Дискретно-полевые модели электрических машин. Часть I II

Окончание табл. 3 . 4

3.2.3. Прогонка для краевых задач с граничными условиями интегрального типа

Ряд задач по расчёту магнитного поля приводит к следующей краевой задаче [27]:

Решение подобных краевых задач производится следующим образом. Исследуемая область также разбивается на N интервалов и на каждом интервале разбиения пространственной координаты i =1, 2, ..., N −1 производится аппроксимация дифференциальных

операторов конечно-разностными выражениями. При i = N ставятся граничные условия:

71

Cогласно краевым условиям Y 0 = Y N уравнение (3.56) может быть преобразовано:

Y 0 = Y N .

В общем виде такая система записывается в следующем виде:

i =1

72

здесь Ui – решение неоднородного уравнения с однородными граничными условиями

Vi – решение однородного уравнения с неоднородными граничными условиями

Каждая из этих систем решается методом прогонки. В результате решения задачи (3.62) получаем значения Ui, а решения задачи (3.63) – значения Vi для i =1, 2, ..., N −1 .

Решая уравнение (3.66) относительно YN, получим

i =1

73

Определение других значений Yi производится по выражению

(3.61).

Поскольку каждая из краевых задач (3.62), (3.63) решается методом прогонки, выполняются условия устойчивости счёта. Знаменатель выражения (3.67) отличен от нуля. Следовательно, решение краевой задачи существует, устойчиво и исключает накопление ошибок.

3.3. РЕШЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Нестационарные краевые задачи описываются уравнениями параболического типа, совместно с краевыми условиями, а также начальными условиями, задающими распределение исследуемой функции в начальный момент времени. Рассмотрим простейшую одномерную краевую задачу:

с краевыми условиями первого рода

u(0,t) = a; U (L,t) = b

и начальными условиями

U (x, 0) = θ(x) .

Для решения уравнения исследуемая область разбивается на N пространственных интервалов, временные и пространственные дифференциальные операторы аппроксимируются конечно-разностными выражениями, в результате чего дифференциальное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений, решаемых совместно с граничными и начальными условиями известными методами. Помимо дифференциальных операторов в ряде случаев приходится аппроксимировать правую часть уравнения и дополнительные условия краевой задачи. Точность получаемого решения зависит от способов аппроксимации и величины интервалов разбиения пространственных и временной координат. Путем изменения этих величин получается

74

семейство разностных задач, которое называется разностной схемой

[24].

При решении краевых задач возможны два варианта аппроксимации:

1. Явная схема:

Такая схема называется явной, потому что позволяет определить значение функции в каждой точке исследуемой области Uit +1 , выражая его через известные её значения на предыдущем временном интервале Uit :

Таким образом, зная начальные значения функции во всей исследуемой области, можно рассчитать её значения на последующих временных интервалах.

В этом уравнении известна правая часть, однако неизвестны значения искомой функции на новом временном слое U ti −+11, U ti +1, U ti ++11 .

Для нахождения этих значений необходимо решить систему трёхчленных алгебраических уравнений, что значительно сложнее, чем нахождение этих величин в явной схеме.

75

Казалось бы, что использование явных схем предпочтительнее, так как они позволяют получать решение краевой задачи за более короткое время. Однако в настоящее время эти схемы применяются относительно редко, поскольку они являются условно устойчивыми. Явные схемы могут использоваться лишь при определённом соотношении между временными и пространственными интервалами ∆ t и hx.

Поясним условия устойчивости явной схемы, для чего запишем её в следующем виде:

В силу линейности решаемой задачи аналогичное уравнение оказывается справедливым и для погрешности

где погрешность ε ti представляет собой разницу между точным решением дифференциального уравнения задачи Uit и точным решением разностного уравнения Uit :

76

дующее значение погрешности оказывается меньше предыдущего, т.е. нарастания погрешности не происходит. Таким образом, для устойчивости счёта необходимо, чтобы интервалы разбиения пространственной и временной координат были связаны соотношением

Отсюда следует, что при больших значениях коэффициента уравнения K (x,t) приходится выбирать временной интервал ∆ t очень

малым, и решение дифференциального уравнения требует больших затрат времени.

Неявная схема (3.71) является безусловно устойчивой: погрешности расчёта, возникающие в процессе решения системы алгебраических уравнений, затухают при любом соотношении между временным и пространственным интервалами. Выбирая временной интервал достаточно большим (исходя из величины допустимой погрешности), можно значительно сократить время решения дифференциального уравнения независимо от значений его коэффициентов.

Неявная схема c опережением имеет первый порядок точности по времени, что приводит в ряде случаев к значительной погрешности. Величину погрешности можно существенно уменьшить, применив симметричную схему, записываемую в виде

Пространственная производная этого уравнения аппроксимирована со вторым порядком точности (3.17). Оценим порядок точности временной производной. Для этого представим уравнение (3.79) в виде

77

можно рассматривать как средние на интервале [t,t +1)] , т.е. в момент

времени t + τ /2.

Разложим функции U ti +1 и U ti в ряд Тейлора по временной координате в окрестности точки U ti +0,5 :

Вычтем из первого выражения второе и поделим на τ :

Таким образом, исходное уравнение (3.79) обеспечивает второй порядок точности и по временной координате. Преобразуя указанное выражение для всех внутренних точек исследуемой области, получим трёхчленную систему алгебраических уравнений, правая часть которых имеет более сложную структуру, а коэффициенты

78

Краевые и начальные условия при этом сохраняются. Полученная система трёхчленных алгебраических уравнений решается описанным выше методом прогонки с минимальными временными затратами.

Пример 3.3. Решение смешанной краевой задачи. На интерва-

ле [0, 0,6] решить краевую задачу, описываемую уравнением [28]

при следующих начальных и краевых условиях

U (0,t) = 2(t + 0,06); U (L,t) = 0,84; U (x,0) = 3x(1 − x) + 0,12 .

Решение задачи с использованием явной схемы. Разобьём иссле-

дуемую область [0, 0,6] на 6 интервалов величиной hx = 0,1. Аппроксимируем дифференциальные операторы конечно-разностными выражениями и, выполнив преобразования, получим

Выберем величину временного интервала из условия устойчивости счёта: ht ≤ 0,5hx2 . Примем с запасом ht = 0,0025 .

Подставляя hx и ht в полученное уравнение и выполняя преобразования, будем иметь

Uit +1 = 0, 25Uit+1 + 0,5Uit + 0, 25Uit−1 .

Начальные значения функции в исследуемой области рассчитываем для всех интервалов разбиения пространственной координаты в соответствии с заданной функцией

Ui0 = 3hxi(1 − hxi) , i =1, 2, ..., N −1.

Краевые значения на левой границе для времени 0 < t < tк рассчитываются по выражению

79

U t0 = 2(ht j + 0,06) ,

а на правой границе принимаются U tN = 0,84 .

Рассчитываются по формуле значения искомой функции U ti +1 для момента времени t и пространственной координаты x , начиная с момента времени t = 0 .

Программа решения краевой задачи с использованием явной схемы:

nx=7; nt=9; hx=0.1; ht=0.0025; for j=1:nx

x=hx*(j-1); u(1,j)=3.*x*(1.-x)+0.12;

end

for t=1:nt

u(t,1)=2.*(ht*(t-1)+0.06); u(t,nx)=0.84;

end

for t=1:nt-1

for j=2:nx-1 u(t+1,j)=u(t,j)+ht*(u(t,j+1)-2.*u(t,j)+u(t,j-1))/(hx*hx);

end

end disp(u);

Результаты решения приведены в табл. 3.5.

80