Дискретно-полевые модели электрических машин. Часть I II

т.е. при переходе границы скачок магнитной индукции определяется как свойствами среды, так и наличием поверхностного тока.

Равенство касательных составляющих напряжённости электрического поля Eτ 1 = Eτ 2 следует из второго уравнения Максвелла:

при стягивании области к границе раздела. При интегрировании правая часть уравнения обращается в нуль, а выражение rot E через значения плотности тока в средах приводит к выражению

Условия для нормальных составляющих магнитной индукции иплотности тока вытекают из уравнений div B = 0 и div J = 0 . В этом

случае при переходе границ раздела сред будут наблюдаться скачки напряжённости магнитного поля в первом случае и напряжённости электрического поля во втором.

Решение системы уравнений Максвелла связано с преобразованием уравнений и выполнением дифференциальных операций с ними. Как было показано выше, выполнение дифференциальных операций с единичными функциями Хевисайда, описывающими магнитные и электрические свойства сред, приводит к возникновению δ-образных составляющих, эквивалентных постановке граничных условий на разделах сред [15]. При выполнении над функциями

31

Хевисайда дифференциальных операций второго порядка возникают члены с производными дельта-функций, эквивалентные возникновению на границах разделов двойных слоёв [15].

Таким образом, замена отдельных зон исследуемой области кусоч- но-однородной средой позволяет не только свести к минимуму число уравнений, описывающих электромагнитное поле, но и упростить постановку граничных условий, сведя её к формальной операции дифференцирования параметра среды попространственной координате.

Cпособ учёта граничных условий напоминает решение обычных дифференциальных уравнений операторным методом, когда начальные условия входят непосредственно в операторное уравнение, и операция «сшивания» решений на отдельных временных интервалах исключается. Разница подходов заключается в том, что если начальные условия заданы заранее, то для краевых задач δ-образные составляющие должны определяться в ходе решения задачи [17].

2.УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

ИИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Электромагнитные явления и процессы электрических машин при условии пренебрежения токами смещения описываются системой уравнений Максвелла, которые являются математическим описанием следующих законов [15]:

– закон полного тока

32

Уравнения (2.1), (2.2) должны быть дополнены условиями замкнутости магнитного поля и тока:

Последнее уравнение не является независимым, так как является следствием первого уравнения Максвелла. Оно обычно используется в том случае, если при расчёте магнитного поля не применялся закон полного тока.

Указанная система замыкается уравнениями материальных сред

где µ и γ – магнитная проницаемость и электропроводность среды,

являющиеся скалярными постоянными величинами в однородных изотропных средах; в нелинейных изотропных средах они являются скалярными величинами, зависящими от величины магнитной индукции и напряжённости электрического поля, а в анизотропных средах – тензорными величинами.

При решении краевых задач часто используются векторный и скалярный магнитные потенциалы, в ряде случаев значительно упрощающих систему дифференциальных уравнений.

Векторный магнитный потенциал описывается уравнением

при произвольном задании его расходимости div A . Выбор этой ве-

личины называют калибровкой, которую реализуют таким образом, чтобы максимально упростить получающуюся систему уравнений. Использование векторного потенциала позволяет значительно упростить вычисление магнитных потоков отдельных участков исследуемой области

Используя теорему Стокса, полученное выражение можно преобразовать и записать его в виде циркуляции

33

где L – контур, охватывающий поверхность S .

Скалярный магнитный потенциал используют в том случае, если плотность тока исследуемой среды имеет нулевое значение. При этом

Электромагнитное поле в общем случае может содержать оба компонента – магнитное и электрическое поле и описываться соответствующими уравнениями. Для решения системы необходимо при помощи определённых преобразований исключить из неё один из векторов, сведя таким образом систему уравнений к краевой задаче. При преобразовании уравнений используются операции векторного анализа, наиболее распространённые из которых приведены в приложении к работе [16, 21].

Ниже представлены преобразования уравнений Максвелла для ряда задач.

При отсутствии токов поле напряжённости может быть представлено в виде градиента скалярной функции

34

Преобразуя полученное выражение по правилам векторного анализа, получим уравнение Лапласа:

Решая уравнение совместно с заданными граничными условиями, соответствующими условиям краевой задачи, рассчитывается скалярный магнитный потенциал и компоненты напряжённости магнитного поля.

2. Сторонний ток является функцией пространственных коорди-

нат: Jст = f (x, y, z) .

Длярасчётавихревогополявведёмвекторныйпотенциал B = rot A . Тогда

35

Используя калибровку Кулона div A = 0 , получим для векторного потенциала уравнение Пуассона

Представляя векторный потенциал и плотность стороннего тока в виде трёх координатных составляющих, проектируя уравнение на координатные оси, получим систему трёх скалярных уравнений для каждой составляющей векторного потенциала:

Решение полученной системы совместно с заданными граничными условиями позволяет определить значения составляющих векторного потенциала в функции пространственных координат, а затем значения координатных составляющих магнитной индукции, используя выражение (2.5).

2.1.2. Неоднородная непроводящая среда

Задана плотность стороннего тока, µ = f (x, y, z) , γ = 0 . Снова рассмотрим две задачи.

1. Сторонний ток отсутствует: Jст = 0.

rot H = 0 : div B = 0 .

Магнитное поле имеет потенциальный характер и может быть записано в виде

H = grad ϕ м .

В этом случае

36

Раскрывая это выражение по правилам векторного анализа, получим

Решение уравнения с переменными коэффициентами и заданными граничными условиями позволяет рассчитать значения скалярного магнитного потенциала, а затем составляющие напряжённости магнитного поля.

2. Сторонний ток является функцией пространственных коорди-

В данном случае заданы источники вихревого и потенциального полей и поэтому магнитное поле может быть представлено их суперпозицией, т.е.

В этом случае вихревую и потенциальную составляющие поля можно представить в виде

Подставляя (2.24) в первое уравнение (2.22) и учитывая (2.25), будем иметь для вихревой составляющей

37

Согласно калибровке Кулона div Ам = 0 . Поэтому в окончательном виде получим

Таким образом, решение задачи с известными краевыми условиями сводится к решению системы (2.29), нахождению по полученным значениям Ам правой части (2.32) и решению этого уравнения. Результат решения задачи определяется выражением (2.24).

2.1.3. Однородная проводящая неподвижная среда

Задана плотность стороннего тока, µ = const, γ= const,

Jст = f (x, y, z) .

Уравнение магнитного поля

38

где плотность тока проводимости

Подставляя плотность тока в уравнение магнитного поля и преобразовывая полученное выражение, будем иметь

При постоянных µγ произведение можно внести под знак grad и ввести калибровку div A = µγφ . Тогда уравнение будет иметь вид

Проектируя уравнение на координатные оси, получим систему для трёх проекций вектора A в декартовой системе координат

Решив смешанную краевую задачу, определяем векторный магнитный потенциал A(x, y, z,t) , затем div A , скалярный потенци-

ал φ и grad φ.

2.2.АНИЗОТРОПНЫЕ СРЕДЫ

2.2.1.Однородная непроводящая магнитная среда

Магнитная проницаемость, электропроводность, плотность стороннего тока записываются в виде: µ , γ = 0 , Jст = f (x, y, z) .

Магнитная среда электрических машин чаще всего является ортотропной, которая характеризуется тем, что оси анизотропии совпадают с осями координат, причём проницаемость по двум координа-

39

там имеет одинаковую величину [22]. Если, например, µ X = µZ = µ XZ , а µY ≠ µXZ , то тензор магнитной проницаемости является диагональным и записывается в виде

где −1 – тензор, обратный тензоруµ,

Подставляя в (2.38) выражение векторного магнитного потенциала

A = i Ax + j Ay + k Az ,

выполняя математические операции по правилам векторного анализа ипроектируя векторное уравнение на координатные оси, получим системускалярныхуравненийдлятрёхсоставляющихвекторногопотенциала:

40