Аппроксимация моделей микроуровня осуществляется путем замены всех частных производных фазовых переменных по пространственным координатам отношениями конечных раз­ ностей с выделением сосредоточенных масс в узлах дискретиза­ ции сплошной среды и усреднением значений параметров полу­ чаемых элементов [20].

Будем рассматривать компонентные уравнения, полученные на основе физических законов, которые имеют следующий вид:

В уравнениях (2.16) - (2.18) приняты следующие обозна­ чения: И, Д, У - параметры инерционного, диссипативного и упругого элементов соответственно; / - фазовая переменная типа потока; U - фазовая переменная типа потенциала. Индексы при фазовых переменных / и U указывают на принадлежность их соответствующим элементам; t - время.

2. Топологические уравнения

Для получения полной математической модели техниче­ ской системы требуется объединение всех компонентных уравне­ ний элементов в общую систему уравнений. Объединение осуще­ ствляется на основе физических законов, выражающих условия равновесия и непрерывности фазовых переменных. Уравнения этих законов и называют топологическими уравнениями.

Топологические уравнения устанавливают связь между однородными фазовыми координатами, относящимися к раз­ личным элементам системы. Они получаются на основе сведе­ ний о структуре системы и описывают характер взаимодействия между простыми элементами.

Условия равновесия записываются для фазовых перемен­ ных типа потенциала:

а условия непрерывности - для фазовых переменных типа потока:

Если фазовые переменные - векторные величины, то на­ правления векторов учитываются только топологическими уравнениями, а в компонентных уравнениях их направления не учитываются. Компонентные уравнения (2.16)-(2.18) в этом случае устанавливают соотношения лишь между модулями фа­ зовых переменных. Это позволяет обеспечить корректное опи­ сание взаимодействия элементов системы в полной математиче­ ской модели.

Полная математическая модель технического объекта на макроуровне, составленная на основе компонентных уравнений, представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Искомыми функциями в этих уравнениях являются базисные фазовые координаты / и [/, а независимой перемен­ ной - время t. Размерность математической модели определяет­ ся общим порядком системы дифференциальных уравнений (или числом базисных координат). Эту модель обычно пред­ ставляют в нормальной форме Коши, в которой все уравнения разрешены относительно первых производных фазовых коорди­ нат dlldt и dU/dt. Координатный базис в этом случае составляют фазовые переменные типа потока / и типа потенциала U.

Предпосылкой создания единого математического и про­ граммного обеспечения анализа моделей макроуровня являются аналогии компонентных и топологических уравнений (аналогии в моделях макроуровня) физически однородных подсистем, из которых состоит объект.

Этот подход основан на том, что форма компонентных и топологических уравнений одинакова для систем различной фи­ зической природы. В этом проявляется единство физических за­ конов, несмотря на многообразие форм существования материи.