Дискретно-полевые модели электрических машин. Часть I II

Исследуемую область разбивают на N интервалов величиной hx . Решение краевой задачи ищем в виде U = sin αx , коэффициент которогоα определяется из граничных условий.

Запишем значения функций для точек i +1 и i −1 с координатами x + hx и x − hx соответственно

а собственные значения

111

Таким образом, собственные функции дискретного оператора Лапласа описываются выражениями

Все собственные значения положительны и лежат в диапазоне

Собственные функции ортогональны на интервале [0,L], а их норма

В этом случае собственные функции с учётом нормировки записываются в виде

В работах [18, 23, 25, 27, 32, 33] показано, что финитную функцию можно представить в виде разложения по собственным функциям дискретного оператора Лапласа:

где коэффициенты разложения

112

Рассмотрим метод разделения переменных при решении двумерного уравнения Пуассона при нулевых граничных условиях первого рода:

Поскольку обе функции обращаются на границах исследуемой области в нуль, их можно разложить по собственным функциям дискрет-

Подставляя выражения для U (i, j) и f (i, j) в уравнение (5.15), получим

113

или

ную функцию можно вынести за знак производной по i . Аналогич-

k=1

Всилу ортогональности собственных функций дискретного оператора Лапласа указанное равенство выполняется для каждого члена разложения. Тогда

114

Таким образом, для каждого члена разложения k =1, 2, ..., N2 −1

решается одномерная краевая задача (5.25) с использованием прогонки по i при минимальном числе математических операций. Рассчитав U k (i) , можно по выражению (5.17) восстановить искомую

функцию во всех точках исследуемой области. Нахождение коэффициентов разложения φk (i) и восстановление искомой функции про-

изводится с использованием БДПФ с минимальной затратой математических операций. Подобный подход распространяется и на решение многомерных краевых задач с уравнениями Пуассона, а также других, более сложных задач, допускающих разделение переменных. В качестве одномерного вэтомслучае может бытьвзят оператор вида

т.е. оператор, коэффициенты которого зависят лишь от одной пространственной переменной. Полученная краевая задача с указанным оператором также решается методом прогонки.

Решение уравнений Лапласа и Пуассона методом разделения переменных с использованием БДПФ является самым быстрым и точным способом решения этих уравнений.

Уравнения Лапласа и Пуассона могут быть решены с использованием метода редукции. Идея метода заключается в том, чтобы постепенно понижать порядок системы, исключая последовательно сначала неизвестные с нечётными номерами, затем неизвестные с номерами, кратными двум, затем – кратными четырём, восьмиит.д.

Если число неизвестных кратно 2k, то в результате последовательного исключения остаётся одно уравнение, из которого можно найти неизвестное с номером k / 2 . После этого осуществляется обратный ход, в результате которого вычисляются значения неизвест-

ных с номерами k / 4, k / 8, k /16, ..., k / 2k, k / k .

Метод редукции по числу вычислительных операций сравним с методом разделения переменных, т.е. N log2 N , однако имеет более сложный алгоритм реализации. Описание этого метода и его

115

использование для решения краевых задач можно найти в работах

[27, 32, 33].

Рассмотрим использование метода разделения переменных для решения двумерной краевой задачи из предыдущего раздела (см. пример 4.1).

Пример 5.1. Решение двумерной краевой задачи методом раз-

деления переменных. Решим уравнение Пуассона

в квадрате [0 :1,0 :1] при нулевых граничных условиях:

U (0, y) = U (1, y) = U (x,0) = U (x,1) = 0 .

Задачу решаем в следующей последовательности. Разбиваем стороны квадрата на N интервалов величиной

hx = h y = 1 . N

Записываем решение задачи и правую часть дифференциального уравнения в виде разложения по собственным функциям дискретного оператора Лапласа:

Подставляя указанные разложения в дифференциальное уравнение, будем иметь

j =1

116

а ∆1 и ∆2 – дискретные двумерные операторы Лапласа. Учитывая, что

получим

N −1

∑2 µk ( j){∆ 1[Y k (i)] − λkY k (i) + φ(i)} = 0 .

k =1

С учётом ортогональности собственных функций уравнения для членов разложения записываются в виде

∆ 1[Y k (i)] − λkY k (i) = −φk (i) ,

i =1, 2, ..., N1 −1; k =1, 2, ..., N2 −1, Y k (0) = 0 ; Y k (N 1) = 0 .

Заменяя в уравнениях оператор Лапласа конечно-разностным выражением, получим для каждого уравнения систему трёхчленных алгебраических уравнений:

i =1, 2, ..., N1 −1; k =1, 2, ..., N2 −1; Y k ,0 = 0 ; Y k , N1 = 0 .

Собственные значения дискретного оператора Лапласа известны:

Полученную систему совместно с нулевыми граничными условиями решаем методом прогонки с минимальной затратой математических операций. Подобные решения осуществляем для всех k =1, 2, ..., N2 −1 членов разложения. Восстанавливаем иско-

мую функцию, используя приведённое выше выражение.

117

Результаты решения при N1 = N2 = N = 16, f (1: N1;1: N2 ) = 0; f (7 : 9, 7 : 9) = 100 представлены ниже.

Программа решения краевой задачи методом разделения переменных:

n1=17; n2=17; hx=1./(n1-1); hy=1./(n2-1); f(1:n1,1:n2)=0.; f(8:10,8:10)=100; for k=2:n2-1

r1=(k-1)*pi/(2.*(n2-1)); r2=sin(r1); lam(k-1)=4.*r2*r2/(hy*hy);

end fi(1:n1,1:n2)=0.; for i=8:10

for k=2:n2 fi(i,k-1)=0; for j=2:n2

r1=(k-1)*pi*(j-1)/(n2-1); r2=sin(r1); r3=f(i,j); fi(i,k-1)=fi(i,k-1)+r2*r3;

end

end end

for k=2:n2-1 for i=1:n1

a(i)=1.; b(i)=1.; c(i)=2.+hx*hx*lam(k-1); ff(i)=hx*hx*fi(i,k-1);

end

alf(2)=0.; bet(2)=0.; for i=2:n1

r=c(i)-alf(i)*a(i); alf(i+1)=b(i)/r; bet(i+1)=(ff(i)+bet(i)*a(i))/r;

end y(n1,k-1)=0; for i=n1-1:-1:1

y(i,k-1)=alf(i+1)*y(i+1,k-1)+bet(i+1);

end

end

for i=2:n1-1 for j=2:n2-1

r4=0;

for k=2:n2-1

r1=(k-1)*pi*(j-1)/(n2-1); r2=sin(r1); r3=y(i,k-1); r4=r4+r2*r3; u(i,j-1)=2.*r4/(n2-1); end

end end

disp(u); surf(u)

118

Результаты решения краевой задачи приведены в табл. 5.1–5.5.

Таблица 5 . 2 Правая часть дифференциального уравнения

119

120