Детали машин и основы конструирования
..pdf
где Епр – |
приведенный модуль упругости, |
Eпр = 2E1E2 / (E1 + E2 ); |
||||||||||||||||||||||||
E1, |
E2 – |
модули упругости материала шестерни и колеса; |
||||||||||||||||||||||||
µ – |
коэффициент Пуассона; q – |
нормальная нагрузка на еди- |
||||||||||||||||||||||||
ницу длины контактной линии; ρпр |
– |
приведенный радиус |
||||||||||||||||||||||||
кривизны, ρпр = ρ1ρ2 / (ρ1 + ρ2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Для прямозубых колес длина контактных линий равна |
|||||||||||||||||||||||||
ширине венца колеса b2, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
q = |
Fn |
K |
Hα |
K |
Hβ |
K |
|
= |
|
|
|
Ft |
|
K |
Hα |
K |
Hβ |
K |
|
. |
|
(12.25) |
|||
|
|
HV |
|
b2 cos αw |
HV |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Для косозубого колеса длина контактной линии состав- |
|||||||||||||||||||||||||
ляет β2 / cosβ, тогда с учетом (12.23) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
q = |
Fn cosβ |
K |
Hα |
K |
Hβ |
K |
|
= |
|
Ft |
|
|
K |
Hα |
K |
Hβ |
K |
|
, |
(12.26) |
|||||
|
|
HV |
b2 cos αw |
|
HV |
|||||||||||||||||||||
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
то есть формула для q такая же, как для прямозубого колеса, но коэффициенты KHα , KHβ , KHV другие.
Рис. 12.12
171
elib.pstu.ru
В формулах (12.25, 12.26) KHα – коэффициент, учитывающий распределение нагрузки между зубьями; KHβ – коэф-
фициент, учитывающий неравномерность распределения нагрузки по длине контактных линий; KHV – коэффициент, учи-
тывающий дополнительные динамические нагрузки. Из треугольника ВПО1 следует:
ρ1 = (d1/2) sin αw = (d2/2u) sin αw.
Из треугольника DПО2 следует:
|
ρ2 = (d2/2) sin αw . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρпр |
= |
d2 sin αw |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
(12.27) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
u +1 |
|
|
|
|
|
|
|
Приведенный радиус кривизны ρпр |
косозубого колеса |
||||||||||||||||
|
dV 2 sin αw |
1 |
|
d2 sin αw 1 |
|
|
|||||||||||
ρпр = |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(12.28) |
|
2 |
|
|
|
|
2cos |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
u |
+1 |
|
|
β u +1 |
|
|
|||||||||
Выражения (12.25), (12.27) для прямозубой, (12.26), (12.28) для косозубой передачи подставляем в (12.24), заме-
нив sin αwcos αw = sin 2αw / 2.
Для прямозубой передачи выражение для контактного напряжения σ H будет иметь вид
σ |
H = |
Eпр |
|
|
2Ft |
|
2(u +1) |
KHαKHβKHV . |
(12.29) |
2π(1 − µ2 ) |
b2 sin (2αw ) |
d2 |
|||||||
|
Обозначим ZH = |
2 / sin (2αw ) – |
коэффициент, |
учиты- |
|||||
вающий форму сопряженных зубьев (при αw = 20° ZH =1,76);
172
elib.pstu.ru
Z |
M |
= |
E |
пр |
/ (π(1 − µ2 )) – коэффициент, учитывающий механиче- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ские |
свойства |
материала |
колес |
(для |
стальных колес |
|||||
ZM = 275 Н1/ 2 /мм ). |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
При этом получим расчетную зависимость в виде |
|||||||
|
|
|
|
|
σ H = ZH ZM Zε |
Ft (u +1) |
KHαKHβKHV . |
(12.30) |
||
|
|
|
|
|
d2b2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
(12.30) |
дополнительно |
введен |
коэффициент |
||
Zε |
= |
1 / εα , учитывающий влияние коэффициента торцового |
||||||||
перекрытия εα. Для прямозубой передачи |
Zε ≈ |
0,9; коэффи- |
||||||||
циент распределения нагрузки между зубьями для прямозубой цилиндрической передачи KHα ≈ 1 . В результате получа-
ем выражение для проверочного расчета цилиндрических прямозубых стальных передач:
|
σ H = 436 |
Ft (u +1) |
KHαKHβKHV ≤ [σH ], |
(12.31) |
|
|
|||
|
|
d2b2 |
|
|
где u – |
передаточное число; Ft – окружная сила, |
Н; d2 и b2 – |
||
мм; σ H |
– в МПа (Н/мм2). |
|
||
Проверочный расчет косозубой передачи по контактным напряжениям выполняется аналогично расчету прямозубой передачи, при этом значения ZH, Zε изменяются следующим образом: ZH ≈ 1,76 cos β ≈ 1,71; Zε ≈ 0,8; ZM имеет то же значение, что и для прямозубых колес.
Следовательно, проверочный расчет косозубой передачи по контактным напряжениям осуществляется следую-
щим образом:
σ H = 376 |
Ft (u +1) |
KHαKHβKHV |
≤ [σ H ] |
(12.32) |
|
||||
|
d2b2 |
|
|
|
где Ft выражено в Н; d2 и b2 – в мм; σH – |
в МПа (Н/мм2). |
|||
|
|
|
|
173 |
elib.pstu.ru
Проектный расчет цилиндрических зубчатых передач
предполагает определение главного параметра зацепления – межосевого расстояния aw .
Для расчета aw из выражения (12.30) необходимо вы-
разить b2 и d2 через aw : |
|
b2 = ψa aw , |
(12.33) |
где ψa – коэффициент ширины венца колеса, зависит от рас-
положения колеса относительно опор; |
ψa = 0, 4 − 0,5 при |
||||
симметричном расположении опор; |
ψa |
= 0, 25 − 0, 4 |
при не- |
||
симметричном расположении опор; |
ψa = 0, 2 − 0, 25 |
при кон- |
|||
сольном расположении опор. |
|
|
|
||
d2 = |
2awu |
. |
|
|
(12.34) |
|
|
|
|||
|
u +1 |
|
|
|
|
Кроме того, поскольку при выполнении проектного расчета обычно известна величина крутящего момента T2 на выходе передачи, то окружную силу Ft заменим ее выражением через T2: Ft = 2T2/d2. Тогда (12.30) будет иметь вид
|
σ |
|
= Z |
|
Z |
|
|
Z |
ε |
|
|
T2 (u +1)3 |
|
1 |
|
|
K |
Hα |
K |
Hβ |
K |
|
. |
|
|
(12.35) |
||||||
|
H |
H |
M |
|
|
|
|
2ψa aw3 |
|
u2 |
HV |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Решаем (12.35) относительно aw : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
a ≥ |
(u+ 1) 3 0,5(Z |
|
|
Z |
|
Z |
|
)2 K |
|
K |
|
|
3 |
|
|
|
T2 |
|
|
K |
|
. |
(12.36) |
|||||||||
|
|
|
ε |
Hα |
|
|
|
ψ au2 σ[ |
H ]2 |
H β |
||||||||||||||||||||||
w |
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
M |
|
|
|
|
HV |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Формула (12.36), как следует из вывода, справедлива и для прямозубых, и для косозубых передач, однако коэффи-
174
elib.pstu.ru
циенты, входящие в (12.36), имеют при этом различные значения, поскольку определяются типом передачи.
Обозначим
Ka = 3 0,5(ZH ZM Zε )2 KHαKHV . |
(12.37) |
Для прямозубых передач Ka = 49,50 (МПа)1/3, и оконча-
тельно формула проектного расчета цилиндрических прямо-
зубых передач выглядит следующим образом:
aw ≥ 49,5(u+ 1) 3 |
T2 |
|
|
KHβ . |
(12.38) |
|
ψ au2 σ[ |
H ]2 |
|||||
Аналогично формула проектного расчета цилиндриче- |
||||||
ских косозубых передач будет иметь вид: |
|
|||||
aw = 43(u +1) 3 |
|
T2 |
|
KHβ , |
(12.39) |
|
ψ au2 σ[ |
H ]2 |
|||||
где aw выражено в мм; T2 – в Н·мм; σ |
H – в МПа (Н/мм2). |
|||||
12.2.5. Расчет на изгиб цилиндрических зубчатых передач
Вторым критерием работоспособности зубчатых передач является прочность зубьев на изгиб. При расчете прямозубых передач используются следующие допущения:
1. Зуб рассматривают как консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой Fn, приложенной к зубу в его вершине (рис. 12.13). Сила Fn, действующая под углом к оси зуба, вызывает в его сечениях напряжения изгиба и сжатия. Силу Fn переносят по линии зацепления до оси симметрии зуба в точку О. Точки А и В определяют положение опасного сечения зуба.
175
elib.pstu.ru
Рис. 12.13
2. Сила трения и сжимающее усилие Fr не учитываются, поскольку в незначительной степени влияют на напряжение.
При этих допущениях наибольшее напряжение изгиба в опасном сечении ножки зуба АВ, расположенном в зоне концентрации напряжений, выражается формулой
σ |
|
= |
FnlKT |
= |
6Ft lKT |
, |
(12.40) |
F |
|
|
|||||
|
|
Wx |
bs2 cos αw |
|
|||
где W = bs2/6 – осевой момент сопротивления опасного сечения ножки зуба; KT – теоретический коэффициент концентрации напряжений.
Плечо изгиба l и толщину ножки зуба s в опасном сечении выражают через модуль зубьев: l = l'm; s = s'm, где l' и s' – коэффициенты, выражающие форму зуба.
Тогда
σ |
|
= |
6Ft l 'm |
K |
|
= Y |
Ft |
. |
F |
b(s′)2 m2 cos αw |
|
|
|||||
|
|
|
T |
F bm |
||||
Здесь YF – коэффициент формы зуба,
YF = 6l′KT / ((s′)2 cos αw ).
176
elib.pstu.ru
Учитывая неравномерность распределения нагрузки по длине зуба коэффициентом KFβ и дополнительные динами-
ческие нагрузки в зацеплении коэффициентом KFV , получим
формулу проверочного расчета прямозубых передач по напряжениям изгиба.
σ |
|
= Y |
Ft |
K |
Fβ |
K |
|
≤ [σ |
|
]. |
(12.41) |
F |
|
|
F |
||||||||
|
F bm |
|
FV |
|
|
|
|||||
Расчет σF для косозубых передач выполняют аналогично, но с эквивалентными числами зубьев z1V и z2V и с учетом геометрии контакта сопряженных колес в косозубой передаче. Особенностью геометрии контакта в косозубой передаче
|
|
|
|
|
|
|
является расположение линии |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
контакта на боковой поверх- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ности косого зуба под углом |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
наклона, который увеличива- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ется с ростом β (рис. 12.14). |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая |
неравномер- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
ностьраспределения нагрузки |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
между зубьями коэффициен- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
том KFα , получим формулу |
|||||||
Рис. 12.14 |
|
|
|
|
проверочного расчета косо- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
зубых передач по напряже- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ниям изгиба: |
|
|
|||||
σ |
|
= Y Y |
Ft |
K |
|
K |
|
K |
|
≤ [σ |
|
], |
(12.42) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
F |
F |
β bm |
|
Fα |
|
Fβ |
|
FV |
|
F |
|
|
|
где YF – коэффициент формы зубьев, определяют по эквивалентному числу зубьев zV, Yβ – коэффициент, учитывающий наклон контактной линии к основанию зуба, Yβ =1 − β / 140°.
Из-за меньшего числа зубьев зуб шестерни у основания более тонкий, чем у колеса, это отражено в бόльшем значе-
177
elib.pstu.ru
нии коэффициента YF (YF1 > YF2). Для обеспечения примерно равной прочности зубьев шестерни и колеса шестерню делают из более прочного материала, чем колесо.
Зубья шестерни и колеса имеют равную прочность на изгиб при условии
[σ F1 ] ≈ |
[σ |
F2 ] |
. |
(12.43) |
|
|
|||
YF1 |
YF2 |
|
||
Разновидностью косозубой цилиндрической передачи является шевронная передача. Шевронное колесо представляет собой сдвоенное косозубое колесо, выполненное как одно целое (рис. 12.15).
Вследствие разного направления зубьев на полушевронах осевые силы Fa/2 взаимно уравновешиваются на колесе и на подшипники не передаются. Это позволяет принимать у шевронных колес угол наклона зубьев β = 25…40°, что повышает прочность зубьев и плавность передачи. Недостатком передачи является высокая стоимость изготовления, достоинством – возможность применения в мощных быстроходных закрытых передачах.
Рис. 12.15
178
elib.pstu.ru
Шевронные колеса выполняются с дорожкой для выхода режущего инструмента (червячной фрезы) или без дорожки (нарезаются долбяком илигребенкой со специальной заточкой).
Контрольные вопросы
1.Каковы основные достоинства и недостатки зубчатых передач по сравнению с другими передачами?
2.Каковы основные достоинства и недостатки косозубых передач по сравнению с прямозубыми?
3.В чем состоит основное достоинство шевронной передачи по сравнению с косозубой?
4.В зависимости от какого параметра устанавливается степень точности проектируемой зубчатой передачи?
5.Какие различают типы зубчатых передач по взаимному расположению геометрических валов осей и по расположению зубьев на поверхности колеса?
6.Что называется углом зацепления, и чему равно его стандартное значение при отсутствии смещения инструмента
впроцессе нарезания зубьев?
7.Какие окружности зубчатых передач называют начальными, и какие окружности зубчатых колес называют делительными?
8.В каком соотношении должны находиться значения модулей сопряженных колес для введения этих колес в зацепление?
9.В чем состоят особенности конструктивного исполнения ведущего колеса и каковы конструктивные элементы ведомого колеса в зубчатых передачах?
10.Как связаны диаметры окружностей впадин и выступов с делительным диаметром и модулем зацепления?
11.Какая зависимость используется для проектировочного расчета косозубых цилиндрических колес?
179
elib.pstu.ru
12.Что такое приведенный радиус кривизны при контакте двух эвольвентных зубьев?
13.Как связаны между собой частота вращения, угловая и окружная скорости зубчатых колес?
14.Какие силы возникают в зацеплении прямозубых, косозубых и шевронных колес и как они связаны с вращающими моментами на зубчатых колесах?
15.Чему равно минимальное число зубьев шестерни?
16.В чем основные причины выхода из строя закрытых
иоткрытых зубчатых передач?
17.Какие напряжения вызывают усталостное выкрашивание зубьев, а какие их поломку?
18.Для чего применяется нарезание зубьев колес со смещением?
19.Как рассчитываются контактные напряжения и напряжения изгиба в косозубой передаче?
20.Почему заедание проявляется преимущественно в высокоскоростных итяжелонагруженных передачах?
21.Как влияет твердость поверхности зубьев на контактную прочность зубчатых колес?
22.В чем состоит различие между редуктором и мультипликатором?
12.3.КОНИЧЕСКИЕ ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ
12.3.1.Геометрия и кинематика конических зубчатых передач
В конических зубчатых передачах оси валов пересекают-
ся под углом, при этом наибольшее распространение получили передачи с углом 90°. Конические колеса (рис. 12.16) бывают прямозубыми (а), косозубыми (б), с круговыми зубьями (в).
180
elib.pstu.ru