Дискретно-полевые модели электрических машин. Часть I II

Решение краевой задачи для неявной схемы с опережением.

Аппроксимируем дифференциальные операторы уравнения следующим образом:

Полученная система трёхчленных алгебраических уравнений решается методом прогонки. Недостающие до определения системы уравнения записываются исходя из краевых условий. Для определения правой части уравнений на первом временном интервале используются начальные условия, а на последующих интервалах – полученные ранее решения.

Программа расчёта приведена ниже, а результаты решения краевой задачи, полученные с использованием неявной схемы с опережением, представлены в табл. 3.6.

Программа решения краевой задачи:

81

Таблица 3 . 6

Результаты решения краевой задачи для неявной схемы с опережением

Решение краевой задачи с использованием симметричной неяв-

ной схемы. Дифференциальные операторы уравнения аппроксимируются в этом случае следующим образом:

Преобразовывая полученное выражение, снова получим систему трёхчленных алгебраических уравнений, коэффициенты которой записываются в следующем виде:

Ai = ht / (2hx2 ); Bi = ht / (2hx2 ); Ci =1 + ht / hx2 ;

Программа решения краевой задачи с использованием симметричной неявной схемы:

82

t=t+ht; for j=1:nx

a(j)=ht/(2.*hx^2); b(j)=a(j); c(j)=1.+2.*ht/(2.*hx^2);

end

while t<tk

u(1)=2.*(t+0.06); alf(2)=0.; bet(2)=u(1); for j=2:nx

r=c(j)-a(j)*alf(j); alf(j+1)=b(j)/r; f=u0(j)+ht*(u0(j+1)-2.*u0(j)+u0(j-1))/(2.*hx^2);

bet(j+1)=(f+a(j)*bet(j))/r; end

u(nx+1)=0.84; for j=nx: -1:2

u(j)=alf(j+1)*u(j+1)+bet(j+1);

end disp(u);

u0(2:nx)=u(2:nx);

t=t+ht;

end

Результаты решения данной краевой задачи приведены в табл. 3.7.

Таблица 3 . 7

Результаты решения краевой задачи с использованием симметричной неявной схемы

83

Сравнение рассмотренных вариантов показывает, что они обладают практически одинаковой точностью, но наиболее простой в реализации оказывается явная схема. К сожалению, эта схема является условно устойчивой, т.е. даёт правильное решение при определённых соотношениях между пространственным и временным интервалами согласно (3.78).

Рассмотрим характер протекания переходного процесса при решении нестационарной одномерной краевой задачи при различных соотношениях между указанными интервалами.

Пример 3.4. Решение смешанной краевой задачи с использованием явной схемы при различных величинах временного интервала.

Пусть краевая задача на интервале [0, 1] описана уравнением параболического типа

84

Программа решения краевой задачи по явной схеме для различных величин временного интервала:

n1=1; n2=11; h=1./(n2-n1); dt=0.001; nk=260; n=1; x(1:nk)=0.; y(1:nk)=0.; a0(1:n2)=0.; a(1:n2)=0.; f(1:n2)=0.; f(4)=100; f(8)=-100;

while n<nk

for i=2:n2-1 a(i)=a0(i)+dt*(a0(i+1)-2.*a0(i)+a0(i-1)+f(i)*h^2)/h^2;

end

disp(n); disp(a(4)); a0(1:n2)=a(1:n2); n=n+1; x(n)=n; y(n)=a(4); end

disp(a);

plot(x,y)

Результаты решения краевой задачи приведены в табл. 3.8.

На рис. 3.3 показан характер протекания переходного процесса при различных значениях τ . Кривые изображают изменение исследуемой величины во времени на одном пространственном интервале ( i = 4 ).

Анализ результатов решения (см. табл. 3.8) показывает, что с увеличением величины временного интервала точность решения снижается, а при нарушении условия устойчивости τ > τ 0 процесс

становится расходящимся.

85

Такие задачи также решаются конечно-разностными методами, при этом используются безусловно устойчивые неявные схемы [24, 25, 27]. Для аппроксимации дифференциальных операторов возможны два варианта.

Линейный вариант, когда коэффициенты уравнения рассчитываются по ранее найденным значениям искомых функций K1 (U t ) :

Линейный вариант реализуется значительно проще, так как значения функций на предыдущем временном слое известны. Нелинейный вариант сложнее в реализации. Значения функций, через которые определяются коэффициенты уравнения, неизвестны. Поэтому приходится использовать итерационный процесс. При этом значения коэффициентов задаются приблизительно, с ориентацией на предыдущий опыт в начале счёта или с помощью данных с предыдущего временного интервала. Решается уравнение с принятыми коэффициентами, и по найденным значениям функций уточняются величины коэффициентов. Таким образом производится несколько итераций, пока не будет достигнута необходимая точность.

Если зависимость K(U) имеет монотонный характер, то итерационный процесс сходится быстро, за несколько итераций. Если же эта зависимость имеет экстремум, то процесс сходится очень плохо или даже зацикливается. В этом случае для решения системы алгебраических уравнений часто используется метод Ньютона и его модификации, а для уточнения значений коэффициентов уравнения применяется алгоритм Вегстейна [30, 31].

87

4. РЕШЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

4.1. РЕШЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЯВНЫХ И НЕЯВНЫХ СХЕМ

До сих пор рассматривались дифференциальные уравнения с одной пространственной координатой. Многие задачи электродинамики являются многомерными, т.е. исследуемая область является функцией нескольких пространственных координат.

Решение подобных задач традиционными методами связано со значительными временными затратами, так как число неизвестных, а следовательно, число уравнений, определяется произведением числа разбиений исследуемой функции по каждой пространственной координате. Основным требованием к методам решения многомерных краевых задач является их экономичность. Под экономичными методами понимаются методы решения краевых задач, при которых число математических операций, затрачиваемых на нахождение одного неизвестного, не зависит от числа неизвестных [24, 27, 33]. Существует ряд способов решения многомерных уравнений параболического типа.

Для решения многомерных нестационарных краевых задач могут быть использованы те же численные методы, что и для решения одномерных задач. Рассмотрим для примера решение нестационарной краевой двумерной задачи

в прямоугольной области:

88

0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b ;

U (0, y,t) = µ1( y,t) ; U (a, y,t) = µ2( y,t) ; U (x, 0,t) = µ3(x,t) ;

Как и при решении одномерных задач дифференциальные и временные операторы аппроксимируют конечно-разностными выражениями и приводят дифференциальное уравнение к системе алгебраических. При этом возможны два варианта аппроксимации.

4.1.1. Явная схема

Запишем уравнения для явной схемы:

Явная схема позволяет рассчитать значения искомой функции на новом временном слое U ti,+j1 , используя найденные ранее значения

на предыдущем временном слое U ti, j . Задачу решаем следующим образом. Используя заданные начальные U i0, j и краевые условия, рассчитываем значения искомой функции во всех точках исследуемой области на первом временном слое U 1i, j . Полученные значения принимаем в качестве начальных для нахождения значений функции на втором временном U i2, j слое и т.д. до достижения конечного зна-

чения времени.

Подсчитаем количество математических операций, необходимых для решения краевой задачи. Если принять для упрощения k1 = k2 = k , N1 = N2 = N , hx = hy = h , то число операций для опреде-

89

ления значений функций на каждом временном слое окажется пропорциональным N 2 . Явная схема устойчива при выполнении усло-

вия [24]

затратить T t ≡ N 2 математических операций. Общее количество операций, затрачиваемых для решения краевой задачи, оказывается пропорциональным N 4 . Реализация явных схем отличается предельной простотой и легко программируется.

Пример 4.1. Решение двумерной смешанной краевой задачи с использованием явной схемы. В квадрате [0:1,0:1] решим сме-

при нулевых начальных и граничных условиях

U (x, y,0) = 0 ; U (0, y,t) = U (1, y,t) = U (x,0,t) = U (x,1,t) = 0 .

Для решения задачи используем явную схему. Пространственные координаты x и y разбиваем на N =16 ин-

тервалов величиной h =1/ N = 0, 0625 . Исходя из условия устойчивости решения

выбираем величину временного интервала τ = 0, 0009 . Дифференциальные операторы аппроксимируем конечно-разностными вы-

90