания с частотой
©о = Т ~ \
в |
д |
Рис. 3.8. Характеристики колебательного звена второго порядка
Скорость затухания колебательных переходных процессов при
нято оценивать степенью затухания |
|
t|)=(i4i —А 3) /А ± = 1—A 3I A i , |
(3.58) |
представляющей собой отношение разности двух соседних ампли туд к первой из них. Чем ближе величина ф к единице, тем быстрее затухают колебания.
Степень затухания ф зависит от соотношения действительной и мнимой частей комплексного корня. Действительно, если в вы ражение для огибающей в формуле (3.56) подставить два значения /,
отличающиеся на период затухающих колебаний |
Т3 = 2л/р, то |
можно получить |
|
ф = 1 —е~2ясс/Р = 1 —е - л^ . |
(3.59) |
Отношение р = p/а называют степенью колебательности. Ис пользуя выражение (3.51), можно установить связь между степенью колебательности р и коэффициентом демпфирования
ji = V b :rF /i- |
(3.60) |
Определим зависимость максимального значения hmax перех од ной функции от коэффициента демпфирования £. Дифференцируя выражение (3.56) по t и приравнивая производную нулю, получим
^шах= я/шоЛ/1—£2 ; |
(3.61) |
hmax = h (/тах) = k (l + e-*W I=F). |
(3.62) |
W (/©) = /г/[Т2 (/со)2+ 2ЕТ/С0+1]. |
(3.63) |
Ей соответствуют а. ч. х. (рис. 3.8, в)
А (со)= /г/д/(1—T2co2)2+ 4i2T2co2 |
(3.64) |
||
и ф. ч. х. (рис. 3.8, г) |
|
|
|
Ф (со) = |
— arctg [2I T со/(1 — Г2со2)). |
(3.65) |
|
А. ч. х. при частоте |
|
|
|
®max== |
V 1 '—2£2 |
|
(3.66) |
имеет максимум (резонансный пик), равный |
|
||
Ат ах= |
А (0)тах) = &/2? д /1 — ?2 |
(3.67) |
|
Максимум существует, если |
1—2?2 > 0, т. е. если ? < |
0,707. |
|
Из выражений (3.66) и (3.67) следует: чем меньше коэффициент?, |
|||
тем ближе |
резонансная частота |
сор = сотах к собственной |
частоте |
незатухающих колебаний со0 = |
1/Т и тем больше резонансный пик. |
||
Таким образом, по графику а. ч. х. (см. рис. 3.8, в) видно, что |
|||
колебательное звено, как и все инерционные звенья, хорошо про |
|||
пускает |
сигналы низкой частоты и плохо — сигналы |
высокой |
|
частоты; если частота гармонического входного сигнала близка к частоте собственных колебаний звена, то отношение ампли туды выходного сигнала к амплитуде входного больше переда точного коэффициента k .
Аналоговую (рис. 3.9, б) и цифровую (рис. 3.9, в) модели инер ционного звена второго порядка удобно составлять в соответствии с его моделью в переменных состояния (рис. 3.9, а). Коэффициенты
аналоговой модели |
равны |
|
а г = k!T\ = klT2\ |
а 2 = Т JT l = 2%/Т; а 3= 1/71= 1/Т2. |
(3.68) |
Инерционными звеньями второго порядка являются обычно та кие конструктивные элементы автоматических систем, которые со держат два накопителя энергии или вещества. Если в одном из них накапливается потенциальная энергия, а в другом — кинетиче ская, то элемент системы может обладать колебательными свойст вами. Колебательность элемента зависит от условий обмена энер гии между указанными накопителями: если канал передачи энер гии обладает существенным сопротивлением (электрическим или механическим), то в нем происходит заметное поглощение или рас сеивание энергии, и элемент близок по своим свойствам к аперио дическому звену второго порядка; если же потери энергии при обмене незначительны, то процесс обмена будет иметь колебатель ный характер.
Рис. 3.9. Модели инерционного звена второго порядка
Мерой потерь энергии в канале передачи служит коэффициент демпфирования чем меньше потери, тем меньше в пределе, когда сопротивление канала равно нулю и потерь нет, коэффици ент | = 0. При этом элемент сохраняет в себе неизменным первона чальный запас энергии, и колебательный процесс обмена энергией между накопителями не затухает.
Классическим примером инерционного звена второго порядка служит четырехполюсник, состоящий из резистора R , индуктив ности L и конденсатора С (рис. 3.10, а). Коэффициенты дифферен циальных уравнений (3.35) и (3.49) для этого четырехполюсника равны
6=1; Т2 = Т = УЩ ; Ti = 2\T = гС\ Ъ = г ^ Ш 1 2 . (3.69)
При г = 0 параметры Т 1 = 0 и g = 0, и четырехполюсник ста новится идеальным колебательным контуром.
Другим распространенным примером инерционного звена вто рого порядка является электрический двигатель постоянного тока с независимым возбуждением (рис. 3.10, б). Если в качестве вход ной переменной рассматривать ЭДС еИ, подводимую от источника регулируемого напряжения, а в качестве выходной — частоту вра-
108
щения вала п (об/с), то двигатель по этому основному каналу опи сывается передаточной функцией
|
W (р) = п (р)/еи (р) = &д!{ТмТ яр2+ Тмр -f-1), |
(3.70) |
||
где |
= |
\!сеФ — передаточный коэффициент двигателя |
по управ |
|
ляющему |
воздействию, (об/с)/В; Тя = |
Ья!гя — электромагнитная |
||
постоянная времени якорной цепи, с; |
Тм = 2nJrJcecM<&2 — элек |
|||
тромеханическая постоянная времени, |
с; J — динамический мо |
|||
мент инерции вращающихся масс (якоря, редуктора, рабочей ма шины), приведенных к валу двигателя, кг-м2; гя и Ья — соответст венно активное сопротивление и индуктивность всей якорной цепи (включающей в себя и выходную цепь источника напряжения), Ом и Гн; се и см = се!2тс — конструктивные постоянные двигателя,
В -В б^^об/с)-1, (Н-м)/(А-Вб); Ф — магнитный поток |
возбужде |
ния, Вб. |
|
Инерционность двигателя обусловлена процессами |
накопления |
электромагнитной энергии в индуктивности якорной цепи и кине тической — во вращающихся массах. Потери энергии происходят
в^активном сопротивлении якорной |
цепи. |
|
|
|
|
Параметры передаточной функции (3.70) для серийных двига |
|||||
телей постоянного тока находятся в пределах: |
= 0,01 |
0,03 |
|||
(об/с)/В; Тя= 0,01 |
0,1 с; Тм = 0,01 |
0,1 |
с. Причем, |
для |
|
двигателей средней и большой мощности всегда |
Тм > 4 Тя и |
ко |
|||
эффициент демпфирования £ = 0,5 |
л / T J T n > |
1, т. е. двигатель |
|||
эквивалентен апериодическому звену второго порядка. |
|
||||
В автоматических системах часто встречаются механические устройства, которым соответствует схема замещения (рис. 3.10, в). Составляя уравнение равновесия моментов, можно показать, что такое устройство описывается уравнением инерционного звена вто
рого порядка с параметрами |
|
k = ШуП(°/Н-м); Т2= 7 = д/2лУ/360йуп (с); |
7 1 = 2 |7 = |
= /гТр//гуп (с), |
(3.71) |
где kyn — коэффициент упругости вала, Н*м/°; |
£тр — коэффици |
ент трения, Н-м/(7с).
Коэффициент трения учитывает потери механической энергии, подводимой к валу, на преодоление силы трения в подшипниках и силы внутреннего (вязкого) сопротивления, возникающего в са-
} у п р |
J4 |
|
ха |
/77Т |
|
X»// |
Я~Г |
Рис. 3.10. Инерционные звенья второго порядка
мом валу при его деформации. От этих потерь, называемых дисси пативными, зависит колебательность рассматриваемого устройства.
В |
заключение отметим о б щ и е с в о й с т в а с т а т и ч е |
||
с к и х |
( п о з и ц и о н н ы х ) |
з в е н ь е в , |
рассмотренных в |
3.2—3.4:
1. В установившемся режиме выходная переменная у звена од
нозначно связана с входной х уравнением статики |
|
\y = kx. |
(3.72) |
2. Передаточный коэффициент звена связан с передаточной
функцией соотношением |
|
\k = W(p)\p=0. |
(3.73) |
3. Звенья являются фильтрами низкой частоты (кроме безы нерционного), т. е. хорошо пропускают низкочастотные сигналы и плохо — высокочастотные; в режиме гармонических колебаний они создают отрицательные фазовые сдвиги.
3.5.Интегрирующие звенья
Различают два вида интегрирующих звеньев: идеальные и ре альные. Общей особенностью интегрирующих звеньев является пропорциональность производной выходной величины мгновен ному значению входной величины. Причем, у идеального интегри рующего звена пропорциональность существует в любой момент времени после подачи ступенчатого воздействия, а у реального — только после завершения переходного процесса в звене.
Дифференциальное уравнение и д е а л ь н о г о |
и н т е г р и |
р у ю щ е г о з в е н а |
|
~ ^ f - = k x ( t ) . |
(3.74) |
Коэффициент пропорциональности k зависит от конструктив ных параметров звена и имеет размерность
[k] = [y)l[x][t\. |
(3.75) |
Уравнению (3.74) равносильно интегральное соотношение
t
y(<) = fc$x(fl)dtf + y(0), (3.76)
О
которое вшивной форме выражает зависимость выходной величины
от входной и объясняет название звена: звено интегрирует входной сигнал.
НО