Дискретно-полевые модели электрических машин. Часть I II

Ортогональная система считается нормированной, если её норма равна единице:

a

Такие функции называются ортонормальными. Коэффициенты разложения ортонормальных функций определяются по обобщённой формуле Фурье:

Существует бесчисленное множество ортонормальных базовых функций, однако на практике используются лишь некоторые из них.

1. Система единичных базовых функций. Любая точка непре-

рывной финитной функции может быть выражена в виде интеграла от дельта-функции:

Если заставить любую точку непрерывно изменять свои координаты, то указанный интеграл будет определять семейство точек, принадлежащих непрерывной кривой. Другими словами, любую непрерывную на интервале функцию можно представить в виде разложения:

21

a

Ввиду неопределённости дельта-функции в каждой рассматриваемой точке, от бесконечно малых интервалов в разложении переходят к конечным величинам ∆ x . В этом случае вместо интеграла будем иметь

k =0

где N – число интервалов разбиения пространственной координаты,

Дельта-функция представляется в виде прямоугольного импульса с единичной площадью, шириной ∆ x и высотой 1∆ x . Подставляя выражение дельта-функции в формулу (1.29), получим

Полученное выражение говорит о том, что финитную на интервале [a,b] функцию можно представить в виде разложения по системе единичных базовых функций, представляющих единичные импульсы ∆ x , смещённые друг от друга на ширину импульса и заполняющие рассматриваемый интервал. Такая система является ортонормальной и полной для ступенчатых функций с шириной ступени ∆ x . При стремлении интервала ∆ x к нулю система базовых функций становится полной для непрерывных функций, однако для реализации такого разложения требуется бесконечно большое число членов разложения. Достоинством единичных базовых функций является то обстоятельство, что значение коэффициента разложения Ck равно значению разла-

22

гаемой функции в данной точке, т.е. для нахождения их значений не требуется затрат математических операций. Разложение функций по системе единичных базовых функций соответствует их квантованию по пространственной координате.

2. Система тригонометрических базовых функций. Является полной и ортогональной на интервале [0, 2π] или [−π, π] . Для непре-

рывных периодических и финитных функций на интервале длиной 2l c тем же периодом возможно разложение

причём коэффициенты разложения определяются в виде обобщённой формулы Фурье:

При численном решении дифференциальных уравнений часто используется система ортонормальных дискретных тригонометрических базовых функций, определяемая на интервале разложения [0, N ] выражением

коэффициенты разложения которого определяются следующим образом:

23

При решении дифференциальных уравнений с комплексными коэффициентами используется разложение с дискретными комплексными экспоненциальными базовыми функциями:

k =0

где коэффициенты разложения рассчитываются по формуле

Особенностью разложений по тригонометрическим и экспоненциальным базовым функциям является то, что расчёт коэффициентов разложений и восстановления функций требуют определённых затрат математических операций.

Кроме рассмотренных базовых функций при исследовании различных процессов, описываемых уравнениями в частных производных широко используются полиномы Чебышева, Лежандра, а также специальные функции Уолша, Радемахера, Наара и некоторые другие.

1.3. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

При математическом описании электромагнитных процессов электрических машин используются дифференциальные уравнения в частных производных, которые в общем виде для двух пространственных координат записываются следующим образом:

Коэффициенты этого уравнения – это кусочно-непрерывные функции пространственных координат, не обращающиеся в нуль одновременно во всей исследуемой области.

24

Путём замены переменных указанные уравнения в зависимости от характера и знака коэффициентов могут быть приведены к одному из следующих видов [15,20]:

1. Уравнение эллиптического типа

По аналогии с уравнением эллипса

дифференциальное уравнение (1.39) принято называть уравнением эллиптического типа. Это уравнение описывает пространственное распределение исследуемых величин в стационарных режимах. Частными случаями этого уравнения являются уравнения Пуассона и Лапласа:

это уравнение носит название гиперболического. Примером уравнения гиперболического типа является уравнение, описывающее колебательные процессы при распространении электромагнитного поля в пространстве:

25

3. Уравнение параболического типа

Это уравнение уподоблено уравнению параболы, которое в декартовой системе координат записывается в виде

Примером такого уравнения является уравнение теплопроводности, описывающее нестационарный процесс пространственного распространения тепла в среде

В общем случае дифференциальные уравнения параболического типа описывают нестационарные процессы распространения субстанции в средах, обладающих определёнными характеристиками (распространение вещества в окружающем пространстве – процесс диффузии, проникновение магнитного поля в электропроводную среду и т.п.).

1.4. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Решение дифференциальных уравнений в частных производных, так же как и обычных дифференциальных уравнений, неоднозначно и представляет собой семейство определённых функций. Для того чтобы иметь однозначное решение, необходимо использовать граничные условия, т.е. условия на границах исследуемой области. Обычно эти условия являются следствиями определённых физических законов, соответствующих рассматриваемой задаче. Совокупность дифференциального уравнения и граничных условий определяет краевую задачу. Различают следующие виды граничных усло-

вий [15, 20, 24]:

26

1. Граничные условия первого рода (условия Дирихле). На границах исследуемой области Г заданы значения функции, определяемой в ходе решения краевой задачи:

2. Граничные условия второго рода (условия Неймана). На границе области Г задаются нормальные производные исследуемой функции:

Решение уравнения в данном случае находится с точностью до постоянной величины, так как через граничную точку можно провести бесчисленное множество кривых с заданным наклоном к координатной оси.

3. Граничные условия третьего рода. На границах области задаётся комбинация исследуемой функции и её производной:

В общем виде граничные условия могут быть записаны в виде

из которых получаются перечисленные выше условия, если поло-

житьβ = 0 ; α = 0 , β = k ; и α =1, β ≠ 0 .

Для уравнений второго порядка краевая задача называется задачей Дирихле, если заданы краевые условия первого рода, и задачей Неймана при краевых условиях второго рода.

Для уравнений параболического типа кроме граничных должны быть заданы начальные условия:

Краевая задача в этом случае носит название смешанной.

27

Помимо основных граничных условий, описанных выше, ряд краевых задач использует периодические граничные условия и граничные условияинтегрального типа.

Периодические граничные условия характерны для краевых задач, решаемых в цилиндрической системе координат [27]. Эти условия выражают равенство значений функции и её производных в точках сопряжения, и записываются в следующем виде:

Граничные условия интегрального типа характерны для краевых задач, решаемых в цилиндрической системе координат, когда производная в точке сопряжения испытывает скачок, величина которого пропорциональна интегралу исследуемой величины [27]:

Помимо условий на границах исследуемой области при решении краевых задач в кусочно-однородных средах ставятся граничные условия на границах разделов сред. В этом случае решение краевой задачи сводится к решению нескольких краевых задач, для каждой среды с постоянными параметрами. Недостающие для решения условия записываются для границ разделов сред, выражающие равенство касательных составляющих напряжённости электрического поля и магнитного поля в случае отсутствия на поверхности раздела поверхностных токов, а также непрерывность нормальных составляющих магнитной индукции и плотности токов. Подобный подход широко распространён при решении краевых задач с малым числом участков и пространственных координат. При усложнении структуры материала и возрастании размерности уравнений решение задач становится затруднительным, а в случае нелинейности – практически невозможным.

В этих условиях рациональнее рассматривать исследуемую область как сплошную среду, параметры которой являются функциями

28

пространственных координат, а электромагнитное поле описывается единым уравнением с переменными коэффициентами. Такой подход возможен потому, что граничные условия, выражающие непрерывность нормальных составляющих индукции и плотности токов и равенство касательных составляющих напряжённости магнитного и электрических полей, являются частными случаями уравнений Максвелла и получаются из них путём предельного перехода от рассматриваемого пространства к поверхности разделов сред. Следовательно, эти условия не несут новой информации и выполняются автоматически, если электромагнитные процессы в среде описаны уравнениями Максвелла.

Рассмотрим, для примера, раздел сред с различными значениями магнитной проницаемости (рис. 1.8).

При отсутствии поверхностных токов уравнение Максвелла записывается в виде

Положим для упрощения, что напряжённость магнитного поля и магнитная индукция имеют по одной составляющей:

Рис. 1.8. Раздел сред с различными величинами магнитной проницаемости

29

В этом случае уравнение (1.55) запишется в виде

Выражая напряжённость магнитного поля через магнитную индукцию и вводя обозначение R = 1/µ, будем иметь

Коэффициент R в функции пространственных координат может быть записан в виде

Учитывая, что при x = x0 величины коэффициента R и магнитной индукции равны средним значениям отдельных зон, можно записать

30