Задача об управлении запасами.

Фирма закупает сырье в начале каждого месяца. На т бли­ жайших месяцев имеются оценки количества сырья с„ необхо­ димого для производственного процесса в /-м месяце и стоимо­ сти его единицы /* в начале г-го месяца. Фирма может хранить не более s единиц сырья. В каком количестве необходимо делать закупки в начале каждого месяца, чтобы минимизировать сум­ марные расходы в течение п месяцев?

Максимальный поток минимальной стоимости в сети (см. рис. 5.8) определяет оптимальную политику закупок. Поток по дуге, соединяющей источник с узлом х„ определяет количе­ ство закупок в начале z'-ro месяца.

5.1.5. Некоторые обобщения по сетевым задачам

При решении прикладных задач часто появляется необхо­ димость рассмотрения сетевых моделей более общего вида. На­ пример, ограничения пропускной способности дуг могут иметь более сложную природу, или стоимость потока может нелиней­ но зависеть от его величины. Однако при этом часто оказывает­ ся все же возможным свести задачу к модели, рассмотренной в предыдущих параграфах, и воспользоваться для нахождения решения алгоритмом максимального потока минимальной стоимости. Методы подобного преобразования довольно слож­ ны. Здесь мы укажем лишь основные типы задач, для которых такое преобразование возможно.

Поток по дуге, ограниченный сверху и снизу. Мы предпо­ лагали ранее, что ограничения на величину потока имеют вид

Однако для некоторых практических задач ограничения для потока в сети G принимают форму

Если в сети G существует какой-либо поток, удовлетво­ ряющий (5.13), то максимальный поток х в этой сети может

быть определен путем нахождения максимального потока х\ удовлетворяющего (5.12), в некоторой сети G' полученной мо­ дификацией исходной сети G [23].

Таким же образом может быть найден циркулярный поток минимальной стоимости в сети G. Подобная проблема возника­ ет в задаче распределения железнодорожного подвижного со­ става при заданном расписании.

Дуги с нелинейной стоимостью потока. Если стоимость потока по дуге —выпуклая нелинейная функция величины потока, го, взяв ее кусочно-линейное приближение, можно построить но­ вую сеть с «параллельными» дугами линейной стоимости. Нетруд­ но доказать, что алгоритм поиска максимального потока мини­ мальной стоимости дает оптимальное решение и для такой расши­ ренной сети. Выпуклые функции стоимости возникают при рас­ смотрении сетей электропередач и дорожного транспорта. (Под «стоимостью» в дорожной сети понимается время прохожде­ ния дуги, которое, естественно, является нелинейной функцией плотности движения.)

Максимальные динамические потоки. Для сети G, в кото­ рой определены и пропускные способности дуг, и время их про­ хождения, иногда необходимо найти максимальное количество продукта, которое может достичь стока из источника в заданные р промежутков времени, и определить соответствующий график движения. Такая динамическая задача в сети G может быть све­ дена к хорошо нам известной статической задаче максимального потока в расширенной сети G(p), в которой каждому узлу и, сети Gсоответствует (р + 1) узел я/Г), Т= 0, 1 [ 2 3 ] .

5.1.6. Альтернативные методы решения сетевых задач

Отметим два очевидных факта:

1. Задача о максимальном потоке, рассмотренная выше, представляет собой частный случай задачи о максимальном по­ токе минимальной стоимости, в которой стоимости всех дуг равны 0.

2. Пусть имеется сеть G = (N, А) с источником пх и стоко И/. Введем сеть G = (N, А), добавив к сети G дугу с бесконечной пропускной способностью, очень большой отрицательной стои­ мостью, направленную из п, в пх. Тогда максимальный поток минимальной стоимости из ns в п, на сети G соответствует пото­

ку минимальной стоимости величины 0 на сети G.

О, если (пп п )£ А

Как следует из сделанных выше замечаний, все рассмот­ ренные в главе задачи могут быть сформулированы как задачи линейного программирования, а именно: необходимо найти действительные числа ху (/= 1, 2,..., p ;j= 1, 2,..., р), удовлетво­ ряющие ограничениям

О < Х у < Су (/ = 1, 2,..., р иу = 1, 2,..., р)

и минимизирующие функцию

(5-17)

/=1 ./=1

Возможность такой переформулировки ставит ряд инте­ ресных вопросов. Чем подход линейного программирования (см. раздел 6) отличается от рассмотренного выше сетевого под­ хода? Можно ли, в свою очередь, симплекс-метод свести к алго­ ритму потока минимальной стоимости, рассмотренному в дан­

ном разделе? При каких условиях задача линейного программи­ рования может быть описана сетевой моделью?

Предоставляем читателю самостоятельно продумать отве­ ты на эти вопросы, ознакомившись с материалами раздела 6.

Заметим в заключение, что задачи о назначениях и управ­ лении запасами могут быть сформулированны в терминах «мно­ гошаговых процессов принятия решений» и методом динамиче­ ского программирования [3, 24]. Здесь снова возникает интерес­ ная проблема сравнения различных методов моделирования

ирешения одной и той же прикладной задачи.

5.2.ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

5.2.1. Основные положения

Теория принятия решений рассматривает задачи, где су­ ществует необходимость принимать решения в ситуациях, для которых не удается полностью учесть определяющие их усло­ вия, а также последующее их влияние. Такие задачи встречают­ ся во всех областях техники и экономики.

Теория принятия решений представляет собой набор по­ нятий и систематических методов, позволяющих всесторонне анализировать проблемы принятия решений в условиях неопре­ деленности. Данная теория дает в руки инженера математиче­ ский аппарат, помогающий лучше понять и проанализировать неопределенность проектной ситуации, оптимально использо­ вать имеющуюся информацию относительно поставленной за­ дачи, чтобы, взвесив все возможные варианты действий, поста­ раться найти среди них наилучший.

В целом теория принятия решений предписывает нормы поведения лицу, принимающему решение, которым он должен следовать, чтобы не вступить в противоречие со своими соб­ ственными суэ/сдениями и предпочтениями. Она помогает лицу, принимающему решение, вооружая методологией для принятия

199

сложных решений, которые включают элементы субъективиз­ ма. Характерно, что с ростом сложности задачи уменьшается способность человека к неформальной обработке всей инфор­ мации в соответствии с его собственными суждениями и пред­ почтениями. В такой ситуации теория принятия решений име­ ет преимущества перед другими аналитическими подходами, поскольку включает в формализованном виде многие субъек­ тивные аспекты проблемы.

Под ситуацией выбора решения следует понимать все элементы задачи, такие, как состояния исходных данных, вари­ анты решения и их последствия, а также все оказывающие су­ щественное влияние на решение внешние факторы как объек­ тивного, так и субъективного характера.

Воснове теории принятия решений лежит предположение

отом, что выбор альтернатив должен определяться двумя фак­ торами:

1)представлениями лица, принимающего решение о веро­ ятностях различных возможных исходов (последствий), которые могут иметь место при выборе того или иного варианта решения;

2)предпочтениями, отдаваемыми им различным возмож­ ным исходам.

Оба фактора формально входят в теорию принятия реше­ ний, и чтобы их учесть, потребуется представить количествен­ ную оценку.

Варианты решения определяются, главным образом, па­ раметрами системы или процесса. Факторы, влияющие на при­ нятие решения, находятся в диапазоне от крайне субъективных, определяемых компетенцией и осведомленностью принимаю­ щего решение и проявляющихся в ускоренном выборе или затя­ гивании решения, до таких объективных условий, как техниче­ ские данные, характеристики, методы и всевозможные вспомо­ гательные средства. По затраченным для обработки средствам

решения можно разбить на три группы: 1) эмпирические; 2) опирающиеся на некоторые количественные сравнительные

оценки; 3) принятые на основании построенной с исчерпываю­ щей полнотой модели. Величина возможных ошибок находится в обратной зависимости по отношению к степени точности опи­ сания задачи и затраченным на выбор решения усилиям и явля­ ется наибольшей при эмпирических решениях.

Для удобства изложения выделим четыре важных этапа процесса принятия решений.

1. Определение альтернативных способов действия. Дол­ жен быть задан подходящий набор целей и указаны соответст­ вующие им меры эффективности; это дает возможность опреде­ лить степень, с которой заданные цели могут быть достигнуты спомощью различных способов действия. Для каждого способа действия возможные исходы описываются в единицах принятых мер эффективности.

2. Описание вероятностей возможных исходов. При этом требуется, чтобы неопределенность, связанная с альтернатив­ ными решениями, была выражена численно через распределе­ ние вероятностей. В результате такой операции становится из­ вестной вероятность каждого возможного исхода для каждого принятого решения.

3. Ранжирование предпочтений возможных исходов через их полезность. Для этого выбирают меру эффективности, а за­ тем с ее помощью представляют в числовой форме отношение лица, принимающего решение, к возможным последствиям ре­ шения и вероятности возможных исходов.

4. Рациональный синтез информации, полученной на первых трех этапах. Следует проанализировать и эффективно использо­ вать всю полученную информацию для того, чтобы решить, какой из возможных альтернатив следует отдать предпочтение.

Эти этапы являются основой подхода к принятию реше­ ний с точки зрения здравого смысла. Отличительной чертой процесса принятия решений является степень формализации каждого этапа. Второй и третий этап базируются на аксиомах

теории принятия решений, для понимания которых введем не­ которые обозначения и определения.

Простой лотереей L{x\, Р, х2) назовем вероятностное со­ бытие, имеющее два возможных исхода: х\ и х2, вероятности наступления которых обозначим соответственно через Р и (1 -Р). Символами >, > будем соответственно обозначать понятия «предпочтительнее», «равноценно», «равноценно или предпоч­ тительнее». Теперь сформулируем ряд аксиом теории принятия решений.

Аксиома 1. Существование относительных предпочте­ ний. Для любой пары исходов х хи х2 их предпочтения будут та­ ковы, ЧТО ИЛИ Х| ~ *2, или Xi > Хг, или Х \ < х2.

Аксиома 2. Транзитивность. Для любых лотерей Lu Ь и Тз справедливо следующее:

а) если L\ —L2и L2~ £3, то L\ ~ 13;

б) если L\> L2K Ь2~ L2, то L\ > I 3, и т. д.

Аксиома 3. Сравнение простых лотерей. Если для лица, принимающего решения, х\ > х2, то

а) L,(x,, Р и х2) > L2{Xь Р2, х2) при Рх> Р2,

б) 1Л{хх, Pi, х2) ~ L2(XU Р2, х 2 ) при Pi = Р2.

Аксиома 4. Численная оценка предпочтений. Каждому возможному исходу х лицо, принимающее решение, может по­

шение, меру относительного предпочтения различных исходов. Величина л(х), называемая вероятностью равноценности, явля­ ется такой мерой.

Аксиома 5. Численная оценка неопределенности сужде­ ний. Каждому возможному событию А, которое может влиять на исход решения, можно поставить в соответствие число Р(А), где О <Р(А) < 1, такое, что становятся равноценными лотерея L(x*, Р(А), х°) и ситуация, при которой лицо, принимающее решение, получает х*, если происходит событие А, и х°, если