- •А.Ю. Крюков, Б.Ф. Потапов
- •Крюков, А.Ю.
- •СОДЕРЖАНИЕ
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1.1. СУЩНОСТЬ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •1.1.1. Понятие о моделировании и свойства моделей
- •1.1.2. Цели моделирования
- •1.1.3. Виды моделирования и классификация моделей
- •1.2.1. Общие положения и основные определения
- •1.2.2. Структура математической модели и ее построение
- •1.2.3. Иерархия математических моделей
- •1.2.5. Классификация математических моделей
- •1.2.6. Геометрическое представление математических моделей
- •1.3. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
- •2.1. МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ
- •2.2. МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ
- •2.2.1. Общая характеристика моделей, их структура и сущность
- •1. Компонентные уравнения
- •2. Топологические уравнения
- •Компонентные и топологические уравнения электрической системы
- •2.2.5. Задания для самостоятельной работы
- •2.3. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
- •3.2.1. Общие принципы моделирования полей
- •3.2.2. Особенности построения моделей
- •3.2.3. Модели стационарных полей
- •3.2.4. Модели нестационарных полей
- •3.2.7. Задание для самостоятельной работы
- •3.3. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
- •4.1.1. Надежность объектов как комплексное свойство
- •4.1.2. Классификация отказов и временные понятия
- •4.3.1. Основные понятия, определения и положения
- •4.3.2. Основные характеристики случайных величин
- •4.4. ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ
- •4.4.1. Показатели безотказности
- •4.6.1. Общая характеристика и виды моделей
- •4.6.2. Распределения, используемые в теории надежности
- •4.6.3. Композиция законов распределения
- •4.6.4. Задание для самостоятельной работы
- •4.7 ПОТОКИ ОТКАЗОВ И ВОССТАНОВЛЕНИЙ
- •4.8. РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •4.8.1. Общие положения
- •4.8.2. Модели параметрических отказов
- •5.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ И СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ
- •5.1.1. Общие замечания, основные понятия и определения
- •5.1.2. Решение задачи о максимальном потоке
- •5.1.3. Потоки минимальной стоимости
- •5.1.4. Практические примеры сетевых задач
- •5.1.5. Некоторые обобщения по сетевым задачам
- •5.1.6. Альтернативные методы решения сетевых задач
- •5.2.1. Основные положения
- •5.2.2. Структура принятия решения
- •5.2.4. Пример применения классических критериев
- •6.1.1. Постановка задач оптимизации и критерии
- •оптимальности
- •6.1.2. Многокритериальные задачи оптимизации
- •6.1.3. Классификация методов оптимизации
- •6.2. РЕГУЛЯРНЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
- •6.2.1. Методы математического анализа
- •6.2.2. Понятие о вариационном исчислении
- •6.2.3. Принцип максимума Понтрягина
- •6.2.4. Метод динамического программирования
- •6.3. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
- •6.3.2. Минимаксные стратегии одномерного поиска
- •6.3.4. Многомерные методы безусловной оптимизации
- •6.3.7. Заключение по прямым методам оптимизации
- •7 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- •Учебное издание
- •Учебное пособие
3.2. АНАЛОГОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИИ
ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
3.2.1. Общие принципы моделирования полей
Стационарные физические поля описываются однород ными или неоднородными эллиптическими дифференциальны
ми уравнениями в частных производных: |
|
|
|
|||
|
|
V (co (O V O O = 0, |
|
(3.1) |
||
|
|
V(co(^) VO(O) |
Ф О - |
|
(3.2) |
|
Уравнения (3.1) и (3.2) включают в себя потенциал - |
ска |
|||||
лярную функцию Ф(40> зависящую от координат £,г (где г - |
ин |
|||||
декс, |
равный |
1, 2, 3). Для прямоугольных |
координат |
|
- х , |
|
=у, |
= z, |
для цилиндрических |
= z, ^ |
= г, £,3 = а |
и т. д. |
|
Также уравнения (3.1) и (3.2) включают характеристику среды со(£,г) и мощность распределенных источников поляД^г, Ф(^г)).
При co(^r) = const уравнения |
переходят в хорошо |
известные |
уравнения Лапласа и Пуассона: |
|
|
> е |
оои |
(3.2) |
АФ(^) = ~ / ( ^ ,Ф ( ^ ) ) . |
(3.4) |
|
СО |
|
|
Для описания нестационарных полей используются уравнения параболического и гиперболического типов, содержащие
производные по времени: |
|
|
V(co(£r, 1)'ЧФ&\1)) = а (£ , 0 9Ф(^ |
|
(3.5) |
д2Ф(Ъг |
t) |
(3.6) |
V(co(^, 0 V ® ( ^ ,0 ) = ^ r, 0 |
• |
Произвольное поле описывается общим уравнением вто рого порядка:
V(co($r, /,Ф)УФ@г,0 ) = М , |
(,Ф) +а ^ г,1,Ф) |
дФ(1г t) |
- ; + |
||
|
|
dt |
|
|
(3.7) |
+ а д .,,,Ф)^ |
£ ) . |
|
Модель должна включать в себя также необходимые крае вые условия. Во-первых, должна быть задана область D, ограни ченная поверхностью (кривой) Г, в которой определяется реше ние, во-вторых, должны быть заданы условия на границе Г этой области. Могут быть заданы граничные условия первого, второ го и третьего рода:
|
Ф И /,(Г );Ф И /,(Г ,/), |
|
(3.8) |
|||
|
дФ |
дФ |
|
|
(3.9) |
|
|
= Л (Г ),^ Ч 0 =/ 2(Г,0, |
|||||
|
дп |
|
дп |
|
|
|
|
Л |
/.5Ф |
= /з (П , |
|
(ЗЛО) |
|
|
аФ +Ь— |
|
|
|||
|
|
дп |
|
|
|
|
дФ |
( |
|
|
дФ |
= f 3{ r , t ) . ( 3.11) |
|
аФ +Ь |
= /э(Г)=> a(l)0(t) + b(t)— (t) |
|||||
дп |
I |
|
|
дп |
|
|
Для нестационарных полей, кроме того, должны быть за |
||||||
даны начальные условия, |
характеризующие |
состояние |
поля |
|||
в начальный момент времени: |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= № ) ■ |
|
(3.12) |
/=о Некоторые уравнения полей с указанием конкретных фи
зических характеристик приведены в табл. 3.1. Общность мате матической формы описания различных физических полей яв ляется следствием общности фундаментальных законов сохра нения материи и энергии и служит блестящей иллюстрацией философского принципа единства материального мира.
76
Аналогичные уравнения полей различной физической природы
Область физики
Теплопередача (поле температур в твердом теле)
Гидродинамика (течение идеаль ной жидкости)
Электростатика
(электростатиче ское поле)
Электрическое поле в проводни ках
Уравнение
(закон)
Уравнение
теплопро
водности
Закон
Бернулли
Теорема
Гаусса
Закон
Кирхгофа
Форма уравнения
V(X(^,7)-V7) =
=Т)
V(p(S', Ur)-VUr) =
= <7ЙГ.ОД
V(e(^, U)-VU) =
= g ( ^ U )
V(a(^,<p)-V(p) =
=<p)
Условпые обозначения
Г-температура;
X - теплопроводность; соинтенсивность объемноготепловыделения Ur - гидродинамический потенциал скоростей; р - плотность среды;
q ~ мощность распреде ленного источника жид кости
U - электростатический потенциал; е - диэлектрическая по
стоянная среды;
q - плотность распределе ния объемных зарядов (р - потенциал электри ческого поля; ст - электропроводность среды;
i - распределенные токи, вводимые в среду
3.2.2. Особенности построения моделей
Введем понятия сходственных величин, коэффициентов аналогии, индикаторов аналогии, используемые при доказатель стве аналогии объектов.
Каждое из уравнений, приведенных в табл. 3.1, включает в себя четыре величины, занимающие в этих уравнениях одина ковые позиции. Это потенциальная функция (Т, U, Ur, £/„, (р...),
характеристика среды (X, е, р, ц, а..)» мощность распределен ных источников поля (w, q , q r, и, наконец, геометрический масштаб модели (L, Г). Величины, занимающие в уравнениях одинаковые позиции, называются сходственными величинами, а для характеристики их отношений вводятся коэффициенты аналогии:
м л |
a |
IL |
6 |
|
а |
||||
ф |
ф |
ф |
||
|
I |
I I |
(3.13) |
|
|
|
|||
С помощью |
коэффициентов |
аналогии можно выразить |
||
и заменить величины изучаемого (например, температурного) поля величинами модельного (электрического) поля:
Т = М<рф, со = М^, L = M\l; X = Л/Стст, |
(3.14) |
|||
дТ _ M v Эф |
дТ _ Му дц> |
дТ _ М 1( дер |
|
|
дх М, |
дх ’ |
ду М, ду ’ |
& М, dz ’ |
|
|
|
М |
|
(3.16) |
|
|
У7’ = ^ У ф . |
|
|
|
|
М, |
|
|
Тогда уравнение для стационарного температурного поля |
||||
(см. табл. 3.1) можно записать в виде |
|
|
||
М М |
|
|
(3.17) |
|
ф |
сг |
|
|
|
м,м, У(а(^,ф)Уф) = /(^,ф ). |
||||
Важно подчеркнуть, что уравнение по-прежнему остается
уравнением теплопроводности, ведь изменилась только форма записи тепловых величин (Т, К, со, L). Вместе с тем уравнение теплопроводности в приведенной форме полностью совпадает
суравнением электрического поля при условии, что
ММ а
фО
м м ?
Данное соотношение выражает условие аналогии натур ного и модельного (в рассматриваемом примере температурного и электрического) полей и носит название индикатора аналогии.
При практических расчетах неудобно пользоваться вели чиной точечной мощности распределенных источников поля
<й(£г,7), /(^г,ф). Целесообразно заменить эту величину некоторой сосредоточенной величиной (W, I), характеризующей мощность источников (тепло- и токовыделение) в некотором элементар ном объеме (V, v):
W= (oV, f= iv. |
(3.19) |
|
Отношение величин W и / характеризуется коэффициен |
||
тами аналогии Mi и М,: |
|
|
W |
mV |
(3.20) |
М ,= — =— = М]М , , |
||
I |
iv |
|
|
М |
|
|
м, |
(3-21) |
м *= т к - |
||
Индикатор аналогии может быть представлен в виде
М щМ,Мв
(3.22)
М,
Соотношения (3.18) и (3.22), в частности, показывают, что три коэффициента аналогии из четырех могут быть выбраны произвольно, а четвертый должен быть определен из этих соот ношений. В рассмотренном случае имеется один индикатор ана логии. Вообще же количество индикаторов аналогии на единицу меньше числа членов изучаемого уравнения в силу известной я-теоремы Кирпичева.
Для однородного эллиптического уравнения коэффициен ты аналогии (3.13) могут быть просто сокращены. Это значит, что для полей без распределенных источников аналогия соблю дается автоматически, а коэффициенты аналогии не связаны между собой.
Аппарат аналогии является непосредственнъш обобще нием аппарата теории подобия. Действительно, теория подо= бия также оперирует понятиями сходственных величин, коэф фициентов (констант), индикаторов и критериев подобия. Од нако в отличие от метода аналогии метод подобия всегда рас сматривает объекты одной и той же физической природы Поэтому коэффициенты подобия всегда безразмерны. Коэффи циенты аналогии, наоборот, характеризуют, как правило, от ношение величин различной физической природы и имеют ту или иную размерность.
При аналоговом моделировании граничные условия также преобразовываются с помощью коэффициентов аналогии, а сама область исследования изменяется в соответствии с масштабом
моделирования (рис. 3.2): |
|
|
|
d = -^-rD \ г = — Г ; v =-X rV |
(3 .20) |
||
м? |
м, |
м) |
|
Рис. 3.2. Задание области при изучении поля:
а- натурная область,
б- модельная область
Это приводит к про порциональному сжатию или расширению соответствую щих участков границы. По этому граничные условия, заданные на некотором уча стке границы Г, должны быть отнесены к соответствующе му участку границы модели г
(г = — Г). Граничные уело-
м,
вия первого рода для мо дельной функции задаются соотношением
г |
Л |
Ф|г = /( Г ) = > Ф|1._г. |
j |
М, |
При этом на модели в каждой точке границы должен быть задан электрический потенциал <р. Точно также граничные усло
вие второго рода задаются соотношением |
( |
|
дФ |
= Mj_ |
|
дп т |
М |
(3.22) |
/ 2 |
||
|
М, |
|
На модели граничные условия второго рода могут быть заданы с помощью токов, подведенных к заданным участкам
границы. В силу очевидных соотношений: |
|
|
9ф |
5ф |
(3.23) |
; 1 = А = - а 5 — , |
||
дп |
дп |
|
гдеj - плотность тока, 7 - ток, можно получить уравнение |
|
|
|
г т л |
(3.24) |
/ = А = - Ч ^ - Л |
К**,; |
|
К |
|
|
где знак «-» учитывает направление тока.
Наконец, граничные условия третьего рода могут быть реализованы при подключении к границе заданных напряжений через заданные сопротивления. В общем виде эти условия могут
быть записаны так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л идФ |
|
|
. |
|
,. бф |
|
Г Л |
|
аФ +Ь---- |
= /э(Г): |
а |
ш + Ь — |
|
= /э |
• (3.25) |
||
дп , |
|
|
дп |
|
М, |
|||
|
|
|
|
|
|
■=.!_ |
V / / |
|
|
|
|
|
|
|
|
М, |
|
Условие (3.25) в силу (3.23) может быть записано в виде |
||||||||
f |
|
и \ |
|
|
1 |
|
Г ^ |
(3.26) |
ф - |
аЛ7,а5г j |
|
|
аМ. -/з |
М, |
|||
|
|
и. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Если положить |
|
|
|
|
|
|
||
1? = |
Ь |
|
|
1 |
f |
Г Л |
|
|
аМ,о5г ’ |
^>0 |
аМ, |
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||