Процесс постановки задачи можно разбить на следующие этапы:

1. Выбор критериев оптимизации.

2 . Формирование целевой функции.

3.Выбор управляемых параметров.

4.Назначение ограничений.

Выбор управляемых параметров производится из сле­ дующих соображений:

1) регламентируемые в техническом задании параметры не подлежат оптимизации;

2) выбираются параметры, оказывающие наибольшее воз­ действие на целевую функцию, что может быть определено на основе анализа чувствительности через коэффициенты вариации:

АдЩх)

'дх,

или вектора чувствительности В с относительным коэффициен­ том влияния

раметров, в которой осуществляется анализ чувствительности. Чем больше коэффициенты А, и В„ тем сильнее влияние

проектного параметра на W(x).

6.1.2. Многокритериальные задачи оптимизации

Часто к объекту предъявляется ряд различных требований, приводящих к введению нескольких критериев оптимальности: W], W2, ..., Wp. Например, желательно, чтобы двигательная уста­ новка ракеты имела минимальную стоимость и массу, макси­ мальную тягу и живучесть, широкий диапазон регулирования и т.д.

Наиболее простым и надежным способом оптимизации таких систем является выделение одной из этих характеристик и ис­ пользование ее в качестве критерия. При этом остальные требо­ вания задаются в виде ограничений. Если же идет речь о дейст­ вительной оптимизации нескольких функций, необходимо пе­ рейти к векторным критериям оптимальности W(W\,W2, ..., Wp).

Решение задачи векторной оптимизации тривиально, если существует вектор х е Х * , обеспечивающий экстремальное зна­ чение всех компонент критерия оптимальности одновременно:

W f o g ) * W,(x,g) ; / = 1, 2 ,... р; Vx, х е X* e l ; VcoeQ. (6.6)

Векторный характер критериев оптимальности создает проблему формирования целевой функции. Сложность ее обу­ словлена не только большим количеством используемых крите­ риев, но и их характером. Обычно улучшение одного из крите­ риев приводит к ухудшению других критериев. Такие критерии называются конфликтными. Если определить оптимальные па­ раметры объекта по каждому из критериев в отдельности, то они окажутся различными. Поэтому при наличии векторного крите­ рия возможно лишь некоторое компромиссное решение, которое в наибольшей мере отвечает задачам проектирования.

Существует несколько подходов к оптимизации по век­ торным критериям оптимальности.

1. В ряде случаев задается отношение строгого предпоч­ тения целевых функций

означающее, что любое улучшение компоненты W\ всегда без­ условно важнее изменения всех других компонент критерия. Компонента W2 играет второстепенную роль по сравнению с Wh но, в свою очередь, безусловно, важнее W2, и т.д. В этом случае оптимизация проводится последовательно, начиная с важней­ ших целевых функций. Этот метод также носит название стра­ тегии частного критерия.

2. Может быть задан искусственный комплексный крите­ рий, т.е. весовая функция качества:

где коэффициенты а, характеризуют «вес», т.е. значимость соот­ ветствующих компонент Wj.

В этом случае существенное изменение даже второстепенного критерия может оказаться более важным по сравнению с малым изменением первоочередных критериев. Для того что­ бы суммарное улучшение нескольких критериев не привело к недопустимому ухудшению одного из них, обычно вводятся дополнительные ограничения

Выбор весовых коэффициентов осуществляется с помо­ щью экспертных оценок и уточняется по мере получения ре­ зультатов.

Данный метод является частным случаем стратегии

взвешенной аддитивной компенсации противоречий критериев.

3. Наконец, если отсутствуют данные как для задания от­ ношения строгого предпочтения, так и для выбора весовых коэф­ фициентов функции, может быть использован метод уступок.

При этом предполагается, что небольшое отступление (например, на 5 или 1 0 %) от оптимума, даже по важнейшим критериям, не приводит к существенному ухудшению системы. Такое допу­ щение может быть обоснованно общими соображениями о при­ ближенном характере моделирования или измерений, если для

оптимизации используются экспериментальные данные. Введение указанных отклонений - «уступок» - позволяет

получить искусственные множества равнозначных решении и использовать методы последовательной оптимизации по ряду критериев. Выбор величин допустимых уступок также требует экспертных оценок.

Пусть Н]> Н2> Н3> # 4. Тогда экстремумы функций Wx{x)

f^lmax? а точка В С КООрДИНаТаМИ х /2^и Х2 ® соответствует й^тах* Следует подчеркнуть, что точки А и В находятся в трехмерном пространстве {xj, Х2, Щх)}. Третьей координатой точки А явля­

ется —W\max, а точки В - W2max. Соединим точки А и В экстрему­ мов функций W\{x) и W2(x) и точку С касания линий равного уровня обеих функций W\(x) = W2{x) = # 3 некоторой простран­

ственной линией ОК. Эта линия соответствует области опти­ мально-компромиссного решения. Проекция ее на плоскость *iOx2 дает множество эффективных точек - точек Парето. Множество Хэ§ входит в состав множества допустимых значе­ ний управляемых параметров Хд, являясь его подмножеством, т.е. ХЭфе Хд. На рис. 6.1, б показано множество Хэ$ для случая трех критериев.

В силу однозначных зависимостей Щх) каждой точке в пространстве управляемых параметров х соответствует един­ ственная точка в пространстве функций Щх), /= 1, 2, ..., п. Следовательно, множеству допустимых значений управляемых параметров Х л можно поставить в соответствие эквивалентное замкнутое множество SH, а подмножеству Х3$ - подмножество

множества SH между точками В и С, в которых достигаются

т шах И ^ 2 ш а х -

Таким образом, точками Парето являются точки про­ странства управляемых параметров ХЭфеХД9 для которых выпол­ няется условие

т

(6.10)

где Cj - коэффициент веса, характеризующий значимость у-го критерия; Ф(*) - предельно достижимое значение целевой функции W(Xэф) в области оптимального компромисса S0к; т - количество критериев оптимальности.

Коэффициенты веса выбирают из условия:

т

(6.11)

Метод Парето позволяет сбалансировать противоречия между критериями и получить однозначное оптимально­ компромиссное решение задачи выбора параметров проекти­ руемого объекта.

Приняв определенные значения коэффициентов веса сх

ис 2 в рассматриваемой задаче и сформировав аддитивную целе­ вую функцию согласно выражению (6 .10), в процессе поисковой оптимизации найдем некоторые значения управляемых пара­ метров лс1ок и х2ок, доставляющие экстремум целевой функции

W(x). При этом каждый из критериев W{(x) и fV2(x) не будет дос­ тигать экстремального значения, а будет равен W]0K и W2O K , со­ ответственно. На подмножестве оптимального компромисса S0к (см. рис. 6 .2) полученному решению соответствует некоторая точка А0, в которой Wt(xi0K, х2ок) < Wiimx и Щ х 1ок, х2ок) < W2nm.

При минимизации критериев W\(x) и fV2(x) подмножеству оптимального компромисса SQK соответствует линия DE.

Принцип Парето не выделяет единственного решения, он только сужает множество альтернатив. Окончательный выбор остается за исследователем. Но исследователь, математик, ин­ женер, построив множество Парето, конечно, облегчает проце­ дуру выбора решения.

Представим еще одну иллюстрацию применения компро­ миссов Парето. Предположим, что мы сделали некоторый выбор проектных, параметров. Обозначим его через х* и предположим, что существует некоторый другой выбор х —такой, что для всех критериев оптимальности (функций качества) W,{x) имеют место неравенства

причем хотя бы одно из неравенств - строгое.

Очевидно, что выбор х предпочтительнее х*. Поэтому все векторы х*, удовлетворяющие (6.12), следует сразу исключить из рассмотрения. Имеет смысл заниматься сопоставлением, подвергать неформальному анализу только те векторы х*, для которых не существует х такого, что для всех критериев удовле­ творяются неравенства (6 .12). Множество всех таких значений

х* называют множеством Парето, а вектор х* называют неулуч-

шаемым вектором результатов (вектором Парето). Предположим, что существуют два критерия оптимально­

сти, представляющие собой однозначные функции f\(x) и fi(x)

одного проектного параметра х. Требуется выполнение условий

Тогда каждому допустимому значению переменной х от­

вечает одна точка на плоскости (/i,/i) (рис. 6.3), и равенства

определяют параметрическое задание некоторой кривой abed

в этой плоскости. Но к множеству Парето можно отнести далеко не всю кривую. Так, участок Ьс, очевидно, не принадлежит